¡Descarga Matemáticas 06 2015 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemàtiques I ETSAB - UPC Convocatòria Extraordinària 14-6-
1.
a) Per dissenyar una rosassa com la de la figura, donada una circumferència C , dibuixeu amb regle i compàs quatre circumferències C 'de radis iguals, tangent cada una amb dues d’elles i tangents a C , tal com s’indica a la figura adjunta.
Pel centre O de la circumferència C tracem un diàmetre d , la seva perpendicular per O i una bisectriu b de l’angle que formen aquestes rectes.
Anomenem A a un dels punts d’intersecció de b amb C.
Tracem la perpendicular p a b per A i la bisectriu de l’angle agut que formen p i d. Aquesta bisectriu tallarà a b en un punt O 'que és el centre d’una de les circumferències C '.Finalment tracem la circumferència de centre O 'i radi O A '.
(Justificació de la construcció: C 'és la circumferència inscrita al triangle determinat per p , d i la seva perpendicular per tant el seu centre O 'és l’incentre d’aquest triangle).
b) Calculeu la proporció entre el radi de C i el radi de C '.
Anomenem R al radi de C i r al radi de C '. Aleshores R = OA = OO ' + O A ' = OO ' + r.
Però si B és el punt intersecció de la perpendicular a d per O 'amb d , aplicant el teorema de Pitàgores al
triangle OO B ' tenim que OO ' = r^2 + r^2 = r 2 i R = r 2 + r d’on^ R 1 2.
r
2. Considereu l’aplicació lineal f : ^3^ → ^3 definida per
f (^) ( x y z , , (^) ) = (^) ( x + ay + z , 2 y + z ax , − 7 y − 3 z )on a ∈ R.
a) Doneu la matriu de f en base canònica ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f a a f a M f a
= − ^ → =^
= − ^ ^ − −
b) Doneu bases i dimensions dels subespais ker f i Im f segons els valors de a.
Im f = f (^) (1, 0, 0 , ) f (^) ( 0,1, 0 ,) f (^) ( 0, 0,1) = (^) (1, 0, a (^) ) (, a , 2, −7 , 1,1, (^) ) ( − (^3) )
Com 2 2
a a a a a
, tenim dos casos.
Cas 1: a ≠ 1
dim Im f = 3 i^ {( 1, 0,^ a^ ) (,^ a , 2,^^ −7 , 1,1,^ ) ( −^3 )}és una base de^ Im f.
O
B
O '
A b
d p
dim ker f = 3 − dim Im f = 0 i^ ker f = { (0, 0, 0)}.
Cas 2: (^) a = 1
Com que (^) (1, 0,1 , 1, 2, ) ( − (^7) ) són linealment independents, dim Im f = 2 i (^) {( 1, 0,1 , 1, 2, ) ( − (^7) )}és una base de Im f .Així doncs, dim ker f = 3 − dim Im f = 1. Ara calculem el nucli:
{ ( ) ( ) ( )}
2
ker , , , , 0, 0, 0 1 1 1 0 0 0 2 1 0 2 0 2 1 7 3 0 rang
f x y z f x y z x x y z x y y y z z y z =
= → ^ →
+ = ^ = −
− − ^
Per tant (^) {( 1,1, − 2 )}és una base de (^) ker f.
c) Per a = 0 , podem assegurar que l’antiimatge per f de qualsevol vector sempre serà un únic vector? I per a = 1?
Per a = 0 sí, en aquest cas per l’apartat anterior dim ker f = 0 i dim Im f = 3 per tant l’aplicació lineal és bijectiva. Així, l’antiimatge de qualsevol vector sempre serà un únic vector.
Per a = 1 no, en aquest cas l’aplicació lineal no és bijectiva.
d) Per a = 1 calculeu f −^1 ( 1, 0,1). Hem de calcular: (^1) (1, 0,1 ) (^) {( , , (^) ) ( , , (^) ) (1, 0,1 )} 1 1 1 1 1 0 2 1 0 2 0 1 7 3 1 7 3 1
f x y z f x y z x x y z y y z z x y z
+^ +^ =
De les dues primeres equacions tenim 1 2
x y z y
I, substituint a la tercera 1 + y − 7 y + 6 y = 1 → 1 = 1.
Per tant ( ) {( ) } {( ) } {( ) ( ) }
f x y z x y z y y y y y y y
3. Estudieu la diagonalització de l’endomorfisme de ^3
f (^) ( x y z , , (^) ) = (^) ( 2 x + 2 , z x + y + 2 , z − x − z ). En cas que sigui diagonalitzable calculeu els valors i vectors propis i la relació entre la matriu de f en la base canònica i en la base dels vectors propis trobats.
Si v^ ^ =( 1,1) és un vector propi de valor propi − 1 , la seva imatge ha de ser − v ^ = (^) ( −1, − (^1) ), gràficament es
veu que només es pot fer amb un gri de 180º o una simetria respecte de la recta y = − x.
Una segona manera de resoldre aquest exercici és amb matrius. Si la transformació és un gir, la seva matriu serà del tipus: cos sin sin cos
i ha de satisfer que : cos sin 1 1 cos sin 1 cos 1 180º sin cos 1 1 sin cos 1 sin 0
−^ −^ = −^ = −
= −^ →^ ^ →^ →^ =
+^ = −^ =
Per tant, només pot ser un gir de 180º.
En cas que sigui una simetria, la matriu serà: cos sin sin cos
ha de satisfer que : cos sin 1 1 cos sin 1 cos 0 270º sin cos 1 1 sin cos 1 sin 1
α α α α α α α α α α α
+^ = −^ =
= −^ →^ ^ →^ →^ =
−^ −^ = −^ = −
Així, només pot ser una simetria respecte de la recta tan 270º. 2
y = x → y = − x
b) Comproveu que la matriu
M
−^ −
= ^ − −
−^ −
és ortogonal. Classifiqueu-la i trobeu-ne els
elements característics.
És ortogonal ja que:
3 6 2 3 6 2 49 0 0 1 0 0 (^1 6 2 3 1 6 2 3 10 49 0 0 1 ) (^7 2 3 6 7 2 3 6 490 0 49 0 0 )
M M t Id
−^ −^ −^ −
⋅ = ^ − − ^ ^ − − ^ = ^ ^ = ^ =
−^ −^ −^ −
Per classificar-la, calculem el seu determinant: (^) det M = + 1 → M és la matriu d’un gir axial. L’eix de gir
queda determinat pels vectors propis de valor propi 1:
x x y z (^) x y z y x y z z
−^ −
+^ −^ =
−^ −^ −^ =^ →^ →^ =^ =
+^ +^ =^ −
−^ −
és la matriu d’un gir respecte l’eix 2 3 1
x (^) = y (^) = z −
L’angle de gir, α ,queda determinat per la traça de la matriu:
( ) traça 1 3 2 6 1 1 2 cos cos 1 180º. 7
M = − + − = − = + α → α= − → α=
a) Feu un llistat de totes les còniques (també les degenerades) que es poden obtenir tallant un cilindre el·líptic amb un pla. En cada cas feu-ne un dibuix aproximat.
Es poden obtenir tres tipus de còniques: el·lipse (quan es talla el cilindre per un pla horitzontal o inclinat), rectes paral·leles (quan es talla per un pla vertical i que no és tangent al cilindre) i recta doble (quan es talla per un pla vertical i tangent al cilindre).
b) Doneu l’equació, tots els elements característics i feu un dibuix de l’el·lipse centrada en el punt ( 1,^ −2 ,^ ) semieix major paral·lel a l’eix d’abscisses (OX), amb un vèrtex en el punt^ ( 1,1)^ i excentricitat 1. 2
e =
Com que és una el·lipse centrada en el punt (^) ( 1, − (^2) ) i els seus eixos de simetria són paral·lels als eixos de coordenades, la seva equació serà de la
forma (^ )^ (^ )
2 2 2 2
x 1 y (^2 ) a b
, on b és el semieix menor que va del centre
( 1,^ −^2 )al vèrtex^ ( 1,1)^ :^ b^ =^ d ( (1, −2 , 1,1^ ) ( )^ )=^3. Així doncs:
