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Ejercicios propuestos del tema 5: Espacio vectorial real.
1.- Dado el vector x ∈ IR^2 de coordenadas ( 2, − 3 ) respecto de la base
B = { ( 1, 2 , 2, 0) ( )}, obtener las coordenadas de dicho vector x respecto de la base
B ' = { ( 1,1 , 3,1) ( )}.
2.- En el espacio vectorial IR^3 se pide: 2.1. Obtener un subconjunto que constituya un subespacio vectorial. 2.2. Obtener un subconjunto de IR^3 que no sea subespacio vectorial.
3.- Buscar entre los siguientes vectores de IR^2 una base de este espacio vectorial.
4.- Estudiar si los siguientes vectores son linealmente independientes.
a) b) c)
5.- Determinar y para que los vectores
sean linealmente dependiente.
6.- Probar que los vectores y son linealmente dependientes si .
7.- Dados los vectores. Se pide:
a) Estudiar su dependencia o independencia lineal. b) Expresar, si es posible, w en función de u y v. c) Los escalares obtenidos en el apartado anterior ¿son únicos? ¿son coordenadas de w?
8.- Calcular para que la familia de vectores sea una base
de IR^3.
9.- Si. Razone si son coordenadas de.
10.- En el espacio vectorial IR^3 , calcular las coordenadas del vector ( 1 , 1 ,− 1 )en la base
B ={( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 1 ),(− 1 ,− 1 , 0 ) }. ¿Existe en IR^3 algún otro vector que tenga las mismas
coordenadas respecto de la base B que el vector ( 1 , 1 ,− 1 )?
11.- Sean los vectores v 1 = ( α, 0,1 ,) v 2 = ( 0, −1,1 , ) v 3 = ( 0,1,α)y v 4 = (1, 0, 0 ) de IR^3.
4.1 ¿Podrían formar { v ,v ,v ,v 1 2 3 4 }una base de IR^3?
4.2. Calcular α para que { v ,v ,v 1 2 3 }sea una base de IR^3
Razona cada una de las respuestas.
12.- Un ganadero utiliza tres ingredientes: G1, G2, G3 en la elaboración de una mezcla alimenticia para sus vacas. Una unidad de cada ingrediente proporciona vitaminas A, B y C en las cantidades, en mg, que se recogen en los siguientes vectores: G1=(1,1,1), G2=(1,2,3) y G3=(1,1,2) 5.1. Obtener las cantidades de vitaminas que contiene una mezcla formada por 2 unidades del ingrediente G1, 5 de G2 y 1 de G3. 5.2. ¿Es posible conseguir con estos ingredientes una mezcla que contenga 300 mg de vitamina A, 430 mg de vitamina B y 310 de vitamina C?
13.- Dos empresas Natur-naranjas y La Mejor Naranja se reparten el mercado de naranjas de cierta ciudad. Se sabe que:
- el 70% de los clientes de Natur-naranjas vuelven a comprar a Natur-naranjas al año siguiente y el resto se pasa a la competencia,.
- el 60% de los clientes de La Mejor Naranja vuelven a comprar al año siguiente a La Mejor Naranja y el resto se cambia a Natur-naranjas.
Si en 2008 la empresa La Mejor Naranja tuvo 1200 clientes y en 2009 ambas tuvieron el mismo número de clientes que en 2008. Determinar el número de clientes de la empresa Natur-naranjas en 2008.
14.- Una agencia de transportes tiene su flota repartida entre Oviedo y Gijón. De los camiones que hay en Oviedo al principio de la semana, los 2/3 vuelven a Oviedo al final de semana y el resto a Gijón. De los que hay en Gijón las 3/4 partes vuelven a Gijón y el resto a Oviedo. Suponiendo que al inicio se reparten los camiones a partes iguales, averiguar los que habría en cada ciudad al final de mes. Hállese el porcentaje de camiones en Oviedo y Gijón a muy largo plazo.
15.- Si A es la matriz correspondiente a una transformación lineal de IR^2 en IR^3 y B
es la matriz de otra transformación lineal de IR^3 en IR^4. Analiza cómo sería la transformación lineal que tuviese como matriz asociada el producto a) La matriz AB b) La matriz BA
16.- Escribir en forma matricial las siguientes transformaciones lineales:
) ( , , ) ( , 2 ) ) ( , , ) ( , 2 , ) ) ( , ) ( , , 2 )
a f x y z x y y z b f x y z x y z y z y x c f x y x y x y x
17.- Determinar la matriz correspondiente a una transformación lineal de IR^2 en IR^3 sabiendo que el transformado del vector (2,1) es el vector (1, 0,3) y el de (1, −2) es
(1,1, 0).
18.- Sea la transformación lineal en IR^3 determinada por la matriz
A
a) Hallar la expresión de la transformación lineal en forma vectorial.
a) A x 1 b) A (^) ( 2 x 1 ) c) A (^) ( x 1 (^) − x 2 )
24.- Demostrar que si x ∈ IRn es un vector propio de las matrices A B , ∈ M (^) n entonces
también lo es de la matriz A + B ∈ M n
25.- Hallar los valores y vectores propios de la matriz
A
Comprueba que cualquier par de vectores correspondientes a distintos valores propios son linealmente independientes.
26.- Si X es un vector propio de la matriz cuadrada A asociado al valor propio λ = 1.
Calcular A Xn , donde n es un número natural cualquiera.
