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Modelos discretos: ecuaciones y sistemas en diferencias
1. Introducción Utilizando como referencia el tiempo en tanto que variable continua, se edifican los modelos determinísticos continuos que básicamente están construidos sobre la teoría de ecuaciones y sistemas diferenciales. Ahora bien, el tiempo puede también considerarse una variable discreta, habida cuenta de que controlar su transcurso en una experiencia, exige la toma de medidas o de datos en determinados instantes que constituyen un conjunto finito o, en su caso, infinito numerable, de valores de las variables independientes.
Los modelos determinísticos discretos , básicamente constituidos por las ecuaciones y sistemas en diferencias , están referidos generalmente a la variable tiempo bajo una óptica discreta.
Puesto que un conjunto discreto, finito o infinito numerable es en definitiva una sucesión de elementos o un conjunto de datos numéricos que pueden ser dispuestos en correspondencia biunívoca con el conjunto N de los números naturales o con una parte de él, la variable dependiente y se representa, en este tipo de modelos, con los sucesivos índices indicativos del orden en que las medidas han sido tomadas. De este modo, si: t = 0 , 1 , 2 , 3 ,..., n , ...
escribiremos: y = y 0 ( 0 ), y 1 ( 1 ) , y 2 ( 2 ), ..., yn = y ( n ), ...
Una ecuación en diferencias es una expresión algebraica que relaciona los valores que toma una variable dependiente y , a través de una función, en determinados puntos de un dominio discreto. La diferencia entre el mayor y el menor de los índices que afectan a y en la expresión se llama orden de la ecuación en diferencias.
La expresión: n yn (^) + 2 − 3 yn = 2
es una ecuación en diferencias de orden 2 ( = n + 2 − n )o de segundo orden.
Supongamos que una población de insectos crece el triple en cada período de tiempo que transcurre entre dos medidas de lo que creció en el período inmediatamente anterior. Si llamamos yn a los efectivos en el instante n , la situación experimental indica
que: yn − yn − 1 = 3 ( yn − 1 − yn − 2 )
dado que el número de individuos nuevos en cada período ha de ser tres veces superior al de individuos nuevos que hubo en el período inmediatamente anterior, se tiene así: yn − 4 yn − 1 + 3 yn − 2 = 0
que es una ecuación en diferencias de segundo orden. Si las condiciones iniciales son,
por ejemplo, y 0 (^) = 104 , se tendrá:
y 2 − 4 y 1 + 3 × 104 = 0
o bien:
y 2 − 4 y 1 − 3 × 104 = 0
que exigirá una medida para n = 1 a fin de apoyar en ella el cálculo de efectivos en las sucesivas.
La estrategia metodológica es esencialmente semejante a la empleada con las ecuaciones diferenciales, a fin y al cabo éstas no son sino el paso al continuo de lo que las ecuaciones en diferencias significan.
2. Ecuaciones en diferencias lineales de primer orden Son ecuaciones que pueden ser escritas de la forma siguiente: y (^) n + 1 = p ( n ) yn + q ( n ) (1)
siendo p ( n ), q ( n ), funciones determinadas de la variable n o simplemente constantes.
En particular, las ecuaciones en las que no aparece el término q ( n )se llamarán
homogéneas. La ecuación: yn (^) + 1 = p ( n ) yn (2)
sería la homogénea asociada a (1).
La expresión (2) es una fórmula de recurrencia en la que conocidas las condiciones iniciales, es decir, y 0 , es posible calcular todos los términos de la sucesión:
{ yi } ( i = 0 , 1 , 2 ,..., n ,...).
En tal caso se tendrá a partir de (2): yn + 1 = p ( n ) p ( n − 1 ) p ( n − 2 )... p ( 2 ) p ( 1 ) p ( 0 ) y 0
cualquiera que sea n.
Se procede análogamente con la ecuación (1): y 1 (^) = p ( 0 ) y 0 + q ( 0 ) y 2 (^) = p ( 1 ) [ p ( 0 ) y 0 + q ( 0 )] + q ( 1 ) = p ( 1 ) p ( 0 ) y 0 + p ( 1 ) q ( 0 ) + q ( 1 )
............................................................................................................................................. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )... ( ) ( ) 2 1 ( 1 ) ( 2 )... ( ) ( ) 3 2 ... ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
1 1 2 ...^210012 ...^210
pn pn p q pn pn p q pn qn q n
yn pn pn p p p y pn pn p p q
Estas ecuaciones pueden ser útiles en la modelización del crecimiento de poblaciones referido a la sucesión de generaciones con intervención de fenómenos de inmigración. Se interpreta entonces p ( n ) yn como el crecimiento de la población concretado a la
generación n , y q ( n )como factor determinante del crecimiento de inmigración al mismo nivel generacional.
El problema de calcular la solución general de la ecuación homogénea radica en encontrar dos soluciones particulares que formen un sistema fundamental de soluciones. La ecuación homogénea: ayn + 2 + byn + 1 + cyn = 0
admite soluciones particulares de la forma:
λ n
con tal que λ verifique:
a λ^2 + b λ+ c = 0
que se llama ecuación característica de la ecuación en diferencias.
- Si la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas , evidentemente y^ (^ )^ n 1
1 = λy y ( ) n
2
2 = λforman un sistema fundamental de soluciones.
- Si la ecuación característica tiene una única raíz doble λ* , entonces un sistema fundamental de soluciones está formado por ( )^ ( )
n y^1 = λ* y (^ )^ ( )
n
y^2 = n λ*.
- Si la ecuación característica tiene dos raíces complejas λ 1 y λ 2 , éstas han de ser complejas conjugadas como consecuencia de ser reales los coeficientes de aquélla:
λ 1 =α+ β i λ 2 =α− β i
Entonces y (^1 )^ = λ 1 n y y (^2 )^ = λ n 2 han de constituir un sistema fundamental de soluciones.
Sea ρ = α^2 + β^2 su módulo y θ su argumento de manera que
tg θ = , la solución
general se escribe:
y (^) n = c 1 ρ n cos n θ+ c 2 ρ nsenn θ=ρ n ( c 1 cos n θ+ c 2 senn θ)
Ejemplo 1. La ecuación en diferencias: yn + 2 − 3 yn + 1 + 2 yn = 0
tiene la ecuación característica asociada:
λ^2 − 3 λ+ 2 = 0
cuyas raíces son:
La solución general es entonces: n yn = c 1 + c 2 ⋅ 2
Ejemplo 2. La ecuación en diferencias: yn + 2 + 2 yn + 1 + yn = 0
tiene asociada la ecuación característica:
λ^2 + 2 λ+ 1 = 0
que tiene la raíz doble:
La solución general es:
yn = ( c 1 + nc 2 ) ⋅( − 1 ) n
Ejemplo 3. La ecuación en diferencias: yn + 2 − 2 yn + 1 + 2 yn = 0
tiene asociada la ecuación característica:
λ^2 − 2 λ+ 2 = 0
que tiene la raíces complejas conjugadas:
λ 1 = 1 + i ; λ 2 = 1 − i
La solución general es:
( ) ( ) (^)
y = c n ⋅ n c n sen n n 1 2 cos 4 2 2 4
Considérese ahora la ecuación completa : ay (^) n + 2 + byn + 1 + cyn = s ( n )
Comenzaremos por emplear un método sistemático: variación de parámetros y coeficientes indeterminados.
Variación de parámetros Resolviendo:
( ) ( )
( )
2 2
1 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
n n
n n
n
n
ay ay
y y
sn ay
y
c n c n
( ) ( )
( )
2 2
1 2
2 1
1 1
1 2
1 1
2 2
n n
n n
n
n
ay ay
y y
ay sn
y
c n c n
que son ecuaciones de primer orden que permiten el cálculo de c 1 ( n )y c 2 ( n ).
Coeficientes indeterminados
(i) Si s ( n ) = α n , ensayar βα n (salvo que α sea raíz de la ecuación característica) y
determinar β.
(ii) Si s ( n )es un polinomio de grado m , ensayar un polinomio de grado m y determinar
sus coeficientes, salvo que 1 sea raíz simple de la ecuación característica, en cuyo caso ensayaremos un polinomio de grado m + 1. Si 1 es raíz de multiplicidad k se ensayará un polinomio de grado m + k. (iii) Si s ( n )es seno o coseno de α n , ensayar β sen α n + γcos α n. Determinar α y β.
( )
n n h yn c c
1 2
Ensayando la solución particular de la completa (coeficientes indeterminados): ( p ) n y (^) n = a ⋅ 2
Se tiene: ( ) 2 2 2
p n yn a 2 a 2 n +^2 − a 2 n ≡ 2 n → 2 a 22 − a = 1 ⇒ a = 1 / 7 Solución general:
n
n n yn c c 72
Ejemplo 6. Solución particular de: 2 y (^) n + 2 − 4 yn + 1 + 4 yn = 3 n
que verifica las condiciones iniciales: y 0 = 100 ; y 1 = 1000
λ^2 − 4 λ+ 4 = 0 → λ= 2 (doble)
( h ) (^) [ ] n y (^) n = c 1 + c 2 n ⋅ 2
Ensayando la solución particular de la completa (coeficientes indeterminados):
y^ (^ p )^ an bn c n =^ + +
2
y^ (^ p )^ a ( n ) b ( n ) c n + = +^2 + +^2 +
2 2 y^ (^ p )^ a ( n ) b ( n ) c n + = +^1 + +^1 +
2 1 Se tiene:
a ( n + 2 ) 2 + b ( n + 2 ) + c − 4 a ( n + 1 )^2 − 4 b ( n + 1 ) − 4 c + 4 an^2 + 4 bn + c ≡ 3 n^2 an^2 + ( b − 4 a ) n +( c − 2 b ) ≡ 3 n^2 ⇒ a = 3 ; b = 12 ; c = 24
Solución general:
y (^) n = ( c 1 + c 2 n ) ⋅ 2 n + 3 n^2 + 12 n + 24
Imponiendo las condiciones iniciales: y 0 = 100 = c 1 + 24 ⇒ c 1 = 76 y 1 = 1000 = ( 76 + c 2 ) ⋅ 2 + 39 ⇒ c 2 = 404 , 5
Ejemplo 7. Solución general de: 2 2 y (^) 2 3 y 3 n n n + + n =
i 2
2 λ^2 + 3 λ= 0 ⇒ λ=±
El número complejo i 2
tiene módulo 2
ρ = y argumento
θ =. Por tanto:
Solución general de la ecuación homogénea:
^ +
y = c sen n c n
n n h n 2
cos 2
1 2
Ensayando la solución particular de la completa (coeficientes indeterminados):
y^ (^ p )^ n ( an bn c )
n =^ ⋅ + +
Operando:
2 × 3 n^ +^2 ⋅[ a ( n + 2 )^2 + b ( n + 2 )+ c ] + 3 × 3 n ⋅( an 2 + bn + c ) ≡ 3 nn^2
2 × 32 ⋅[ an 2 + ( 4 a + b ) n + 4 a + 2 b + c ] +( 3 an^2 + 3 bn + 3 c ) ≡ n^2
21 a = 1 ⇒ a =
72 a + 21 b = 0 ⇒ b =−
72 a + 36 b + 21 c = 0 ⇒ c =
Solución general:
^ +
cos 2
y c 1 sen n c 2 n n n n
n n n
4. Sistemas de ecuaciones en diferencias lineales de primer orden con coeficientes constantes Se trata, en general, de la actuación simultánea de m ecuaciones en diferencias lineales lineales de primer orden con coeficientes constantes, en las que intervienen m variables dependientes:
f n
f n
y
y
a a
a a
a a a
y
y
m
m n
n
m mm
m
m
m n
n
1
1
1
21 2
11 12 1
1
1 1
Realmente, la referencia a m ecuaciones con m variables sólo implica una mayor complicación sin modificaciones esenciales respecto al caso m = 2 que será al que dedicaremos, exclusivamente, nuestra atención. Sea pues:
y n^1 + 1 = a 11 yn^1 + a 12 yn^2 + f 1 ( n )
y n^2 + 1 = a 21 yn^1 + a 22 yn^2 + f 2 ( n )
De la primera ecuación:
y^1 n + 2 = a 11 y^1 n + 1 + a 12 yn^2 + 1 + f 1 ( n + 1 )
Sustituyendo yn^2 + 1 extraída de la segunda:
y^1 n + 2 = a 11 y^1 n + 1 + a 12 ( a 21 y^1 n + a 22 yn^2 + f 2 ( n )) + f 1 ( n + 1 )
ecuación en la que solamente aparece un término: 2 a 12 a 22 yn
n n xn c c
Sustituyendo en la primera de las ecuaciones del sistema para determinar la expresión de yn :
1 1 2
1 2
1 (^1 1) − +
n n n n yn xn xn c c c c
7 2
5 5 2
1 5 2
5 5 2
1 5 (^1 2) −
(^) −
(^) + +
(^) +
(^) −
n n yn c c
Imponiendo las condiciones iniciales: x 0 = 150 = c 1 + c 2 − 4 → c 1 + c 2 = 154
7 2
y = = c c
Es decir:
c 1 = 77 − 45 5 ; c 2 = 77 + 51 5 Por tanto, la solución particular para estas condiciones iniciales será la siguiente:
( ) ( ) 4 2
n n xn
( ) ( ) 7 2
5 5 166 64 5 2
5 5 (^151 615) −
(^) − + −
(^) + = −
n n yn
Bibliografía [1] S. Goldberg, Ecuaciones en diferencias finitas, Marcombo, Barcelona, 1960. [2] T. Takahashi, Ecuaciones en diferencias con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, México D.F., 1990.
