Matemáticas 2 eso funciones, Ejercicios de Lenguaje y práctica musical

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MATEMÁTICAS

2.º ESO

8 Funciones. Características

Unidad 8. Funciones. Características

PÁG. 155

1. Representa estos puntos en unos ejes de coordenadas:

a. (3 , –1) c. (–2 , 0) e. (4 , 5) g. (–4 , 4)

b. (–5 , 3) d.

f. (0 , 3) h.

2. Determina las coordenadas de los puntos que aparecen en los siguientes

ejes de coordenadas:

A (2 , 3); B (–1 , –4); C (0 , –2); D (–5 , 1); E (3 , –1); F (–3 , –2); G (0 , 4); H (–4 , 3);

I (4 , 0); J (1 , 3)

3. Indica cuáles de las siguientes relaciones son funciones:

a. La hora del día y la temperatura.

Sí es función porque a cada valor de la variable x le corresponde único valor de

la variable y.

b. La edad de una persona y su estatura.

No es función porque a cada valor de la variable x le corresponde varios

valores de la variable y.

c. La duración de una llamada y su precio.

Sí es función porque a cada valor de la variable x le corresponde único valor de

la variable y.

PÁG. 157

6. Halla el dominio, el recorrido, los puntos de corte con los ejes y el signo de

estas funciones:

a.

b.

7. Dibuja una función con dominio [–5, 3], cuyos puntos de corte con los ejes

sean (0 , 2), (– 4 , 0) y (2 , 0); y que sea positiva en (–4 , 2) y negativa en [–5 , –4)

y (2 , 3].

Respuesta abierta. Por ejemplo:

8. La función y = x

2

• 4 no tiene puntos de corte con el eje X. Explica por qué.

¿Qué signo tiene la función?

Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x , 0). Al igualar la función a

cero, y = 0, la ecuación 0 = x

2

• 4 no tiene solución. La función es toda positiva.

9. Actividad resuelta.

D = [–4 , 3] y R = [–2 , 5]

Puntos de corte con los ejes:

 Con el eje X: (–2 , 0)

 Con el eje Y: (0 , 2)

Signo:

 Positiva: (–2 , 3)

 Negativa: (–4 , –2)

 Nula en x = – 2

D = [–2 , 5] y R = [–4 , 5]

Puntos de corte con los ejes:

 Con el eje X: (–2 , 0) y (2, 0)

 Con el eje Y: (0 , –4)

Signo:

 Positiva: (2 , 5)

 Negativa: (–2 , 2)

 Nula en x = – 2 y en x = 2

10. Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de las siguientes

funciones:

a. y = x – 4

 Con el eje X: se iguala a cero la variable y.

y = 0  0 = x – 4  x = 4

El punto de corte con el eje X es (4 , 0)

 Con el eje Y: se iguala a cero la variable x.

x = 0  y = 0 – 4 = –

El punto de corte con el eje Y es (0 , –4)

b. y = 3x + 12

 Con el eje X: se iguala a cero la variable y.

y = 0  0 = 3x + 12  x = –

El punto de corte con el eje X es (–4 , 0)

 Con el eje Y: se iguala a cero la variable x.

x = 0  y = 0 + 12 = 12

El punto de corte con el eje Y es (0 , 12)

c. y = x

2

• 5x + 6

 Con el eje X: se iguala a cero la variable y.

y = 0  0 = x

2

• 5x + 6  Se resuelve la ecuación de 2.º grado:

2 2

1

2

x b b ac

x x

a x

Los puntos de corte con el eje X son (2 , 0) y (3 , 0)

 Con el eje Y: se iguala a cero la variable x.

x = 0  y = 0 – 0 + 6 = 6

El punto de corte con el eje Y es (0 , 6)

d. y = x

2

 Con el eje X: se iguala a cero la variable y.

y = 0  0 = x

2

• 6  Se resuelve la ecuación de 2.º grado:

2 2

1

2

x

b b ac

x x

a x

Los puntos de corte con el eje X son (–1 , 0) y (1 , 0)

 Con el eje Y: se iguala a cero la variable x.

x = 0  y = 0 – 1 = –

El punto de corte con el eje Y es (0 , –1)

13. Representa gráficamente los siguientes datos de la tabla de valores.

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus

máximos y sus mínimos. ¿En qué punto se alcanza el máximo absoluto?

Hora del día

2 4 6 8 10

N.º de litros de lluvia 8 10 16 10 4

14. Dibuja una función que sea creciente en (1 , 4) y (6 , 7), decreciente en (4 , 5)

y constante en (5 , 6). ¿Tiene algún máximo? ¿Y algún mínimo?

Respuesta abierta. Por ejemplo:

Tiene un máximo en (4 , 5), pero no tiene mínimo.

15. Las bacterias se reproducen por bipartición, es decir, dividiéndose en dos.

a. Si se dividen cada minuto, elabora una tabla de valores que relacione el

número de bacterias y el tiempo, y, a partir de ella, determina su

expresión algebraica.

Su expresión algebraica es y = 2

x

b. Representa gráficamente los datos. ¿Es una función creciente o

decreciente? ¿Tiene máximo absoluto?

Es una función creciente, sin máximo absoluto.

Tiempo (min) 0 1 2 3 4

N.º bacterias 1 2 4 8 16

 Creciente: (2 , 6)

 Decreciente: (6 , 10)

 Máximo: (6 , 16)

 Máximo absoluto: (6 , 16)

16. ¿Existe alguna función continua que sea creciente en (–2 , 4) y decreciente

en (4 , 6) y tenga su mínimo absoluto en x = 4? Justifica tu respuesta.

No existe ninguna función, pues en x = 4 debería tener un máximo y no un

mínimo.

17. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los

extremos de las siguientes funciones:

a.

b.

SOLUCIONES PÁG. 161

18. Indica si las siguientes funciones son continuas. En el caso de que no lo

sean, di cuáles son sus puntos de discontinuidad.

a.

Función discontinua en x = 2

b.

Función discontinua en x = –1 y en x = 1

 Creciente en (–4 , –2), (2 , 3) y (4 , 5)

 Decreciente en (–2 , 2) y (3 , 4)

 Máximos en (–2 , 4) y en (3 , 2)

 Máximo absoluto en (–2 , 4)

 Mínimos en (2 , –1) y en (4 , 0)

 Mínimo absoluto en (2 , –1)

 Creciente en (1 , 2)

 Decreciente en (–5 ; –3,5) y (2 , 4)

 Constante en (–3,5 ; 1)

 Máximo absoluto en (2 , –3)

c. Es discontinua en x = –1 y en x = 4 y tiene el máximo absoluto en (2 , 4) y

el mínimo absoluto en (3 , –2).

Respuesta abierta. Por ejemplo:

20. Halla para la función propuesta:

a. El dominio y el recorrido.

D = [–6 , 5] y R = [–2 , 4]

b. Los puntos de corte con los ejes.

 Con el eje X: (–5 , 0), (–2 , 0) y (0 , 0)

 Con el eje Y: (0 , 0)

c. El signo.

 Positiva: [–5 , –2) y (0 , 5]

 Negativa: [–6 , –5) y (–2 , 0)

 Nula en x = –5, x = –2 y en x = 0

d. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos.

 Creciente: (–6 , –4) y (–1 , 3)

 Decreciente: (–4 , –1) y (3 , 5)

21. Representa gráficamente una función cuyo dominio sea [–4 , 5], que tenga

por el recorrido [–3 , 4] y sea discontinua en x = –2 y en x = 3.

Respuesta abierta. Por ejemplo:

22. Determina para la función propuesta:

a. Los puntos de corte con los ejes.

 Con el eje X: (–3 , 0) y (5 , 0)

 Con el eje Y: (0 , 3)

b. El crecimiento de la función y sus extremos.

 Creciente: (–5 , 0), (2 , 4) y (6 , 7)

 Decreciente: (0 , 2) y (4 , 6)

Extremos:

 Máximo: (0 , 3)

 Mínimos: (2 , 1) y (6 , –3)

 Mínimo absoluto: (6 , –3)

c. Sus puntos de discontinuidad.

Es discontinua en x = 4

23. Halla para la función propuesta:

a. El dominio y el recorrido.

D = [–6 , 7] y R = [–4 , 4]

b. Los puntos de corte con los ejes y el signo.

 Con el eje X: (–6 , 0), (–3 , 0), (–1 , 0), (2 , 0) y (4 , 0)

 Con el eje Y: (0 , –4)

c. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

 Creciente: (–4 , –2), (0 , 3) y (5 , 7)

 Decreciente: (–6 , –4), (–2 , 0) y (3 , 5)

26. La evolución del precio medio del litro de gasóleo en España en los últimos

seis años viene descrita en la siguiente gráfica:

a. ¿Qué precio tenía el gasóleo en el año 2013?

Tenía un precio de 1,30 €.

b. ¿Cuándo se pagó el litro de gasóleo a 1,25 €?

En 2011 y 2014.

c. ¿Qué año se alcanzó el precio más elevado? ¿Y el más bajo? ¿Cuáles

fueron esos precios?

El precio más alto se alcanzó en 2012 y fue de 1,35 €. El precio más bajo se

produjo en 2010 y fue de 1 €.

d. Señala los periodos de tiempo en los que se produjo una subida y una

bajada del precio del gasóleo.

Subió en el periodo: (2010, 2012) y bajó en: (2012, 2015).

27. La siguiente gráfica muestra el número de ventas de dos de los modelos que

comercializa una compañía de automóviles a lo largo de los últimos ocho

años.

a. ¿De cuál de los dos modelos se vendió más unidades en el último año?

Indica el número de vehículos vendidos.

El modelo A, del que se vendieron 45 000 coches.

b. ¿Cuántos coches se vendieron de ambos modelos en el año 2012?

Se vendieron 30 000 coches.

c. ¿En qué año se vendieron más vehículos de ambos modelos? Indica el

número de coches que se vendieron ese año.

Modelo A: en 2008 y se vendieron 55 000 coches.

Modelo B: en 2008, 2010 y 2015 y se vendieron 40 000 coches.

d. ¿Cuál de los dos modelos mantuvo el mismo número de ventas durante

dos años consecutivos?

El modelo B.

e. Describe cómo han variado las ventas de los dos modelos a lo largo de

los últimos ocho años.

Modelo A: en 2008 fue el año de más ventas y a partir de ahí, las ventas

bajaron hasta alcanzar su mínimo en 2013, para volver a subir hasta el 2015.

Modelo B: entre 2008 y 2009 bajaron las ventas, de 2009 a 2010 subieron

hasta alcanzar el máximo del 2010, para volver a bajar hasta 2011. De 2011 a

2012 se mantuvieron constantes las ventas y a partir de ahí, volvieron a subir.

28. La siguiente gráfica muestra las precipitaciones de las ciudades de Burgos y

Cádiz a lo largo de un año.

a. ¿En qué mes llueve más en ambas localidades? ¿Y menos? ¿Cuántos

litros caen durante esos meses?

En Cádiz: en enero y diciembre con 80 L/m

2

. En burgos: en mayo con 70 L/m

2

b. ¿Cuál de las dos ciudades alcanza las precipitaciones máximas? ¿Y las

mínimas?

Las máximas y mínimas precipitaciones se alcanzan en Cádiz.

c. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las precipitaciones

de ambas ciudades.

 En Cádiz:

Crece: de marzo a abril y de julio a diciembre.

Decrece: de enero a marzo y de abril a julio.

 En Burgos:

Crece: de marzo a mayo y de agosto a diciembre.

Decrece: de enero a marzo y de mayo a agosto.

PÁG. 165

1. ¿Cómo se llaman las dos variables que están relacionas en una función?

Variable independiente y variable dependiente.

2. ¿Se pueden representar todas las funciones mediante una expresión

algebraica?

No siempre.

3. ¿Es siempre posible unir los puntos de una gráfica? Justifica tu respuesta y

pon un ejemplo.

No siempre. Por ejemplo, si la función relaciona el número de bolígrafos, x, y su

precio, y, no se pueden unir los puntos pues la variable x, número de bolígrafos, no

es continua ya que no se pueden comprar 1,5 bolígrafos.

4. Define dominio y recorrido de una función.

El dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable

independiente, x, y se representa por D. El recorrido de una función es el

conjunto de valores que toma la variable dependiente, y, y se representa por R.

5. Si A y B son dos puntos de corte con el eje X y el eje Y, respectivamente,

¿cuáles son sus coordenadas?

A (x , 0), B (0 , y)

6. ¿Cuántos puntos de corte con el eje X puede tener una función? ¿Y con el

eje Y?

Con el eje X puede tener cualquier número de puntos de corte, pero con el eje Y

solo puede tener uno.

7. ¿Puede una función ser siempre nula? En caso afirmativo, dibuja su gráfica.

Sí, la recta que coincide con el eje X.

8. ¿Cómo se llaman los puntos donde la función pasa de ser creciente a

decreciente? ¿Y de decreciente a creciente?

Máximos y mínimos, respectivamente.

9. ¿Cuántos mínimos y máximos puede tener una función? ¿Y mínimos y

máximos absolutos?

Una función puede tener cualquier número de máximos y mínimos. También de

máximos y mínimos absolutos.

10. ¿Es posible que una función tenga tres puntos de discontinuidad? En caso

afirmativo, dibuja una función que lo cumpla.

Sí. Respuesta abierta. Por ejemplo:

11. ¿Puede una función creciente no cortar al eje X? En caso afirmativo, ¿cuál

es el signo de la función?

Sí puede. Será una función positiva.

12. ¿Existe alguna función que sea discontinua en x = 1 cuyo dominio sea [0 , 4]?

Si la hay, represéntala.

Sí. Respuesta abierta. Por ejemplo:

13. ¿Puede pasar una función por los puntos (1 , 3) y (1 , –3)? Justifica tu

respuesta, y, en caso afirmativo, represéntala.

No puede pasar por esos dos puntos, pues un valor de x, x = 1, tendría asociados

dos valores de y, y 1

= 3 e y 2

= –3, y entonces no sería una función.

14. ¿Puede una función ser nula en x = 2 y tener un máximo en el punto (2 , 5)?

Justifica tu respuesta.

No puede, pues si la función es nula en x = 2, es porque pasa por el punto (2 , 0),

luego no puede pasar por el punto (2 , 5) pues no sería una función.

3. Indica si estas gráficas corresponden a funciones:

a.

Sí es función porque a cada valor de la variable x le corresponde único valor de

la variable y.

b.

No es función porque hay valores de la variable x que le corresponde dos

valores de la variable y.

4. Averigua si la siguiente tabla de valores se corresponde a una función.

Justifica tu respuesta.

No se corresponde con una función, pues para el valor x = 1, le corresponden dos

valores de y, y 1

= 0 e y 2

5. Una papelería vende cuadernos a 1,50 € la unidad. ¿Es una función la

relación entre el número de cuadernos y el precio? En caso afirmativo,

determina:

Sí es una función la relación entre el número de cuadernos y el precio.

a. Las variables dependiente e independiente.

La variable independiente es el número de cuadernos y la variable

dependiente, el precio.

x – 3 – 1 1 1 3

y 4 – 2 0 3 5

b. La expresión algebraica que representa la función.

y = 1,50x

c. Una tabla de valores.

d. Su gráfica. ¿Se pueden unir los puntos? Justifícalo.

No se pueden unir los puntos, pues no se pueden comprar medios cuadernos.

6. Encuentra una expresión algebraica para la siguiente tabla de valores.

Represéntala usando GeoGebra.

x – 2 – 1 0 1 2

y – 6 – 3 0 3 6

N.º de cuadernos 1 2 3 4

Precio (€) 1,50 3 4,50 6