Matematicas 2 - primer año ade, Ejercicios de Matemáticas

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1. SINTAXIS BÁSICA

1.1. INTRODUCCIÓN AL LINGO

a) Lingo graba el modelo con extensión lg4 y la solución con extensión lgr.

b) Elegir las OPCIONES CORRECTAS al ejecutar Lingo. Menú: +

 Pestaña : en la casilla seleccionar para Problemas Lineales la opción <Prices&Ranges>. Para No Lineales y Lineales Enteros marcar solo .  Pestaña : seleccionar la opción si las variables son no negativas en el problema.  Pestaña : seleccionar la opción . En algunos problemas No Lineales y Lineales Enteros “difíciles” habrá que quitarla.  Pestaña : seleccionar siempre la opción .

c) Valores en la solución proporcionada por Lingo que hay que conocer:

 VALUE: Valor óptimo de las variables.  SLACK or SURPLUS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO : Valor óptimo de la función objetivo.  SLACK or SURPLUS: La diferencia entre el valor que toma la restricción y el valor máximo o mínimo que puede tomar. Es el valor de la variable de holgura.  Por ejemplo, si para la restricción 2x+3y+4z>500 el SLACK es 200, significa que si sustituimos el valor óptimo de las variables en 2x+3y+4z el valor que obtendremos será 200 unidades mayor que 500; es decir tomará el valor de 700. Es decir, en el óptimo nos pasamos 200 de 500.  Por ejemplo, si para la restricción 2x+3y+4z<500 el SLACK es 200, significa que si sustituimos el valor óptimo de las variables en 2x+3y+4z el valor que obtendremos será 200 unidades menor que 500; es decir tomará el valor de 300. Es decir, en el óptimo nos faltan 200 para llegar a 500.  DUAL PRICE: Indica lo que mejoraría aproximadamente el valor óptimo de la función objetivo por cada unidad que pudiéramos aumentar el termino independiente de la restricción correspondiente. Es decir, lo que aumentaría si el problema es de maximizar y lo que disminuiría si el problema fuera de minimizar. Entonces el nuevo valor óptimo de la función objetivo se calcularía como:  En un problema de maximizar: ݂ே∗^ ݂ൎ (^) ஺∗^ ݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌݁݀݊ܫ݋݊݅݉ݎ݁ܶ݊݋݅ܿܽ݅ݎ ܸܽ∗ ܲܦ ൅  En un problema de minimizar: ݂ே∗^ ݂ൎ (^) ஺∗^ ݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌݁݀݊ܫ݋݊݅݉ݎ݁ܶ݊݋݅ܿܽ݅ݎ ܸܽ∗ ܲܦ െ  REDUCED COST: Indica lo que empeoraría aproximadamente el valor óptimo de la función objetivo por cada unidad que decidiéramos aumentar el valor de una variable no negativa que vale cero en la solución óptima. Es decir, lo que disminuiría si el problema es de maximizar y lo que aumentaría si el problema fuera de minimizar. Entonces el nuevo valor óptimo de la función objetivo se calcularía como:  En un problema de maximizar: ݂ே∗^ ݂ൎ (^) ஺∗^ ݈ܾ݁ܽ݅ݎܸܽݎ݋݈ܸܽ݊݋݅ܿܽ݅ݎ ܸܽ∗ ܥ ܴെ  En un problema de minimizar: ݂ே∗^ ݂ൎ (^) ஺∗^ ݈ܾ݁ܽ݅ݎܸܽݎ݋݈ܸܽ݊݋݅ܿܽ݅ݎ ܸܽ∗ ܥ ܴ൅

Solución:

Global optimal solution found. Objective value: 568. Infeasibilities: 0. Total solver iterations: 2 Model Class: LP Total variables: 4 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 5 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 20 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 0. X2 0.000000 0.6000000E- X3 61.00000 0. X4 46.00000 0.

Row Slack or Surplus Dual Price BENEFICIOS 568.8000 1. MADERA 0.000000 2. ACERO 0.000000 11. ORO 10.00000 0. MANO_DE_OBRA 42.00000 0.

Interpretación de la solución:

1. Indica el valor óptimo de las variables y de la función objetivo.
2. Indica cuántos kilos de cada materia prima se utilizan en la producción óptima.
3. Si pudiéramos disponer de 2 kilos más de madera, ¿cuál sería aproximadamente el nuevo beneficio

óptimo?

4. Si dispusiéramos de 1.5 kilos menos de madera, ¿cuál sería aproximadamente el nuevo beneficio

óptimo?

5. Si pudiéramos disponer de 1 kilo más de oro, ¿cuál sería aproximadamente el nuevo beneficio

óptimo?

6. Si nos interesase fabricar 2 trofeos de fútbol, ¿cuál sería aproximadamente el nuevo beneficio?

EJEMPLO 1.1.2 (DE MINIMIZAR)

Una empresa desea producir un mínimo de 500 unidades en total de tres artículos A, B y C con el

coste mínimo. Para ello utiliza dos materias primas cuya limitación está en 720 u. y 600 u.

respectivamente. También necesita una tercera materia prima que no tiene limitada, pero de la que

desea gastar al menos 100 u. para deshacerse de su stock.

Modelo Lingo: !con la opción de variables no negativas activada; [coste]min=3x + 2y + 10*z;

[produccion_total]x + y + z > 500; [materia_prima1]2x + 3y + z < 720; [materia_prima2]x + 2y + z < 600; [materia_prima3]2x+2y+2z>100;

Solución:

Variable Value Reduced Cost X 220.0000 0. Y 0.000000 6. Z 280.0000 0.

Row Slack or Surplus Dual Price COSTE 3460.000 -1. PRODUCCION_TOTAL 0.000000 -17. MATERIA_PRIMA1 0.000000 7. MATERIA_PRIMA2 100.0000 0. MATERIA_PRIMA3 900.0000 0.

Interpretación de la solución:

1. Indica cuánto le conviene producir de cada artículo y el coste mínimo.
2. Indica el valor de los dual price e interprétalos
3. ¿Qué ocurría con el coste óptimo si la producción mínima fuera 502?
4. ¿Qué ocurría con el coste óptimo si la producción mínima fuera 497?
5. ¿Qué ocurría con el coste óptimo si tuviéramos tres unidades más de la primera materia prima?
6. ¿Qué ocurría con el coste óptimo si tuviéramos cuatro unidades menos de la primera materia prima?
7. ¿Nos interesa aumentar la disponibilidad de la segunda materia prima?
8. Indica el valor del reduced cost de la variable. Interprétalo.
9. ¿Qué ocurría con el coste óptimo si quisiéramos fabricar 2 unidades del producto B?
10. Indica el valor del slack or surplus de cada restricción e interprétalos

[Distribucion_L1] M1+T1>190; Solución:

Global optimal solution found. Objective value: 36530. Infeasibilities: 0. Total solver iterations: 7 Model Class: LP Total variables: 6 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 7 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 20 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost M1 100.0000 0. M2 0.000000 27. T1 90.00000 0. T2 110.0000 0. N1 0.000000 100. N2 245.3333 0.

Row Slack or Surplus Dual Price COSTE 36530.00 -1. PRODUCCION_L1 30.00000 0. PRODUCCION_L2 0.000000 -6. HORAS_M 0.000000 37. HORAS_T 0.000000 22. HORAS_N 54.66667 0. DISTRIBUCION_L1 0.000000 -77.

Interpretación de la solución:

1. Indica la solución óptima de las variables y la función objetivo. Interprétalo económicamente.
2. ¿Cuántas unidades de más se producen en cada línea finalmente?
3. Si cambiando la organización de la empresa pudiera alterarse el máximo de horas adicionales en alguno de los turnos ¿en cuál convendría hacerlo? ¿Cómo afectaría al coste mínimo?
4. Si finalmente solo se necesitara que en la segunda línea se produjeran 4800 unidades adicionales. ¿Cuál sería aproximadamente el nuevo coste? ¿Y si en lugar de 5000 fueran 5100?
5. ¿Existen algunos turnos en los que no se incrementan las horas de producción? Si fuera así ¿qué variación de coste tendría el empresario si decidiera aumentar al menos 10 horas en cada uno de ellos?
6. Si se pudiera cambiar la limitación de incrementar al menos en 190 horas la primera línea de producción antes de la noche ¿en qué sentido habría que hacerlo? Es decir, ¿aumentando o disminuyendo el 190?
7. Escribe el problema en forma estándar e indica el valor de las variables de holgura para el óptimo.
8. El óptimo obtenido es: a. ¿solución factible? b. ¿solución factible frontera? c. ¿solución factible interior? d. ¿satura alguna restricción?

1.2. PROBLEMAS CON SOLUCIÓN, NO

ACOTADOS E INFACTIBLES

Hay que ser capaz de identificar el tipo de solución que presenta un problema al resolverlo con lingo.

Es decir, identificar si el problema es:

a) Infactible: Indicado en el LINGO con una ventana de error con el texto: NO FEASIBLE SOLUTION

FOUND. La solución proporcionada por el LINGO en este caso no es válida.

b) No Acotado : Indicado en el LINGO con una ventana de error con el texto: UNFEASIBLE. La

solución proporcionada por el LINGO en este caso no es válida.

c) Con Solución Óptima.

Ejemplo 1.2.1 Resuelve con lingo:

Max 2x+y

s.a. x+y ≤ 10

x≥4,y≥

Si el problema tiene solución óptima, escribe la solución óptima (variables principales y función

objetivo)

Ejemplo 1.2.2 Resuelve con lingo:

Max x+y

s.a. x+y ≥ -

x,y≥

Si el problema tiene solución óptima, escribe la solución óptima (variables principales y función

objetivo)

Ejemplo 2.2.3 Resuelve con lingo:

Max 2x-y

s.a. x+y ≤ -

x,y≥

Si el problema tiene solución óptima, escribe la solución óptima (variables principales y función

objetivo)

Ejemplos:

MODELO LINGO

(CON opción v. no negativas)

LINGO

(SIN opción v. no negativas)

LINGO

(Usando @BND con números suficientemente grandes o pequeños) ݕ൑ 5 @FREE(y); y<5;

y<5; @BND(-10000,y,5);

െ8 ൑ y ൑ 40 @FREE(y) y<40; y>-8;

y<40; y>-8;

@BND(-8,y,40);

y libre @FREE(y); No se pondría nada @BND(- 100000,y,100000); y entera y≥

@GIN(y); @GIN(y); y>0; ݕ൑ 0 @FREE(y); y<0;

y<0;

Ejemplo 1 Min (3x^2 +y) 3 -2x

s.a. ex^ ≤ 20 ln(x^5 )≤ 5 x,y ≥ 0 Modelo lingo con la opción de variables no negativas:

Solución:

Ejemplo 2 Max 2x+3y-4z

s.a. 2x+y-3z ≤ 9 y ≤ 5 x entera, x ≥ 0, z ≤ 0 Modelo lingo con la opción de variables no negativas:

Modelo lingo sin la opción de variables no negativas:

Solución:

Ejemplo 3 Min 2xz 3 -y

s.a.

௫ାଶ௭ ௬ିଶ ൑ 150 x-y+z 2 ≤ x≥0 , y≤ Modelo lingo con la opción de variables no negativas:

Modelo lingo sin la opción de variables no negativas:

Solución:

2.1.- ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Para problemas de programación lineal podemos pedir a LINGO información adicional sobre la solución para poder realizar los análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo y de los términos independientes de las restricciones.

Para ello hacemos lo siguiente:

1. Ponemos en primer plano la ventana en la que hemos escrito el modelo (no la que contiene la solución).
2. Vamos al menú <LINGO +^ Range>. Así se abrirá una nueva ventana (cuyo contenido podemos guardar mediante FILE+Save) con dos nuevas tablas:

1.- La primera tabla ( Objective Coefficient Ranges ): contiene, en su primera columna, el coeficiente de la función objetivo de la variable correspondiente, y en las otras dos columnas lo que puede aumentar y lo que puede disminuir dicho coeficiente para que en la solución óptima del nuevo problema:

 las variables básicas y no básicas sigan siendo las mismas  el valor óptimo de las variables siga siendo el mismo.  (el valor óptimo de la función objetivo cambiará si se ha cambiado el coeficiente de una variable básica y no lo hará si se ha cambiado el coeficiente de una no básica)

2.- La segunda tabla ( Righthand Side Ranges ): contiene, en su primera columna, el término independiente de la restricción correspondiente, y en las otras dos columnas lo que puede aumentar y lo que puede disminuir dicho coeficiente para que en la solución óptima del nuevo problema:  las variables básicas y no básicas sigan siendo las mismas  (el valor óptimo de las variables puede cambiar. Aunque no lo hará el de las variables no básicas que siguen siendo las mismas; seguirán valiendo cero)  (el valor óptimo de la función objetivo puede cambiar. Aunque una aproximación puede calcularse mediante el Dual Price)

EJEMPLO 2.1:

Una empresa estudia poner en marcha un negocio de alquiler de coches. Tras un estudio de mercado

se estima que los ingresos semanales por alquilar un coche utilitario son de 240 €, si el coche es

familiar el ingreso es de 360 € y si es de lujo de 600 €. Ese mismo estudio indica que el total de coches

a comprar no debe superar las 50 unidades debido a limitaciones de demanda. Por otra parte, la

empresa dispone de un capital inicial de 630.000€ para realizar su inversión en la compra de coches,

cuyos precios son de 9.000€ si es utilitario, 18.000€ si es familiar y 60.000€ si es de lujo. Indicar el

número de coches que comprará de cada tipo si la empresa desea maximizar el ingreso semanal

esperado.

Modelo Lingo: !con la opción de variables no negativas activada;

[ingresos] max=240x+360y+600*z;

[demanda]x+y+z<50;

[capital]9x+18y+60*z<630;

Solución: Variable Value Reduced Cost X 30.00000 0. Y 20.00000 0. Z 0.000000 320.

Row Slack or Surplus Dual Price INGRESOS 14400.00 1. DEMANDA 0.000000 120. CAPITAL 0.000000 13.

Sensibilidad: Objective Coefficient Ranges:

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X 240.0000 68.57143 60. Y 360.0000 120.0000 56. Z 600.0000 320.0000 INFINITY

Righthand Side Ranges:

Current Allowable Allowable INGRESOS RHS Increase Decrease DEMANDA 50.00000 20.00000 15. CAPITAL 630.0000 270.0000 180.

Interpretación:

1. Valor óptimo de las variables y de la función objetivo.
2. Indica las restricciones que están saturadas.
3. Indica el valor de las variables de holgura y su interpretación económica.
4. Indica las variables básicas y las no básicas de la solución óptima obtenida.
5. Indica los intervalos de sensibilidad de cada uno de los términos independientes de las restricciones.
6. Indica los intervalos de sensibilidad de cada uno de los coeficientes de la función objetivo.
7. Si se decide disminuir el coste de alquiler de los utilitarios a 200 €, ¿qué podrías decir acerca de la solución óptima sin volver a resolver el problema?
8. Si se decide aumentar el coste de alquiler de los utilitarios a 310 €, ¿qué podrías decir acerca de la solución óptima sin volver a resolver el problema?
9. Si se decide aumentar el coste de alquiler de los coches de lujo a 700 €, ¿qué podrías decir acerca de la solución óptima sin volver a resolver el problema?
10. Si disminuye el presupuesto a 500.000€ ¿qué podrías decir sobre la nueva solución óptima?
11. Si disminuye el presupuesto a 400.000€ ¿qué podrías decir sobre la nueva solución óptima?
12. Si la empresa decide comprar un coche de lujo más, ¿qué ocurrirá con los ingresos?
13. ¿Le interesa a la empresa aumentar el capital inicial?
14. ¿En qué cantidad habría que incrementar como mínimo el alquiler de los coches de lujo para que resultarán rentables?

Solución: Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 0. X2 0.000000 0.6000000E- X3 61.00000 0. X4 46.00000 0.

Row Slack or Surplus Dual Price BENEFICIOS 568.8000 1. MADERA 0.000000 2. ACERO 0.000000 11. ORO 10.00000 0. MANO_DE_OBRA 42.00000 0.

Sensibilidad:

Interpretación:

1. Indica la solución óptima e interprétala económicamente.
2. Indica si al fabricar la producción óptima utiliza toda la cantidad de madera, acero, oro y mano de

obra disponible. En caso negativo, indica cuánto le sobra en cada caso.

3. ¿Cuánto variaría aproximadamente su beneficio si dispusiera de un kilo más de madera?
4. ¿Cuál sería aproximadamente el nuevo beneficio si dispusiera de un kilo menos de acero?
5. ¿Le interesa aumentar la cantidad disponible de alguna materia prima? ¿Y la cantidad de mano de

obra?

6. ¿Cuánto debería pagar como mucho por cada unidad adicional de las materias primas que le interesa aumentar?
7. Si sólo pudiera aumentar la cantidad de una de las materias primas ¿Cuál le interesaría aumentar?
8. El empresario se ha dado cuenta que parte de la materia prima que tenía almacenada se le ha

estropeado con las lluvias. Después de un minucioso análisis se da cuenta que dispone de 2.5 kilos menos de madera. ¿Influye esto en su producción óptima y en su beneficio óptimo? ¿Cómo?

9. El empresario tiene otra empresa también dedicada a la fabricación de trofeos una ciudad cercana. En esta segunda empresa se han quedado sin oro para la fabricación ¿Puede prestarles sin que su beneficio óptimo se vea alterado? En caso afirmativo ¿qué cantidad?. En caso negativo ¿por qué no?
10. Al empresario, desde un punto de vista estratégico, no le parece muy buena idea no fabricar ningún

trofeo de fútbol y baloncesto. ¿Cómo se modificaría su beneficio si decidiera fabricar finalmente algún trofeo de estos tipos?

2.3.- EJEMPLO 3 Análisis de Sensibilidad

Una empresa de tubos fabrica 4 modelos en cantidades (metros) x 1 , x 2 , x 3 , x 4 respectivamente utilizando goma, mano de obra de fabricación y mano de obra en empaquetamiento. La empresa ha de decidir cuántos metros de cada tipo fabricar y plantea el siguiente problema donde la función objetivo es el ingreso semanal en céntimos calculado mediante el precio de venta del metro de cada tipo de tubo. Las 3 primeras restricciones son las limitaciones de cada factor productivo. Las 3 últimas las limitaciones de demanda: ݔ34 .ݔܽܯ (^) ଵ ൅ 27ݔଶ ൅ 45ݔଷ ൅ 52ݔସ

݃. ܽ.ݏ (^) ଵ ݔሺଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ݔ ,ସ ሻ ൑ 480 (goma en Kgs.) ݃ଶ ݔሺଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ݔ ,ସ ሻ ൑ 7200 (mano de obra fabricación en minutos) ݃ଷ ݔሺଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ݔ ,ସ ሻ ൑ 9600 (mano de obra empaquetar en minutos) ݔଵ ൅ ݔଶ ൅ ݔଷ ൅ ݔସ ൑ 1000 (condición de demanda conjunta) ݔଶ ൑ 200 (demanda máxima del segundo producto) ݔସ ൒ 100 (demanda mínima del cuarto producto) ݔଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ݔ ,ସ ൒ 0 Al resolver el problema con LINGO se obtiene la siguiente información sobre la solución óptima: Variable Value Reduced Cost X1 700.0000 0. X2 0.000000 5. X3 0.000000 2. X4 300.0000 0. Row Slack or Surplus Dual Price INGRESO 39400.00 1. GOMA 100.0000 0. MANO_OBRA_ FABRICACION 800.0000 0. MANO_OBRA_EMPAQUETAR 0.000000 1. DEMANDA_CONJUNTA 0.000000 25. DEMANDA_MAXIMA_SEGUNDOPRODUCTO 200.0000 0. DEMANDA_MAXIMA_CUARTOPRODUCTO 200.0000 0. Objective Coefficient Ranges: Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 34.00000 18.00000 5. X2 27.00000 5.500000 INFINITY X3 45.00000 2.500000 INFINITY X4 52.00000 50.00000 3. Righthand Side Ranges: Current Allowable Allowable Row RHS Increase Decrease GOMA 480.0000 INFINITY 100. MANO_OBRA_FABRICACION 7200.000 INFINITY 800. MANO_OBRA_EMPAQUETAR 9600.000 1200.000 2400. DEMANDA_CONJUNTA 1000.000 400.0000 466. DEMANDA_MAXIMA_ SEGUNDOPRODU 200.0000 INFINITY 200. DEMANDA_MINIMA_CUARTOPRODUCT 100.0000 200.0000 INFINITY Responde de forma RAZONADA a las siguientes cuestiones e indica DÓNDE FIGURA LA INFORMACIÓN EXTRAÍDA.

1. Escribe la solución óptima del problema y el valor de la función objetivo. Explícala en términos del problema.
2. Indica cuántas variables de holgura tiene el problema y escribe el valor de las mismas. Interpreta su significado en términos del enunciado del problema.
3. ¿Existen soluciones óptimas alternativas?
4. ¿Cuántos kgs. de goma y minutos de mano de obra en cada sección se usan en la producción óptima?
5. Indica para qué valores de los precios de venta de los tubos del tipo 2 podemos garantizar que seguirá no siendo rentable fabricarlos. Razona.
6. La empresa puede aumentar 120 minutos la mano de obra en una de las dos secciones ¿En cuál debería hacerlo? ¿Cuál sería aproximadamente el nuevo ingreso óptimo?
7. La empresa quiere producir al menos 3 tipos de tubos ¿Cuál, además de los dos que ya produce, debería producir? ¿Cuál sería aproximadamente el nuevo ingreso óptimo?
8. La empresa se está planteando aumentar 10 unidades el límite de la demanda conjunta ¿Le interesa? Indica toda la información que tenemos sobre la nueva solución óptima.
9. La empresa se está planteando disminuir el precio de venta del primer tipo de tubo a 30 céntimos. ¿Qué se sabe sobre la nueva solución óptima?

3.- SINTAXIS

AVANZADA

@sum ( nº de sumandos : sumando )

Para escribir una expresión que sea una suma de sumandos con una misma estructura.

Ejemplos:

1. 2xy+3z+ 4 No se escribiría con @sum porque, aunque es una suma, sus sumandos no tienen la misma estructura.
2. 2x+3y+4z+5v Sí podría escribirse con @sum porque es una suma de sumandos con la misma estructura, en este caso del tipo constante por variable. Supongamos que esta expresión calcula el beneficio de una empresa, multiplicando el beneficio unitario de un producto por su cantidad fabricada. Sería: @sum( productos(i) : beneficio(i)*x(i) ) Donde:  productos representa a los productos. Les asignamos el índice i.  x son las cantidades consumidas de los productos (en este caso son las variables)  beneficio son las los beneficios de los productos

Si quisiéramos ponerle una etiqueta con nombre sería: [beneficio] @sum( productos(i) : beneficio(i)*x(i) )

3. 2x+3y+4z+5v < Sería igual que antes pero como en este caso es una desigualdad habrá que añadir después de la función @sum el signo de la desigualdad y el término independiente. Sería: @sum( productos(i) : beneficio(i)x(i) ) < 24 Si quisiéramos ponerle una etiqueta con nombre sería: [beneficio] : @sum( productos(i) : beneficio(i)x(i) ) < 24