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MAGNITUDES VALORADAS POR UNA FUNCIÓN
En Economía existen magnitudes que se pueden cuantificar. Para ello se utiliza una
función matemática que relaciona el valor de la magnitud con las variables de las que
depende.
Ejemplos:
La demanda de un bien depende del precio de dicho bien. Dicha relación se
puede expresar de la forma
2 d 400 p con 5 p 15.
En una empresa de producción, el coste, ingreso y beneficio son funciones de la
cantidad producida:
BQ beneficio
IQ ingreso
CQ te
Q producción
( )
( ) cos
Q es la variable independiente, C , I , B son las variables dependientes. Un valor de Q
conocido determina los valores de C , I y B.
Una empresa vende tres productos, del primero obtiene un beneficio de 10 € por
unidad vendida, del segundo 4 € y 7 € del tercero. Si llamamos x 1 , x 2 , x 3 a las
cantidades vendidas de cada uno de los productos, podemos expresar el beneficio en
función de ( x 1 , x 2 , x 3 ).
B ( x 1 , x 2 , x 3 ) 10 x 1 4 x 2 7 x 3 ,
con x 1 , x 2 , x 3 variables independientes, B variable dependiente.
Funciones de varias variables
Si una magnitud y depende de n variables x 1 , x 2 ,..., xn , utilizaremos una función
n f R R real de varias variables.
( x 1 , x 2 ,..., xn ) y f ( x 1 , x 2 ,..., xn )
Cuando la magnitud aparezca despejada en función de las variables vendrá
expresada en forma explícita : y f ( x 1 , x 2 ,..., xn )
Ejemplo: 12
2 y x 1 2 xx
Cuando la magnitud aparezca junto a las variables en una ecuación igualada a
cero, vendrá expresada en forma implícita : F ( x 1 , x 2 ,..., xn , y ) 0
Ejemplo: 2 1 2 0
2 x 1 xx y
Si la magnitud y tiene varias componentes, tendremos una función :
n m f R R
vectorial de varias variables.
( x 1 (^) , x 2 ,..., xn ) y f ( x 1 , x 2 ,, xn )( f 1 ( x 1 ,, xn ), f 2 ( x 1 ,, xn ),, fm ( x 1 ,, xn ))
Ejemplo:
3 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3
f
x x x y f x x x x x x x
R R
Cuando el valor de una magnitud z depende de unas variables y 1 , y 2 ,, ym , que a su
vez dependen de otras variables x 1 , x 2 ,..., xn , tendremos una valoración compuesta que
se modeliza con una función compuesta.
| ________________
n f m g
x xn y ym z
g f
R R R
g f ( x 1 ,, xn ) g ( f ( x 1 ,, xn )) g ( y 1 , ym ) z
Ejemplo:
f ( x 1 , x 2 , x 3 )( x 1 x 2 , x 2 x 3 )
g ( y 1 , y 2 ) y 1 y 2
g f ( x 1 , x 2 , x 3 ) g ( f ( x 1 , x 2 , x 3 )) g ( x 1 x 2 , x 2 x 3 ) x 1 x 2 x 2 x 3
Dominio de una función
El dominio de una función :
n f R R es el conjunto de puntos
1 ,^2 ,...,^
n x x xn R para los que existe valor de la función, es decir, para los que existe
un y R tal que y f ( x 1 , x 2 ,..., xn ).
Ejemplos:
Derivadas en funciones reales de varias variables
En las funciones :
n f R R , para estudiar el comportamiento de la función en
un entorno de un punto (^) a ( a 1 , a 2 ,, an ) tenemos que utilizar direcciones.
Sea a ( a 1 , a 2 ,, an ) un punto de
n (^) R y sea v ( v 1 , v 2 ,, vn ) un vector que
determina una dirección en
n R.
Para determinar un punto x ( x 1 , x 2 ,..., xn ) que esté próximo al punto
a ( a 1 , a 2 ,, an ) podemos situarlo en la dirección determinada por el vector
v ( v 1 , v 2 ,, vn ) de la siguiente forma:
Hacemos que x ( x 1 , x 2 ,..., xn )( a 1 , a 2 ,, an ) ( v 1 , v 2 ,, vn ) a v , con un
escalar cualquiera.
El conjunto de puntos x a v ( x 1 ,... xn )( a 1 ,..., an ) ( v 1 ,..., vn ), forman la
recta que pasa por a y que tiene dirección v.
Ejemplo:
Sea (^) a ( 1 , 1 )un punto de
2 R , entonces los puntos que están próximos al punto a en
la dirección del vector v ( 1 , 2 )son de la siguiente forma:
4
3
2
1
x a v
x a v
x a v
x a v
Para que x esté muy próximo al punto a , haremos que sea muy pequeño. Así
podemos estudiar a qué tiende el valor de la función en los puntos x a ^ v que están
tan próximos al punto a como queramos, haciendo que tienda a cero. (Si 0
entonces x a ).
Por tanto, para cada dirección determinada por un vector v existirá una derivada
primera de la función f en un punto a , que se define de la siguiente forma:
0
'( ) lim ,
n v
f a v f a f a v
R
Cuando la dirección esté determinada por uno de los vectores canónicos,
e 1 ( 1 , 0 , 0 , 0 ); e 2 ( 0 , 1 , 0 ,, 0 ); e 3 ( 0 , 0 , 1 ,, 0 );; en ( 0 , 0 , 0 ,, 1 ) ,
tendremos las llamadas derivadas parciales , en las que al pasar de un punto
a ( a 1 , a 2 ,, an ) a un punto a ei todas las variables permanecen constantes excepto
xi , puesto que :
( 1 , , , , ) ( 0 , , 1 , , 0 ) ( 1 , , i , , n )
i
a e i a ai an a a a
En consecuencia, una función real de n variables llevará asociadas n derivadas
parciales de primer orden, respecto de cada una de sus n variables.
lim
( ) '( ) lim
1 1 0 0
i i n i n e i
f a e f a f a a a f a a a a f a x
f i
Ejemplo:
2 f x 1 x 2 x 3 x 1 xx
lim
( , , ) lim
2 3
2 2 3 1
2 1 0
1 (^1230) 1
f x e f x x xx x x x x x x x
f
0 1 1
2 1 0
2 1
2 1 0
lim( 2 ) 2
lim
lim x x
x x x
lim.
lim
( , , ) lim
3
3 0
2 3
2 2 3 1
2 1 0
1 (^1230) 2
x
x
f x e f x x x x x x x x x x x
f
Y del mismo modo, 1 2 3 2 3
( x , x , x ) x x
f
Matrices de derivadas parciales primeras
Las n derivadas parciales que lleva asociadas una función :
n f R R en cada
punto a , forman una matriz fila que se denomina gradiente de f en a , y se simboliza
como
1 1 (^1 ,^1 )
( , ) ln( ) ( , )
2
2 2 2
Jf
y
x
x
xy
Jf x y
y
x y y
f
x
x y x
f f x y xy
Matriz de derivadas parciales segundas
Una función :
n (^) f R R lleva asociadas n funciones derivadas parciales primeras
1 2
n
n
f f f
x x x
R R. A su vez, cada una de las funciones derivadas parciales
primeras podemos derivarla respecto de cada una de las n variables, obteniendo así las
2 n funciones derivadas parciales segundas.
x i n j n x
f
x
x x x
f
i j j i
2
Ejemplo:
f xy x y x y x
2 4 3 ( , )
4 2 2 3 3 ( , ) 2 3 1 ( x , y ) 4 x y x y
f x y xy x y x
f
x y y xy x
f
x
x y x
f ( , ) ( , ) 2 6
4 2
2
2 2 2
2 ( , ) ( x , y ) 12 x y y
f
y
x y y
f
3 2
2 ( , ) ( x , y ) 8 xy 3 x x
f
y
x y y x
f
3 2
2 ( , ) ( x , y ) 8 xy 3 x y
f
x
x y x y
f
Estas derivadas se sitúan en una matriz de orden n n llamada matriz hessiana de f
en el punto a.
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2 2
2
2 1
2
1
2
1 2
2
2 1
2
a x
f a x x
f a x x
f
a x x
f a x
f a x x
f
a x x
f a x x
f a x
f
Hf a
n n n
n
n
Ejemplo:
2 f x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3
2 1 2 3 2 3 1
( x , x , x ) x x x
f
1 2 3 1 2
( x , x , x ) x x
f
3 1
3
1 2 3
2 0 2
x x
x
Hf x x x
1 2 3 13 3
( x , x , x ) 2 xx x
f
Hf ( 2 , 4 , 3 )
VALORACIÓN DE MAGNITUDES ECONÓMICAS
El análisis del comportamiento de las funciones económicas recurre a cuatro
valoraciones: valor total, valores medios, valores marginales y elasticidades.
Sea la magnitud y f ( x 1 , x 2 ,..., xn ). Se define:
Valor total en un punto a. Es el valor de la magnitud en cada punto
a ( a 1 , a 2 ,, an ) de su dominio, es decir, f ( a ).
Valores medios en un punto a. Valor medio de y respecto a la variable xi en cada
punto a es el cociente entre el valor total en a y el valor de la variable xi en a.
i n a
f a y a i
M xi^1 , ,
(^ )
DIFERENCIABILIDAD
En la función real de una variable y f ( x )el entorno de un punto x a tiene puntos
solamente en una dirección y por ello lleva asociada una única derivada de cada orden.
Los signos de estas derivadas f '( a ), f ''( a ),nos informan del comportamiento de la
función en ese punto. Es decir, basta con que la función sea derivable para conocer su
comportamiento.
En la función real de varias variables y f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) el entorno de un punto
x a tiene puntos en todas las direcciones, por lo que la función llevará asociadas
infinitas derivadas de cada orden. Ante la imposibilidad de calcular infinitas derivadas,
el hecho de ser derivable (que existan las infinitas derivadas) no es suficiente para
estudiar el comportamiento de la función. Necesitamos otro requisito, la
diferenciabilidad. Las funciones de varias variables que son diferenciables cumplen
una serie de propiedades. Para nosotros la más importante es la siguiente:
Admiten derivada primera en cualquier punto según cualquier vector y su valor es la
combinación lineal de las derivadas parciales primeras en el punto, con coeficientes las
componentes del vector.
1
2
1 2
1 2 1 2
n v n n n n
v
f f f v v f a f a v a a a x x x
v
f f f v a v a v a x x x
^
^
R
Si f es diferenciable y sus derivadas primeras son diferenciables diremos que f es dos
veces diferenciable y se verifica que
1
2 , ''( ) ( ) 1 2 ( )
n t v n
n
v
v v f a v Hf a v v v v Hf a
v
^
R
Ejemplo:
Sea la función dos veces diferenciable ( , , ) ( 2 3 )
2 f x 1 x 2 x 3 x 1 x x. Estudiaremos el
comportamiento de la función en el punto a ( 1 , 1 , 1 )en la dirección v ( 1 , 2 , 3 ).
1
x x x x x x x
f
1 2 3 1 2
( x , x , x ) x x
f
1 2 3 1 3
( x , x , x ) x x
f
f ( a ) ( 01 1 ) f ' v ( a ) f ( a ) v ( 01 1 ) Comportamiento
decreciente.
1
1
2 3 1 1
1 2 3
x
x
x x x x
Hf x x x
Hf ( 1 , 1 , 1 )
f '' ( a ) v Hf ( a ) v 123
t v^ Tendencia
acelerada.
Condición suficiente de diferenciabilidad
Si f es continua en un entorno del punto a y sus n derivadas parciales primeras son
continuas en a , entonces f es diferenciable en a.
Funciones de clase
1 C. Son aquellas que son continuas en todo su dominio, admiten
las n funciones derivadas parciales en todos los puntos de su dominio, siendo también
continuas en todo su dominio.
Funciones de clase
2 C. Son aquellas que siendo de clase
1 C admiten las
2 n
funciones derivadas parciales segundas en todo su dominio y son continuas en todo
punto de su dominio.
Las funciones de clase
2 C satisfacen el teorema de Schwartz , el cual garantiza la
igualdad de las derivadas parciales segundas cruzadas en cualquier punto, es decir,
2 2 ( ) ( ) 1, , 1, ,
n
i j j i
f f x x i n j n x x x x x
R
En consecuencia la matriz hessiana Hf ( a ) es simétrica y f a v Hf a v
t (^) v ''( ) ( ) es
una forma cuadrática.
obtenemos los puntos críticos, entre los cuales se encontrarán los extremos relativos de
la función.
Condición suficiente de extremo local
Dado que , ''( ) ( )
n t v R fv a v Hf a v es una forma cuadrática, si es definida
negativa (definida positiva) en el punto a la función alcanzará un máximo relativo
(mínimo relativo) y si es indefinida el punto a será un punto de silla.
Ejemplo
Encontrar y clasificar los puntos críticos de 13
2 2
2 1
3 (^) f ( x 1 , x 2 , x 3 ) x 3 x x 2 xx.
1 2 3 1 3 2
1
2 1 3
2 3 3
2 2 2
1 3 1 3 1
x x x x x x
x x x x x
f
x x x
f
x x x x x
f
Puntos críticos:
1
2
x
f 0 2 1
2
x x
f 2 3 1
2
x x
f
1 2
2
x x
f 2 2 2
2
x
f 0 3 2
2
x x
f
x
Hf
1 3
2
x x
f 0 2 3
2
x x
f 2 3 3
2 6 x x
f
Hf ( 0 , 0 , 0 )
3
2
1
A
A
A
Indefinida
( 0 , 0 , 0 ) es un punto de inflexión de f.
Hf
3
2
1
A
A
A
Definida positiva
es un mínimo relativo de f.
