Ejercicios de Espacios Vectoriales
1. Dados los vectores
)1,0,1(
1
=v
,
)0,1,2(
2
=v
,
)1,1,3(
3
=v
y
)2,2,2(
4
=v
; estudiar si
forman un sistema generador y una base de
3
ℜ
2. Dado un espacio vectorial V con dimV=3, siendo
321
,, vvv
vectores de V. ¿Puede ser
{
}
321
,, vvv
una base de V?
3. Sean
321
,, vvv
vectores de
2
ℜ
, ¿puede ser
{
}
321
,, vvv
un sistema generador de
2
ℜ
?
4. Dados los siguientes vectores de
3
ℜ
)3,2,1(
1
−=v
,
)1,0,5(
2
=v
,
)0,1,4(
3
=
v
y
)1,1,2(
4
−=v
a) Determinar si son sistema generador y base de
3
ℜ
b) Encontrar las ecuaciones del subespacio vectorial generado por
1
v
y
2
v
5. ¿Son los vectores
)1,0,1(
1
−=v
y
)3,0,1(
2
−=v
base de un supespacio vectorial de
3
ℜ
?
Calcular las ecuaciones del subespacio que generan.
6. Calcular los valores de a y b para que los vectores
{
}
)1,2,1,0(),1,0,1,(),0,,1,1( −−−− ba
sean linealmente dependientes. Obtener una base, la dimensión y las ecuaciones del espacio
vectorial que generan.
7. En un espacio vectorial de dim=4, ¿Cuándo 5 vectores son sistema generador del espacio?
¿Cuándo son base?
8. Dado el subespacio
{
}
yxzyxS 2/),,(
3
=ℜ∈=
, calcular la dimensión y una base de S
9. Dado el subespacio vectorial
{
}
03,02/),,(
3
=−=+ℜ∈=
yzyxzyxS
, determinar la
dimensión y una base de S
10. Sean los vectores
)1,0,(
1
kv =
,
)1,1,0(
2
−=v
,
),1,0(
3
kv
=
y
)0,0,1(
4
=v
a) ¿Podrían formar
{
}
4321
,,, vvvv
una base de
3
ℜ
? ¿Y un sistema generador de
3
ℜ
?
b) Calcular
k
para que
{
}
321
,,
vvv
sean una base de
3
ℜ
c) Calcular
k
para que
{
}
321
,,
vvv
generen un espacio vectorial de
3
ℜ
de dimensión dos
11. Dados
)1,1,1(
1
−=v
,
)0,1,2(
2
=v
,
)1,2,3(
3
−=
v
y
)2,1,0(
4
−=v
a) Calcular las ecuaciones del subespacio que generan
b) ¿Pertenece
)3,0,3(
al subespacio?
12. En
4
ℜ
se consideran el siguiente subespacio:
{
}
)1,1,1,0(),2,1,0,1(
1
−= LS
a) Calcular las ecuaciones cartesianas de
1
S
13. Sea el subespacio
{
}
0,0;0/),,,(
4
=+++=+=+ℜ∈=
tzyxtyyxtzyxS
a) Halle la dimensión de S.
b) Encuentre las ecuaciones paramétricas de S.
14. Sea S el subespacio generado por los vectores {(1,1,1), (1,1,2), (0,0,1)}.
a) Halle una base de S.
b) Halle las ecuaciones paramétricas y cartesianas de S.