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MATEM ´ATICAS 3
Licenciatura en Econom´ıa
Problemas propuestos para entregar
N◦ 2
Calcula en funci´on del par´ametro b los extremos locales de
f ( x , y ) = x^2 + ( b^2 + 2 ) y^2 + 2 xy + 5
Justificar si alguno de ellos es extremo global.
Soluci´on
En primer lugar, calculamos los puntos cr´ıticos de la funci´on. Para ello calculamos el gradiente y resolvemos el sistema ∇ f ( x , y ) = ( 0 , 0 ).
Esto es, se debe verificar { 2 x + 2 y = 0 2 ( b^2 + 2 ) y + 2 x = 0.
x = − y ( b^2 + 2 ) y + x = 0.
Sustituyendo la primera ecuaci´on en la segunda y simplificando obtenemos:
( b^2 + 1 ) y = 0.
La ´unica posibilidad es que y = 0 y por tanto, x = 0. As´ı, el ´unico punto cr´ıtico es ( 0 , 0 ). Hallamos la matriz hessiana
Hess f ( x , y ) =
2 2 ( b^2 + 2 )
Esta matriz es definida positiva, ya que
H 1 = 2 > 0 , H 2 = 4 ( b^2 + 2 ) − 4 = 4 b^2 + 4 > 0.
En consecuencia, la funci´on es convexa y el punto cr´ıtico es m´ınimo global con valor 5.
Estudiar la convexidad de f ( x , y ) = x^2 + ay^2 + ( a − 1 ) z
en funci´on del par´ametro a ∈ R ¿Cu´ando es ( 0 , 0 , 0 ) extremo global?
Soluci´on
Para estudiar la convexidad, calculamos la matriz hessiana
Hess f ( x , y ) =
0 2 a 0 0 0 2 ( a − 1 )
Los menores principales son :
H 1 = 2 > 0 , H 2 = 4 a , H 3 = 4 ( a − 1 ).
Al ser H 1 > 0 la matriz no puede ser definida (o semidefinida) negativa.
La matriz es definida positiva si 4 a > 0 y 4( a − 1 ) > 0.
La matriz es semidefinida positiva si 4 a > 0 y 4( a − 1 ) ≥ 0.
Por tanto, uniendo las dos condiciones de cada apartado, concluimos que:
Si a > 1 , la funci´on es estrictamente convexa.
Si a ≥ 1 , la funci´on es convexa.
Para que ( 0 , 0 , 0 ) sea extremo global, por lo dicho anteriormente, deber ser extremo local, lo que garantiza la globalidad al ser f convexa. Para obtener los puntos cr´ıticos calculamos el gradiente e igualamos a ( 0 , 0 , 0 ). El sistema resultante que debe- mos resolver es: (^)
2 x = 0 2 ay = 0 2 ( a − 1 ) z = 0.
Observamos que ( 0 , 0 , 0 ) siempre es punto cr´ıtico para la funci´on dada ya que es soluci´on del sistema. Por tanto ( 0 , 0 , 0 ) es extremo global si a ≥ 1 , ya que para estos valores de a la funci´on es convexa.
