¡Descarga Limitas de una función y producción agrícola - Prof. Tamborero y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEM ATICAS´ I Ic
APELLIDOS: NOMBRE:
! 2! 1 1 2
! 1
1
2
3
4
- (0.1 ptos.) Dibuja la gr´afica de e 5 x (^) in-
dicando sus l´ımites.
- (0.15 ptos.) Indica los l´ımites siguien-
tes de la funci´on cuya gr´afica muestra
la figura:
l´ım x→−∞
f (x) = l´ım x→ 0 +^
f (x) =
l´ım x→ 0 −^
f (x) =
- (0.2 ptos.) Descomp´on la funci´on
f (x) = e
10+ 5 ln^4 ( 6
√ x−1)
en las funciones que la componen.
- (0.2 ptos.) Calcula l´ım x→ 1 +^
e
10+ 5 ln^4 ( 6 √x−1) (^) indicando todos los pasos intermedios.
- (0.2 ptos.) Calcula el dominio de la funci´on f (x, y) =
ln x √ (^3) y
x + 2 − 5)
sen x .
- (0.2 ptos.) Estudia si la funci´on siguiente es homog´enea y en caso afirmativo indica
su grado de homogeneidad.
f (x, y) =
3
x + 2 y
(xy − y^2 )^5
- La producci´on agr´ıcola Q de cierto pa´ıs depende de la cantidad de tierra cultivable
disponible C (en millones de hect´areas), de la cantidad de maquinaria agr´ıcola dis-
ponible M (estimada por su valor en millones de euros) y del numero´ de agricultores
L (en millones), y viene dada por la funci´on
Q(C, M, L) = 10
C^2 M^2 L^3 miles de millones de C.
Actualmente el pa´ıs dispone de 18 millones de hect´areas cultivables, una maquinaria
valorada en 6 millones de euros y un total de 2 millones de trabajadores agr´ıcolas.
(a) (0.1 ptos.) Calcula la producci´on actual del pa´ıs.
(b) (0.1 ptos.) La pol´ıtica del gobierno en inversi´on en maquinaria agr´ıcola con-
siste en mantener la relaci´on M(C, L) =
CL. Calcula la funci´on compuesta
de ´esta y la funci´on Q(C, M, L) del enunciado (indicando su nombre).
(c) (0.2 ptos.) Explica la diferencia de interpretaci´on entre la funci´on Q(C, M, L)
y la funci´on compuesta calculada en el apartado anterior.
(d) (0.2 ptos.) Calcula ∆Q(18, 6 , 2)(− 2 , − 1 , 2) e interpreta el resultado. ¿Puede
ocurrir que la producci´on del pa´ıs var´ıe realmente de esta forma?
(e) (0.2 ptos.) Calcula cu´antos millones de trabajadores ser´ıan necesarios, te-
niendo en cuenta la pol´ıtica del gobierno, para que la producci´on agr´ıcola de
los 18 millones de hect´areas disponibles aumentara hasta los 80 miles de mi-
llones de C.
1 2 3 4 5
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
C
L
(f) (0.1 ptos.) La figura muestra la curva
de nivel de producci´on actual y la co-
rrespondiente a un nivel de producci´on
de 80 miles de millones de C. Razona
cu´al es cu´al bas´andote en su significado
y se˜nala en ellas los puntos correspon-
dientes a la situaci´on actual y a la del
apartado anterior.
(g) (0.15 ptos.) Escribe la ecuaci´on de la
curva de nivel que est´a m´as arriba en
la figura e interpr´etala.
(h) (0.2 ptos.) Calcula la funci´on impl´ıcita C(L) determinada por dicha curva de
nivel.
(i) (0.2 ptos.) Calcula C(2.5) e interpr´etalo. Comprueba que el valor que obtie-
nes se corresponde con la gr´afica.
1 2 3 4
500
1000
1500
2000
2500
3000
r
p
(c) (0.1 ptos.) La figura muestra las
curvas de nivel correspondientes a
A = 180 y A = 200. Razona cu´al
es cu´al bas´andote en su significado.
(d) (0.1 ptos.) Razona a partir de la
figura si, en caso de que el ´ındice
de precios fuera p = 3, el trabaja-
dor podr´ıa ahorrar 200 C /mes con
un salario de 1 900 C.
(e) (0.2 ptos.) Calcula r(2) e interpreta el resultado. Se˜nala en la gr´afica el punto
correspondiente.
(f) (0.1 ptos.) Supongamos que el salario del trabajador se revisa anualmente
teniendo en cuenta el ´ındice de precios, segun´ la relaci´on r(p) = 700
p. Calcula
la composici´on de las funciones A(r, p) y r(p). Indica el nombre de la funci´on
compuesta y simplif´ıcala.
(g) (0.2 ptos.) Se cumple (no hace falta que lo compruebes) que A(3) = 152. 75 C.
Interpreta este resultado.
(h) (0.2 ptos.) Calcula ∆A(1 400 , 4)(600, 5) e interpreta el resultado. ¿Podr´ıa
darse la situaci´on que expresa este incremento teniendo en cuenta los apartados
anteriores?
(i) (0.2 ptos.) Calcula el ´ındice de precios que permite al trabajador ahorrar 180
euros mensuales teniendo en cuenta sus condiciones salariales.
MATEM ATICAS´ I IIa
APELLIDOS: NOMBRE:
- La funci´on
D(r, i, p) =
10 + r − 2 i^2
p
representa la demanda de un producto en funci´on de la renta r de los consumidores,
de su precio de venta p y de un promedio i de los precios de los art´ıculos de primera
necesidad. Actualmente r = 5 u.m., i = 1 y p = 0. 5 C.
(a) (0.2 ptos.) Calcula e interpreta
∂D
∂i
en la situaci´on actual.
(b) (0.2 ptos.) Estudia mediante la derivada oportuna si, en la situaci´on actual,
un aumento de la renta de 1 u.m. hace aumentar o disminuir la derivada
considerada en el apartado anterior.
(c) (0.2 ptos.) Calcula e interpreta la elasticidad de la demanda respecto de p en
la situaci´on actual.
(d) (0.2 ptos.) Calcula dD(5, 1 , 0 .5) y utiliza el resultado para determinar apro-
ximadamente el efecto sobre la demanda de una disminuci´on de 0. 01 C en el
precio y un aumento de la renta de un 2%. Expresa correctamente el incre-
mento considerado.
(e) (0.1 ptos.) Calcula la direcci´on de m´aximo crecimiento de la funci´on D en el
punto (5, 1 , 0 .5).
A partir de este punto suponemos adem´as que el salario r del consumidor se
revisa anualmente seg´un el indicador i de modo que
∂r
∂i
Ø Ø Ø Ø Ø 1
= 5.
(f) (0.2 ptos.) Explica por qu´e, con toda la informaci´on disponible, no es v´alida
la conclusi´on del apartado (a). Calcula la derivada que nos permite concluir si
un aumento de i hace aumentar o disminuir la demanda. ¿Cu´al es la conclusi´on,
la demanda aumenta o disminuye?
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.
2
4
6
8
D
i
(g) (0.2 ptos.) Sabiendo que r = 5 i,
calcula la funci´on compuesta. La
figura muestra la funci´on D(i, 0 .5).
Escribe dicha funci´on y calcula el
valor de i que hace que la demanda
sea m´axima.
- (0.3 ptos.) Calcula las derivadas par-
ciales de
f (x, y) = (x^2 + x)sen^ y^ ln
3 ( 3
x + 2).
MATEM ATICAS´ I IIb
APELLIDOS: NOMBRE:
- La funci´on B(D, p, t) determina los beneficios de una empresa en funci´on de su
demanda D, del precio p de su producto y del tiempo en a˜nos t. En la actualidad
(t = 0) la demanda es de 40. 24 u.p. y el precio de venta es p = 2 C. Adem´as
∂B
∂D
Ø Ø Ø Ø Ø (40. 24 , 2 ,0)
∂B
∂p
Ø Ø Ø Ø Ø (40. 24 , 2 ,0)
∂B
∂t
Ø Ø Ø Ø Ø (40. 24 , 2 ,0)
Por otra parte, la demanda de la empresa viene dada por la funci´on
D(p, t) =
100 ln(20t − 3 t^3 + 5)
p^2
(a) (0.1 ptos.) Razona el signo que cabe esperar en la derivada de B respecto de
p e interpreta dicha derivada (con el signo correcto).
(b) (0.2 ptos.) Razona por qu´e no podemos usar la derivada considerada en el
apartado anterior para determinar el efecto que tendr´ıa sobre el beneficio un
aumento del precio de 0. 05 C. Calcula el incremento de beneficio que cabe
esperar realmente si se produce tal variaci´on del precio.
(c) (0.2 ptos.) Calcula dB(40. 24 , 2 , 0) y usa el resultado para aproximar el incre-
mento de beneficio que cabr´ıa esperar dentro de tres meses (0. 25 a˜nos) si, para
entonces, la empresa ha reducido su precio un 5% y su demanda ha pasado a
ser de 63. 65 u.p.
(d) (0.1 ptos.) Razona si, con los datos del enunciado, podr´ıa darse la situaci´on
descrita en el apartado anterior.
(e) (0.1 ptos.) Calcula la direcci´on de m´aximo crecimiento de B en el punto
(40. 24 , 2 , 0).
(f) (0.2 ptos.) Calcula la elasticidad actual de la demanda respecto del precio e
interpr´etala.
(g) (0.2 ptos.) Calcula el valor de
∂D
∂p
en las condiciones actuales y razona, calcu-
lando la derivada oportuna, si dicho valor aumenta o disminuye con el tiempo.
0.5 1.0 1.5 2.
50
60
70
D 80
t
(h) (0.2 ptos.) La figura muestra la
funci´on D(2, t). Escribe dicha funci´on
y calcula el momento en que la
demanda prevista tomar´a su valor
m´aximo.
- (0.25 ptos.) Calcula las derivadas parcia-
les de
f (x, y) = sen
2 (x
y^2 ln y ).
- La funci´on de producci´on de una empresa es Q(K, L, M) = KL ln M, donde K, L,
M son las cantidades empleadas de tres factores de producci´on. La empresa desea
alcanzar una producci´on de 100 unidades de producto.
(a) (0.1 ptos.) Escribe la ecuaci´on de la isocuanta de nivel 100 (curva de nivel
de producci´on) y comprueba mediante el teorema de la funci´on impl´ıcita que
define a M como funci´on impl´ıcita de K y L para K, L, M > 0.
(b) (0.2 ptos.) Calcula M(5, 4) e interpreta el resultado.
(c) (0.2 ptos.) Calcula la relaci´on de sustituci´on t´ecnica RST = −
∂M
∂L
Ø Ø Ø Ø Ø (5,4)
deri-
vando impl´ıcitamente la isocuanta e interpreta el resultado.
- (0.2 ptos.) Dada la funci´on f (x, y) = 113 y+^
x^2 + 1 , calcula
∂^5 f
∂x^2 ∂y^3
- (0.15 ptos.) Calcula Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø 4 7 2 − 2
2 3 1 − 2
3 5 0 − 3
− 2 − 2 − 1 5
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
- (0.1 ptos.) Calcula la matriz inversa de
A =
√ 4 7
2 3
!
.
MATEM ATICAS´ I IIIc
APELLIDOS: NOMBRE:
- El coste marginal de una empresa viene dado por
Cm(x) = 20 + x sen(3 + 0. 2 x),
donde x es la cantidad producida, y los costes fijos son de 50 u.m.
(a) (0.6 ptos.) Calcula la funci´on de costes.
(b) (0.2 ptos.) Si la producci´on actual es x = 20 u.p., calcula el coste medio de
las 5 ultimas´ unidades producidas.
- (0.5 ptos.) Calcula Z (^0)
−∞
1 − 3 x
ln
5 (1 − 3 x)
dx
- (0.5 ptos.) Calcula Pr(X ≤ 1), donde X es la variable aleatoria dada por la funci´on
de densidad
f (x) =
e
x si x ≤ 0,
3
4(x + 1)^4
si x ≥ 0.
- (0.5 ptos.) La demanda diaria de un producto es de 1 000 u.m. y su precio es
p = 1 C. Adem´as, su elasticidad viene dada por
E = −
pe^3 p
e^3 p^ + 1
Calcula la demanda que cabe esperar si el precio pasa a ser p = 3 C.
1 2 3 4
! 40
! 20
20
40
60 Bm(t)
t
- La gr´afica muestra el beneficio marginal de
una empresa durante un periodo de 4 a˜nos.
Razona a partir de la gr´afica:
(a) (0.1 ptos.) ¿El beneficio acumulado
por la empresa al final del periodo era
mayor o menor que a su inicio?
(b) (0.1 ptos.) ¿En qu´e momento alcanz´o
la empresa el m´aximo beneficio acumu-
lado?
