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Matemáticas 2. 1
Actividades de progresión personalizada
MAT PRO
G. Ruiz Bueno
Matemáticas
Actividades de progresión personalizada
MAT PRO
1. Divisibilidad y números enteros ............................... 2
2. Fracciones y decimales .... 16
3. Potencias .......................... 32
4. Álgebra ............................. 44
5. Ecuaciones ....................... 56
G. Ruiz Bueno
Catedrático de Matemáticas de IES
Páginas finales
Interior
Página inicial
Índice de los apartados en que se estructura la unidad.
Actividades para revisar los conocimientos iniciales necesarios para abordar la unidad.
Resumen de los contenidos necesarios para resolver las actividades propuestas.
Actividades resueltas con todo detalle que sirven de modelo.
Se plantean numerosos problemas que muestran la aplicación de todo lo aprendido en la unidad, incidiendo en la necesidad de plantear las diferentes etapas de resolución.
Actividades para comprobar si se han alcanzado los estándares de aprendizaje correspondientes a la unidad.
Actividades diseñadas para trabajar contenidos de la unidad con herramientas tecnológicas.
2 Unidad 1
1
Divisibilidad y números enteros
Conocimientos iniciales
- Divisores y múltiplos (^) – – – – – – – – – – – – – 3
- Números primos y números compuestos (^) – – 4
- m.c.d. y m.c.m.– – – – – – – – – – – – – – – – – 5
- Problemas de aplicación de m.c.d. y m.c.m. (^) – 7
- Números enteros (^) – – – – – – – – – – – – – – – 9
- Operaciones con números enteros (^) – – – – – – 10
- Problemas (^) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 12
VAS A APRENDER
U N I D A D
- Escribe tres números:
a) Impares: ......... , ......... y .........
b) Pares: ......... , ......... y .........
- Halla tres divisores de:
a) 24 → 2, 4 y 12
b) 36 → ......... , ......... y .........
Calcula tres divisores comunes de 48 y 72.
......... , ......... y .........
- Halla tres múltiplos de:
a) 24 → 48, 96 y 240
b) 36 → ......... , ......... y .........
Calcula tres múltiplos comunes de 12 y 15.
......... , ......... y .........
- Representa en la recta numérica y escribe orde- nados de menor a mayor estos números: - 3, 3, – 5, – 2, 1, 4
0
- Calcula:
a) |– 3| = ......... b) – |5| = ......... c) – | – 3| = .........
- Calcula:
a) 3 – 5 + 9 = 12 – 5 = 7
b) 2 – 5 + 7 – 9 – 3 =
c) 12 : (– 4) =
d) 3 + 4 · 5 =
- Calcula, en cada caso, el número que falta:
a) 3 – = 10 c) 12 : (– (^) ) + 12 = 15
b) – – 7 = – 25 d) – 3 · + (– 4) = – 4
- ¿De cuántas maneras podemos empaquetar en cajas iguales 12 botellines sin que sobre ninguno?
4 Unidad 1
- Números primos y números compuestos
RECUERDA
- Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y 1. Si tiene más divisores, es compuesto.
- Para saber si un número es primo, es suficiente comprobar que no es divisible por los números pri- mos menores o iguales que su raíz cuadrada entera.
- Rodea con un círculo los números primos: 24 37 15 23 17 34 73
- Averigua si los siguientes números son primos:
a) 137 Calculamos 137 11.
- 137 no es divisible por 2 porque no termina en cero ni en cifra par.
- 137 no es divisible por 3 porque 1 + 3 + 7 = 11, que no es múltiplo de 3.
- 137 no es divisible por 5 porque termina en 7.
- 137 no es divisible por 7 porque la división 137 : 7 no es exacta.
- 137 no es divisible por 11 porque 1 + 7 – 3 = 5, que no es múltiplo de 11. Por tanto, 137 es primo.
b) 181
- Descompón 252 en factores primos:
252 2 126 2 63 3 21 3 7 7 1
Por tanto: 252 = 2^2 · 3^2 · 7
- Descompón en factores primos estos números:
396
- Descompón en factores primos:
660 2 970
- En cada caso, escribe un número de 4 cifras que tenga en su descomposición factorial al menos los factores que se indican:
a) 32 , 5 y 11 → ................
b) 2, 3^3 y 13 → ................
c) 24 y 7^2 → .....................
- Busca en Internet cuántos números primos hay ma- yores que 500 y menores que 1 000, y escribe tres.
Hay .............. números primos mayores que 500 y menores que 1 000.
Por ejemplo: .............., .............. y ..............
Divisibilidad y números enteros 5
- m.c.d. y m.c.m.
RECUERDA
El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el producto de los factores comunes de sus factori- zaciones elevados a los menores exponentes.
- Calcula el máximo común divisor de 84, 126 y
Descomponemos 84, 126 y 396 en factores primos: 396 2 198 2 99 3 33 3 11 11 1 396 = 2^2 · 3 2 · 11
126 = 2 · 3^2 · 7
84 = 2^2 · 3 · 7
m.c.d. (84, 126, 396) = = m.c.d. (2^2 · 3 · 7, 2 · 3^2 · 7, 2^2 · 3 2 · 11) = = 2 · 3 = 6
- Calcula:
a) m.c.d. (2^4 · 3^3 · 5, 2 2 · 3^2 · 5^2 , 2^3 · 3^3 · 7) =
= m.c.d. (2^4 · 3^3 · 5, 2^2 · 3^2 · 5^2 , 2^3 · 3^3 · 7) =
b) m.c.d. (2^3 · 3 · 5 2 · 7, 3^3 · 7 2 , 2^3 · 3^2 · 7^2 ) =
= .......................... = ..............
Calcula:
a) m.c.d. (168, 192, 504) =
= m.c.d. ( .................... , .................... , .................... ) =
= ................................ = ........................... = ...............
b) m.c.d. (342, 396, 756) =
= m.c.d. ( ............,,,...... , .................... , ................... ) =
= ................................ = ........................... = ...............
c) m.c.d. (1 540, 3 150, 770) =
= m.c.d. ( ................................. , ................................. ,
................................. ) =
= ................................ = ...............
RECUERDA
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el producto de los factores comunes y no comunes de sus factorizaciones elevados a los mayores expo- nentes.
- Calcula el mínimo común múltiplo de 84, 126 y 396. Descomponemos 84, 126 y 396 en factores primos: 396 2 198 2 99 3 33 3 11 11 1 396 = 2^2 · 3^2 · 11
126 = 2 · 3^2 · 7
84 = 2^2 · 3 · 7
m.c.m. (84, 126, 396) = = m.c.m. (2^2 · 3 · 7, 2 · 3^2 · 7, 2^2 · 3^2 · 11) = = 2^2 · 3 2 · 7 · 11 = 2 772
- Calcula:
a) m.c.m. (2^4 · 3^3 · 5, 2^2 · 3^2 · 5^2 , 2^3 · 3^3 · 7) = = m.c.m. (2 4 · 3^3 · 5, 2^2 · 3^2 · 5^2 , 2^3 · 3^3 · 7) =
b) m.c.m. (2 3 · 3 · 5^2 · 7, 3^3 · 7^2 , 2^3 · 3^2 · 7^2 ) =
= ...................................... = ...................................... =
= .....................
Calcula: a) m.c.m. (168, 192, 504) =
= m.c.m. ( ...................... , ............... , ....................... ) =
= ...................................... = ...................................... =
= .....................
b) m.c.m. (342, 396, 756) =
= m.c.m. (................... , .................... , ...................) =
= ....................................... = ...................................... =
= .....................
Divisibilidad y números enteros 7
- Problemas de aplicación de m.c.d. y m.c.m.
- Hay tres líneas de autobuses que parten del campus universitario. Los autobuses de una de ellas salen cada 15 min; los de otra, cada 20 min, y los de la otra, cada 24 min. Si tres autobuses, uno de cada línea, han coincidido en su salida a las 12 de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir por primera vez?
Plan de resolución: Volverán a coincidir cada vez que la cantidad de minutos transcurridos sea un múltiplo común de 15, 20 y 24. Lo harán por primera vez cuando ese múltiplo sea el menor. Debemos buscar, pues, el m.c.m. de 15, 20 y 24.
Resolución:
24 2 12 2 6 2 3 3 1
m.c.m. (15, 20, 24) = m.c.m. (3 · 5, 2 2 · 5, 2^3 · 3) = = 2 3 · 3 · 5 = 120
Solución: Los tres autobuses coincidirán de nuevo por pri- mera vez transcurridos 120 min, es decir, a las 2 de la tarde.
12 3 6
9 15 min 20 min 24 min
- La abuela de Bea tiene una receta electrónica que regula la frecuencia con la que puede comprar los tres medicamentos prescritos por su médico. El pri- mero, cada 24 días; el segundo, cada 30 días, y el tercero, cada 45 días. Si hoy ha comprado los tres, ¿dentro de cuántos días coincidirán las compras por primera vez?
Plan de resolución:
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
Resolución:
Solución:
...........................................................................................
...........................................................................................
- Disponemos de una caja de 30 cm de largo, 24 cm de alto y 27 cm de ancho, y deseamos llenarla con cubos del mayor tamaño posible sin que sobre espacio.
¿Qué tamaño deben tener estos cubos?
Plan de resolución: Para que los cubos encajen perfectamente y llenen
la caja, su arista debe ser ............................ de .......... ,
.......... y ...........
Si los cubos deben tener el mayor tamaño posible,
debemos calcular el ...................................................
Resolución:
Solución:
..........................................................................................
27 cm
24 cm
30 cm
8 Unidad 1
- En un almacén se guardan cajas de 35 cm de altura y cajas de 45 cm de altura. Se quiere almacenarlas en columnas de cajas iguales y de la misma altura. ¿Cuál será la altura mínima de cada columna?
Plan de resolución:
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
Resolución:
Solución:
...........................................................................................
- Se quiere enmarcar dos cuadros utilizando trozos de moldura de la misma longitud. Si uno de ellos es un cuadrado de 48 cm de lado, y el otro, un rectán- gulo de 72 cm de largo y 60 cm de ancho, ¿cuál de- be ser la longitud máxima de cada trozo si no se quiere partir ningún trozo?
Plan de resolución:
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
Resolución:
Solución:
...........................................................................................
- Ainhoa desea embaldosar el suelo de su nave indus- trial, que tiene la forma de un rectángulo de 72 m de largo por 21 m de ancho, con placas cuadradas del mayor tamaño posible sin que sobre nada de es- pacio. ¿Qué dimensiones deben tener?
Plan de resolución:
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
Resolución:
Solución:
...........................................................................................
- Escribe el enunciado de un problema que verifique las siguientes condiciones:
- Intervengan los números 360, 450 y 720.
- Para resolverlo, se deba utilizar el mínimo común múltiplo.
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
a) Resuelve el problema.
b) Realiza una presentación que te sirva de ayuda para exponer el problema y su resolución.
10 Unidad 1
- Operaciones con números enteros
- Calcula con ayuda de un gráfico:
a) 2 – 5
2
- 3 0 2 - 5
2 – 5 = – 3
b) – 1 – 3
- 4 – 1 0 - 3 – 1 - 1 – 3 = – 4
c) – 3 + 5
- 3 0 2
5
- 3 - 3 + 5 = 2
- Calcula con ayuda de un gráfico:
a) 3 – 7 = .........
0 1
b) –5 – 9 = .........
0 1
c) 7 – 9 + 3 – 9 = .........
0 1
RECUERDA
Simplificación de la escritura: + (– → – – (– → +
- Calcula:
a) 5 – (–8) = 5 – (–8) = 5 + 8 = 13
b) 7 – 6 + (– 3) = ..............................................................
c) – 7 – (– 9) + 3 – (– 12) = ..............................................
......................................................................................
d) 13 – (– 6) + (– 8) – (– 10) = .........................................
......................................................................................
- Calcula:
a) 3 – [–25 + 7 – (–9)] = 3 – [– 25 + 7 – (–9)] = = 3 – (– 25 + 7 + 9) = = 3 – (– 25 + 16) = = 3 – (–9) = 3 + 9 = 12
b) 9 + [– 16 – (– 3) + 8] = 9 + [– 16 – (–3) + 8] =
= ............................................. =
= ............................................. =
= ..................... = ............. = ......
c) – 12 – [– 4 + 11 – (– 17)] =
- Aplica la propiedad distributiva y calcula:
a) (– 7) · (3 – 5 + 4) = (– 7) · (3 – 5 + 4) = = (– 7) · 3 – (– 7) · 5 + (– 7) · 4 =
= – 21 – (– 35) + (– 28) = = – 21 + 35 – 28 = = 35 – 49 = – 14
b) (– 2) · [– 3 – (– 6) + 5] =
- Extrae factor común y calcula:
a) 3 · (– 5) + 7 · (– 5) = 3 · (– 5) + 7 · (– 5) =
= (3 + 7) · (– 5) = = 10 · (– 5) = – 50
b) – 7 · (– 2) – 8 · (– 2) =
c) – 4 · 5 + 3 · 5 – 5 · (– 4) =
Divisibilidad y números enteros 11
- Extrae factor común y calcula:
a) 4 · (– 5) – 30 + 40 = – 4 · 5 – 6 · 5 + 8 · 5 = = 5 · (– 4 – 6 + 8) = = 5 · (–10 + 8) = = 5 · (– 2) = –
b) 42 – 14 · (– 3) + 70 =
RECUERDA
Para calcular operaciones combinadas, efectuamos:
- Paréntesis
- Productos y cocientes
- Sumas y restas
- Calcula: 3 · (– 4) – (– 5) · [– 2 – (– 9)]
3 · (– 4) – (– 5) · [– 2 – (– 9)] =
= 3 · (– 4) – (– 5) · (– 2 + 9) =
= 3 · (– 4) – (– 5) · 7 =
= – 12 – (– 35) =
= – 12 + 35 = 23
- Calcula:
a) 7 – (– 3) · [5 – 2 · (– 9)] =
b) – 6 : (– 2) – 7 · [3 – 8 · (– 4)] =
- Calcula:
a) 12 – 8 · [3 – 3 · (7 – 24 : 8)] =
b) – 6 : (– 2) + 7 · [– 5 – (– 3) · (12 – 4 · 6)] =
- Calcula:
a) – 12 : [18 + (– 5) · 3] – (– 4) · [7 · (– 3) + 5] =
b) 2 · [– 6 + 4 · 3 + (– 2) · 5] – (– 7) · [5 + 24 : (– 6)] =
c) – 5 + 7 · {– 12 – (– 3) · [7 – 5 · (– 8) + 1] – 4} =
Divisibilidad y números enteros 13
- Según la previsión meteorológica, la temperatura en la cumbre del Aneto descenderá 3 ºC por hora du- rante las próximas 7 h y ascenderá 2 ºC por hora las siguientes 5 h. Sabiendo que la temperatura actual es de 9 ºC, ¿qué temperatura se espera que haya después de 11 h?
Plan de resolución: Calculamos: 1 La temperatura al cabo de 7 h, teniendo en cuenta que baja 3°C cada hora.
2 La temperatura transcu- rridas las 4 h siguientes, pues 11 – 7 = 4, sabiendo que sube 2 °C cada hora.
Resolución:
1
2
Solución: La temperatura final será de ...................
- La temperatura actual en Sevilla es de 15° C y la va- riación máxima las últimas horas ha sido de 12° C. Utilizando el valor absoluto, escribe una expresión que permita hallar cuáles pueden haber sido las tem- peraturas máxima y mínima alcanzadas en Sevilla ese período de tiempo y calcula dichas temperaturas.
Plan de resolución: Debemos buscar dos números cuya diferencia con 15 sea 12. Esto, en lenguaje matemático, se expresa como:
...........................................................................................
Resolución:
Solución: La temperatura máxima que se puede haber alcan-
zado es de .................. , y la mínima, de ...................
0 ºC
10 ºC 3 ºC por hora
9 ºC
1
2
2 ºC por hora
- Patricia ha anotado las temperaturas máximas y mí- nimas alcanzadas en los últimos días en su localidad:
día mínima máxima 1 – 4 ºC 12 ºC 2 – 7 ºC 5 ºC 3 – 9 ºC – 3 ºC 4 – 5 ºC 8 ºC
a) ¿En qué día se produjo la mayor variación de temperatura?
Plan de resolución: Hallamos la variación de temperatura correspon- diente a cada día y observamos cuál es la mayor.
Resolución:
Solución: La mayor variación de temperatura se produjo
el día .............
b) ¿Cuál fue la variación de temperatura producida durante los cuatro días?
Plan de resolución: ...................................................................................... ......................................................................................
......................................................................................
Resolución:
Solución: La variación de temperatura durante los cuatro
días fue de ...................
Escribe un problema que cumpla las siguientes con- diciones y resuélvelo:
- Aparezcan 4 números distintos en el enunciado.
- Para resolverlo, se deba restar a uno de los nú- meros los otros tres números.
- El resultado sea un número negativo.
Practica con las TIC
Unidad 1
65 GeoGebra En la vista Cálculo Simbólico (CAS)
de GeoGebra podemos factorizar números y calcu- lar el m.c.d. y el m.c.m. de varios números.
a) Factoriza 5 544. Escribimos Factoriza [5544] y hacemos clic sobre
. De este modo, obtenemos:
23 · 3 2 · 7 · 11
b) Calcula el m.c.d. de 330 y 2 772. Escribimos MCD [330, 2772] y hacemos clic sobre
. Obtenemos: 66
c) Calcula el m.c.m. de 330 y 2 772. Escribimos MCM [330, 2772] y hacemos clic sobre
. Obtenemos: 13 860
d) Calcula el m.c.m. de 99, 36, 96 y 440. Escribimos MCM [{99, 36, 96, 440}] y selecciona- mos. Obtenemos: 15 840
66 GeoGebra En una prueba de resistencia, tres co-
ches salen de Cádiz para una ruta. El primero debe repostar cada 1 008 km; el segundo, cada 1 512 km, y el tercero, cada 1 134 km. Si llenan el depósito en Cádiz, ¿cuántos kilómetros deben recorrer para vol- ver a repostar los tres juntos por primera vez?
Calculamos el ................................................................
Instrucción: ...........................................................................
Resultado: ..................................
Repostarán los tres juntos por primera vez cuando
hayan recorrido ...........................................
67 GeoGebra Un mayorista de recuerdos turísticos
tiene en el almacén 13 860 llaveros, 5 929 camisetas y 17 017 imanes de nevera. Se acerca el día de un gran acontecimiento en la ciudad y decide hacer lo- tes de recuerdos de forma que cada uno tenga la misma cantidad de cada producto y no le sobre na- da en el almacén. ¿Cuál es el mayor número de lo- tes que puede hacer?
Calculamos el .......................................................................
Instrucción: ...........................................................................
Resultado: ..................................
Puede hacer como máximo .............................. lotes.
68 GeoGebra En la vista^ Cálculo Simbólico (CAS)
también podemos obtener el valor absoluto de un número entero, así como calcular el resultado de operaciones combinadas con números enteros.
a) Calcula el valor absoluto de – 15. Escribimos abs (– 15) y seleccionamos. Obte- nemos: 15
b) Calcula 75 – [(– 12) · (– 3) + 27 : 3].
Escribimos 75 – ((– 12) * (– 3) + 27 / 3) y hacemos clic sobre. Obtenemos: 30
69 GeoGebra Calcula:
a) | 234 · (– 7) | + (– 3) · (– 7)
Instrucción: ................................................................
Resultado: ..................................................................
b) – 7 – (– 5) · [12 : 4 + (– 3) · (4 · 2 + 9)]
Instrucción: ................................................................
Resultado: ..................................................................
70 GeoGebra Alejandro trabaja de comercial. Tie-
ne un sueldo de 1 200 fijos al mes más 55 por cada cliente nuevo, y gasta una media de 39 dia- rios entre combustible y comida. ¿Cuántos clientes nuevos ha conseguido un mes en que ha trabajado 22 días y ha ganado 1 497 ?
Operación: .......................................................................
Instrucción: ......................................................................
Alejandro ha conseguido ............... clientes nuevos.
71 GeoGebra En un centro escolar, se ha pasado
una prueba para comprobar el nivel de conoci- mientos en Historia. De los 1 243 estudiantes del centro, 454 han conseguido 4 puntos, 265 han ob- tenido 2, 120 han obtenido 1, y el resto, – 2. ¿Cuán- tos puntos ha obtenido el centro?
Operación: .......................................................................
...........................................................................................
Instrucción: ......................................................................
...........................................................................................
El centro ha obtenido ............... puntos.
MAT PRO es un proyecto diseñado para el aprendizaje de las matemáticas que se adapta a las distintas metodologías:
- Se centra en el aprendizaje autónomo y personalizado.
- Sigue un modelo de progresión gradual.
- Es integrable y polivalente.
- Se adecua al grado de madurez del alumnado.
- Responde al currículo del área de Matemáticas.
ISBN: 978-84-682-4306-
9 788468 243061
1 3 1 2 3
MAT PRO
MATEMÁTICAS 1
Matemáticas 1.
- Números naturales
- Divisibilidad
- Números enteros
- Fracciones
- Números decimales Matemáticas 1.
- Álgebra
- Proporcionalidad
- Rectas y ángulos
- Polígonos Matemáticas 1.
- Circunferencia y círculo
- Áreas y perímetros
- Funciones
- Estadística y probabilidad
MATEMÁTICAS 2
Matemáticas 2.
- Divisibilidad y números enteros
- Fracciones y decimales
- Potencias
- Álgebra
- Ecuaciones Matemáticas 2.
- Sistemas de ecuaciones
- Proporcionalidad
- Semejanza
- Poliedros Matemáticas 2.
- Cuerpos redondos
- Funciones
- Estadística
- Probabilidad
MATEMÁTICAS 3A
Matemáticas 3.1A
- Números racionales
- Números reales
- Polinomios
- Ecuaciones
- Sistemas de ecuaciones Matemáticas 3.2A
- Sucesiones y progresiones
- Relaciones geométricas
- Figuras planas y movimientos
- Cuerpos geométricos
- Funciones y gráficas Matemáticas 3.3A
- Funciones elementales
- Estadística
- Parámetros estadísticos
- Probabilidad
MATEMÁTICAS 3B
Matemáticas 3.1B
- Números y operaciones
- Números decimales
- Polinomios
- Ecuaciones
- Sistemas de ecuaciones Matemáticas 3.2B
- Sucesiones y progresiones
- Relaciones geométricas
- Figuras planas y movimientos
- Cuerpos geométricos Matemáticas 3.3B
- Funciones y gráficas
- Funciones elementales
- Estadística
- Parámetros estadísticos
MATEMÁTICAS 4A
Matemáticas 4.1A
- Números reales
- Potencias, radicales y logaritmos
- Polinomios y fracciones algebraicas
- Ecuaciones
- Sistemas de ecuaciones Matemáticas 4.2A
- Inecuaciones
- Trigonometría
- Geometría analítica
- Funciones Matemáticas 4.3A
- Modelos de funciones
- Estadística
- Combinatoria
- Probabilidad
MATEMÁTICAS 4B
Matemáticas 4.1B
- Números reales
- Proporcionalidad
- Polinomios
- Ecuaciones Matemáticas 4.2B
- Sistemas de ecuaciones
- Semejanza
- Áreas y volúmenes
- Funciones Matemáticas 4.3B
- Modelos de funciones
- Estadística unidimensional
- Estadística bidimensional
- Probabilidad
