¡Descarga Números enteros matematicas y más Monografías, Ensayos en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Pàgina 29
El pentàgon estrellat
- L'angle B
^ = 36° en el triangle ABF , i B
^ = 36° en el triangle EBD. Per altra banda, els triangles DAB i EBD són iguals; així, l'angle A
^ en el triangle ABF , i D
^ en el triangle EBD són iguals. Per tant, els triangles són semblants.
- El costat AF = d – l.
Per la semblança dels triangles ABF i EBD ; BF
BD
AF
= ED ;
és a dir, l
d d l
l
Operant, d ( d – l) = l^2 ; per tant, d^2 – dl – l^2 = 0.
Les solucions possibles per a d són:
d = l^ l^^2 +^ l^^2 = l 1±^5
Com que d no pot ser negativa:
d = l
, i l
d (^) = 2
Pàgina 31
1 a) Cert, perquè la part pintada està formada per tots els ele- ments de A que no es trobin a B****.
b) Cert, perquè la part pintada està formada per tots els ele- ments de A que no es trobin a B , ja que B' és el com- plementari de B.
c) Cert, perquè perquè un element es trobi en el conjunt pintat, o està en A i no està en B , o està en B i no està en A.
d) Cert, perquè perquè un element estigui en el conjunt pintat, ha d'estar en A o en B , però no pot estar en tots dos a la vegada ( A ∩ B ).
e) Cert, perquè, perquè un element estigui en el conjunt, o està en A i no està en B , o està en B i no està en A.
f ) Cert, perquè tots els nombres enters són racionals.
g) Cert, perquè, si un número és alhora múltiple de 2 i de 3, aleshores és múltiple de 2 · 3 = 6.
h) És la mateixa afirmació anterior.
i) Cert, perquè els elements de A – B estan en A i no estan en B ; aleshores estan en A i en B'.
j) Cert, perquè la implicació indica que tot element de A és un element de B.
k) Hem de comprovar que les dues següents afirmacions són certes: ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) ⇒ A ⊂ B que és l'afirmació de l'apartat j) A ⊂ B ⇒ x ∈A ⇒ x ∈B , però, si B conté A, és perquè tots els elements de A estan en B ; aleshores són equiva- lents i és vertadera l'afirmació. l) Fals, perquè pot existir algun element de B que no esti- gui en A. m) Cert, perquè els intervals representen conjunts de nom- bres reals i l'interval (0, 1) està format pels nombres compresos entre 0 i 1 que són més grans que 0 i més petites que 1; per tant, són afirmacions equivalents. n) Cert, perquè 2 és un número real que no és racional i és més gran que 1; tanmateix, 2 /2 també és irracional, però està entre 0 i 1.
o) Fals, perquè 0,5 és racional. p) Cert, perquè són els nombres reals que no són racionals, és a dir, irracionals, i, a més, han de ser majors que zero; per tant positius, i menors que 1. q) Cert, perquè els únics nombres enters majors que –2 i menors o iguals que 5 són els del conjunt indicat. r) Cert, perquè els nombres enters majors que –5 i menors que 7 estan en l'interval (–5, 7) i, a més, són enters.
s) Cert, perquè Á – Q és el conjunt de tots els nombres
reals menys els racionals, que és equivalent a dir els nom- bres reales que no són racionals.
Pàgina 32
Reflexiona i resol
6, 3
27 ∈ N 6,
27 , – 3 1 ∈ Z
27 ∈ Q 10 , 3 – 2 ∈
27 , 10 , 3 – 2 ∈ Á 4 – 16 no és real
(^4) – 16
4,
6
(^3) √—–
-^3 √ — 1 √
— 10
(^27) — 5
(^27) — 3
1 N ombres reals
Pàgina 33
2
g) 0 3 h) 0 1
e) –2 0 5 f ) –2 0 5 7
c) 0 3 6 9 d) 0
a) –3 – b) 0 4
g) 0 3 h) 0 1
e) –2 0 5 f ) –2 0 5 7
c) 0 3 6 9 d) 0
a) –3 – b) 0 4
3 a) 5 i –5 b) – 5 ≤ x ≤ 5; [–5, 5]
c) 6 i 2 d) 2 ≤ x ≤ 6; [2, 6] e) x < 2 o x > 6; (–∞, 2) ∪ (6, +∞) f ) x < –9 o x > 1; (–∞, –9) ∪ (1, +∞)
0 2 6
0 2 6
–5 0 5
–9 01
0 2 6
–5 0 5
Pàgina 34
4 a) 3 x^4 b) 3 x^2 c) y^2
d) 2 e) 3 4 f ) 3
5 És major 4 31.
6 a) 12 a^5 = 36 a^15 ; 18 a^7 =^36 a^14
b) 3 51 = 9 132 651; 9 132 650
7 a) k b) 3 x^2 c) x
Pàgina 35
8 a) 15 2 8 b) 6 3 5 c) 82 7
d) 2 12 2 5 e) 5 4 5 f ) 3 63 5
9 a) x –^2 b) 6 a b c) 6 a –^1 d) c bc
1 4 a
10 a) 6 3 b) 3 3 2 c) 10 8 d) 3
11 a) 10 x b) 7 2 c) 5 2 d) 5 3 – 3 2 e) 2 2 a f ) 0
Pàgina 36
12 a) 7
5 7 (^) b) 2
(^3 32) c) 3
(^21) d) a
a 2
e) 10
f ) 3
g) 5
h) 10
i) 2
(^36) j) 5
13 a) 2 – 1 b) x y
x x x y y x y y
c) a + 1 d) x y
x y 2 xy
e) 7
f ) 5 +2 6
g) 2
5 2 (^) h) x y
2 x
Pàgina 39
14 a) 4 b) –2 c) 0 d) –
e) 3 f ) 2 g) 4 h) – 4
i) –2 j) –
15 a) 5,… b) 4,… c) 4,… d) –1,… e) 1,… f ) 1 g) 4 h) 4
16 a) 2 10,55^ ≈ 1 500 b) 53,29^ ≈ 200 c) 1001,15^ ≈ 200
d) 100 0,80^ ≈ 40
17 a) , 3
18 y = e 5
2 x
Pàgina 41
19 I. E.R_._ < 2,6 % II. E.R_._ < 8,3 % L'error absolut ens el diuen i és major en I que en II. Hem calculat l'error relatiu en cada cas i veiem que l'afirmació és certa.
5 a) –2 ≤ x ≤ 7 b) x ≥ 13 c) x < 0
d) –3 < x ≤ 0 e) 2
(^3) ≤ x < 6 f ) 0 < x < +∞
6 a) [0, 2] b) [2, 10)
7 a) (–7, 7) b) [–∞, –5] ∪ [5, +∞]
c) (–4, 4) d) [–5, 7] e) (–11, 7) f ) (–∞, 4] ∪ [6, +∞)
8 a) [4, +∞) b) , 2
<– 1 +∞F c) (–∞, 0]
d) ∞, 2
c– 3 F e) (–∞, –1] f ) [–2, +∞)
9 a) (1, 6] b) [–1, 3] c) [2, 6] d) (0, 3)
10 a) (–3, 1) b) , 3
c 7 m
11 a) Entorn de centre 2
(^1) i radi 2
b) Entorn de centre 2,1 i radi 0,8.
c) Entorn de centre –1 i radi 1,2.
d) Entorn de centre –3,4 i radi 0,6.
12 a) 3 24 b) 3 16 c) 2 x
d) 5
(^3 3) e) 8 f ) 25
13 a) 2 3 2 b) 8 2 c) 10 10
d) 2 a^3 a^2 e) a 4 b
(^5 5) f ) 6
g) a a
(^4 1) h) 2 a (^2) + 1 i) a 12
14 a) 2 3 3 b) 3 c) – 3 322
d) 2 · 4 y e) 4
f ) 1
g) 10
(^3) h) 10
(^2) i) 2
15 a) 12 125 ; 12 81 ; 12 64 → 2 < 3 3 <^45
b) 6 216 , 6 16 → 34 < 6
c) 20 7 776, 20 10 000 → 4 6 <^510
d) 12 10000 ; 12 6561 ; 12 8000 → 3 9 < 6 100 <^420
16 a) 180 2 b) 6 2
(^1) c) 2
d) 2 3 18 e) 4 2 f ) 2
17 a) 6 108 b) a c) 4
(^1) d) 63
18 a) 6 2 b) 12 128 c) a^20 a
Pàgina 51
19 a) 3
b) 3 4 c) 6
d) 2
e) 3
(^4 3) f ) 5 3 +5 2
20 a) 35 5 b) – 15 3 2 c) 5 6
21 a) 9 2 – 3 b) 15
(^2) c) ( 4 – 2 a ) (^33) a
22 a) 2 2 + 3 b) –1 c) 38 – 12 10 d) 3
23 a) 3
6 – (^1) b) 1 6
– 3 +^5
d) 3 5 + 6 e) – 5 2 – 6 5 f ) 2
24 a) 3 + 5 2 b) – 2 35
25 a) 10 b) –3 c) –
d) 2 e) 2
(^1) f ) 2
g) 2
–^1
26 a) x = 5 b) x = 3 c) x = 2
d) x = 4 e) x = 5 f ) x = 16
27 a) x = 4 19, b) x = 10
(^1) c) x = 2,
d) x = –0,683 e) x = 3
f ) x = log 3 172 – 2
28 a) 1, b) ln (2,3 · 10^11 ) ≈ 26,16 → e 26,161^ ≈ 2,3 · 10^11 c) ln (7,2 · 10–5) ≈ –9,54 → e –9,54^ ≈ 7,2 · 10– d) 3,42 → 3 3,42^ ≈ 42, e) 0,41 → 5 0,41^ ≈ 1, f ) –4,88 → 2 –4,88^ ≈ 0,
29 a) 2 log a + 5
(^3) log b – 2 – 4 log c
b) ln x lny 4
+ –^1
30 a) x = 221 b) x = 4 c) x = 4
(^5) d) x = 5
31 a) 2 + x b) x – 3 c) 3 x
d) 3
(^1) (1 + x ) e) – x f ) x
32 a) z = y
x^2 b) z = x y
(^100) c) z = x
10 y d) z =
x
e y 2
2
33 a) E.A. < 0,5; E.R. < 0,
b) E.A. < 5 · 10^2 ; E.R. < 3,16 · 10– c) E.A. < 5 · 10^3 ; E.R. < 1,89 · 10 –
34 150
Pàgina 52
35 a) 8,57 · 10^13 > 4,53 · 10^13 > 3,27 · 10^13
b) 5 · 10–9^ > 2 · 10–9^ > 1,19 · 10–
B
c^ A^ + C m · D =2,75 · 10^6
E.A. < 5 000
E.R. < 0,0018248, que correspon a un 0,18 %.
37 a) 336 b) 10 c) 3326 400
38 a) 70 b) 792 c) 666 d) 84
39 a) n = –2 b) n = 10 c) n = 2 o n = 7
d) n = 6 e) n = 6 f ) n = 16
40 a) a^14 – 21 a^12 b + 189 a^10 b^2 – 945 a^8 b^3 + 2 835 a^6 b^4 –
- 5 103 a^4 b^5 + 5 103 a^2 b^6 – 2 187 b^7
b) a a b a b 243
a b ab b 9
41 495 x^8 y^16
42 a b 2
43 El coeficient de x^5 es –560.
44 Cinquè terme: x
4
45 El coeficient sisè és 1 701.
46 a) 6 cm b) 2 3 cm c) 3 2 cm
47 a = 3 cm VTetraedre = 8
(^27) cm 3
48 ALateral = 301,6 dm^2 E.A. < 0,05 dm^2 E.R. < 0,00016579, que equival a un 0,02 %.
49 Àrea demanada = 7,98 dm^2 E.A. < 0,005 dm^2 E.R. < 0,062618, que equival al 6,26 %.
50 R = 2,7057 · 10–7^ Z
51 v = 4,2857 · 10^14 vibracions per segon = = 2,5714 · 10^16 vibracions per minut E.A. < 5 · 10^11 vibracions per minut E.R. < 0,000019445, que equival al 0,002 %.
52 l = 0,98242 m
53 d = 1,5609 · 10^18 km E.A. < 5 · 10^13 km E.R. < 0,000032, que equival al 0,0032 %. m = 5,2711 · 10^32 kg E.A. < 5 · 10^27 kg E.R. < 0,0000094857, que equival al 0,00095 %.
54 a) k = 4 (la solució k = –3 no és vàlida). b) k = 5 (la solució k = –4 no és vàlida). c) k = 7 (la solució k = –2 no és vàlida). d) k = 3 (la solució k = –14 no és vàlida).
Pàgina 53
55 a) F b) V c) F d) V
56 a) Falsa, x –2^ = x
2 sempre és positiu per ser l'exponent parell, independentment del signe de x. b) Certa, perquè l'índex de l'arrel és imparell.
c) Falsa, 4
= >^1
57 a) Falsa. log m + log n = log ( m · n ) ≠ log ( m + n )
b) Falsa. log m – log n = log n
b m l ≠ log
log n
m
c) Certa. Per una propietat dels logaritmes. d) Certa. log x^2 = log ( x · x ) = log x + log x e) Certa. log ( a^2 – b^2 ) = log [( a + b ) · ( a – b )] = log ( a + b )
58 26 · 3 = 192
