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EJERCICIOS SOBRE
ANÁLISIS TENSORIAL
GRUPO 1
1. Escriba cada una de las siguientes expresiones teniendo en cuenta el convenio de sumación de índices repetidos. a) 1 3 2 3 3
1 2 ...^
N
a x x + a x x + +a x xN
b) 21 22 23 2 1 2 3 ...^ N A B + A B + A B + +A BN c) 1 2 1 2 ... j j j N A B + A B + +A BN d) 21 22 23 24 g g 11 + g g 21 + g g 31 +g g 41 e) 121 122 221 222 B 11 + B 12 + B 21 +B 22 ACTIVIDAD N° 02 Construya su aprendizaje, resolviendo los siguientes
2. Escriba término a término cada una de las siguientes sumas indicadas. a) ( )^ ,^3 k k g A^ N x = b) ,^2 jk p A B Ck j N = c) j (^) k k m x x x (^) x (^)
3. Halle el lugar geométrico representado por^1
k k
a x xk =
en donde ,^ 1, 2,..., k x^ k^ = N, son las coordenadas
cartesianas, ak son constantes positivas y N^ =2, 3^ ó^4
4. Escribe el sistema de ecuaciones q
a^ pq x^ =bp para N^ =^2
5. Escribe la ley de transformación de los tensores a) ij Ak b) ijk Bm c) Cmn
d) Am
10. Demuestre que la velocidad k dx (^) k v dt = de un fluido es un tensor, pero que k
dv
dt
no lo es.
11. Halle las componentes covariantes y contravariantes de un tensor en coordenadas: (a) cilíndricas r^ ,^ ,z; (b) esféricas ,^ , , sabiendo que sus componentes covariantes en coordenadas cartesianas son 2 2 x −z, x y, yz. 12. Las componentes contravariantes de un tensor en coordenadas cartesianas son: yz^ , 3, 2x^ +y. Halle sus componentes covariantes en coordenadas cilíndricas parabólicas. 13. Calcule a) p rs
q Bp
b) p r qs q s A c) p q s q r s d) p q r s q r s p
14. Si pq
Ar es un tensor, demuestre que
pr
Ar es un tensor
contravariante de primer orden.
15. Demuestre que 1, 0, jk j k j k
= = no es un tensor covariante con la notación expuesta.
16. Si q p (^) p q x A A x = demuestre que p q (^) q p x A A x =
17. Si p (^) s p (^) q r (^) q r s x x A A x (^) x = (^) demuestre que q r q p s (^) p s r x x A A x x =
18. Sabiendo que es un escalar o invariante, determine si 2 p q
x x
es un tensor.
19. Si p
Aq^ y Br son dos tensores, demuestre que
p r p q A Bq y A Bq son, asimismo, tensores y halle su orden.
20. Demuestre que si pq
Ars es un tensor,
pq qp Ars^ +Asr es un tensor simétrico y pq qp Ars^ −Asr es hemisimétrico.
27. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que un tensor de orden R se convierta en un escalar o invariante por contracciones sucesivas es que R sea par y que el número de índices covariantes y contravariantes sea igual a R/ 2. 28. Si rs
Apq^ y B son dos tensores, demuestre que su
producto externo es un tensor de cuarto orden y que se pueden formar dos productos internos de órdenes dos y cero, respectivamente.
29. Si (^ ,^ ) p A p q Bq^ =C , en donde Bq es un tensor covariante de primer orden cualquiera y p C un tensor contravariante de primer orden, demuestre que A p q( , ) es un tensor mixto de segundo orden. 30. Sean p A^ y Bq dos tensores arbitrarios. Demuestre que si (^ , ) p A B Cq^ p q es un invariante, C^ (^ p q^ , ) es un tensor que puede escribirse en la forma q Cp.
GRUPO 2
31. Exprese en forma matricial las ecuaciones de transformación de un tensor a) contravariante b) covariante de segundo orden c) mixto de segundo orden 32. Demuestre que en toda transformación afín r (^) r p r x = a xp +b , siendo r r a^ p y b constantes tales que r r p a ap q = q , las componentes covariantes y contravariantes de un tensor coinciden. En caso particular de la transformación sea de un sistema de coordenadas rectangular a otro rectangular, los tensores se llaman tensores cartesianos. 33. Halle jk g^ y g correspondientes al elemento de línea ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 3 2 1 3 ds = 3 dx + 2 dx + 4 dx − 6 dx dx 34. Si k jk A^ =g^ Aj, demuestre que k Aj^ =g^ jkA , y recíprocamente. 35. Exprese las relaciones entre los tensores asociados a) pq q A y Aj
a) j (^) q jk (^) p pq k x x g g x (^) x = (^) b) p k jk (^) pq j q x x g g x x =
40. Si p A es un campo vectorial, halle el vector unitario correspondiente. 41. Demuestre que los cosenos de los ángulos que un vector unitario i U en un espacio tridimensional forma con las líneas coordenadas son 1 2 3 11 22 33 , , U U U g g g 42. Exprese los símbolos de Christoffel de primera clase en coordenadas a) Rectangulares b) Cilíndricas c) Esféricas 43. Escriba los símbolos de Christoffel de segunda clase para la forma métrica ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ds = dx + [ x − x ] dx
44. Escriba la derivada covariante respecto de cada uno de los siguientes tensores a) jk Al b) jk Alm c) j Aklm d) jkl Am e) jk Almn 45. Halle la derivada covariante de a) k g (^) jkA b) j A Bk c) j k Aj respecto de q x. 46. Mediante la relación j jk A^ =g^ Ak deduzca la derivada covariante de j A a partir de la derivada covariante de Ak. 47. Mediante la notación tensorial demuestre que a)^0 r div rot A = b) rot grad^ =^0
