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Calculo Vectorial con algo de tensores, y notación indicial
Tipo: Apuntes
1 / 11
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Operador nabla
El operador nabla es:
x
∂ ∂x
y
∂ ∂y
zˆ
∂ ∂z
Definimos el
gradiente
de un campo escalar
ϕ
x~
por:
~ ϕ ∇
x
∂ϕ∂x
yˆ
∂ϕ
∂y
z
∂ϕ∂z
Sea
x~
x
x~
x
y
x~
yˆ +
z
x~
z
un campo vectoral.
La
divergencia
de
se define por
x~
x
∂x
y
∂y
z
∂z
rotor
El
rotor
de
es:
x
yˆ
zˆ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
x
y
z
El
laplaciano
de un campo escalar
ϕ
x~
es la divergencia del gradiente de
ϕ
x~
ϕ
2
ϕ
2
ϕ
∂x
2
2
ϕ
∂y
2
2
ϕ
∂z
2
Teorema de la divergencia
Pero
0
a
dy
0
a
dzA
x
x
=
x
=
a
0
a
dy
0
a
dzA
x
a, y, z
0
a
dy
0
a
dzA
x
, y, z
Podemos ver que estos son los flujos de
a través de las tapas del cubo correspondientes a
x
a
y
x
. El signo menos se debe a que la normal a la tapa en
x
es
x
Un volumen arbitrario
lo podemos descomponer en
cubos de lado
a
adyacentes
tal que
Na
3
. Esto es exacto para
. Veamos qué sucede si aplicamos nuestro resultado
previo para dos cubos adyacentes:
V
1
UV
2
d
3
x
V
1
d
3
x
V
2
d
3
x
S
1
d S
S
2
d S
S
d S
Notar que el flujo de
en la cara común de los dos cubos adyacentes se cancela porque las
normales se dirigen en direcciones opuestas. Sólo queda el flujo a través de las caras(
) que
rodean el volumen
1
2
Teorema del Rotor(Stokes)
Sea
una superficie abierta, cuyo borde es una curva cerrada
. Entonces:
S
d S
C
d x
para todo campo vectorial
definido en
. El miembro derecho de la igualdad es la
circulación
de
a lo largo de la curva
se recorre siguiendo
la regla de la mano derecha:
Figura 1.
Con la mano derecha tomo la normal
n
a la superficie
en cada punto, con mi dedo pulgar
en la dirección de
n
. La curvatura de los demás dedos da la orientación de
Ejemplos
Consideremos el campo eléctrico debido a una carga
q
en el origen. Encontrar:
El flujo del campo eléctrico a través de una esfera centrada en el origen de radio
Tenemos que:
kq
rˆ r
2
n
r
S
.n
dS
kqR
2
S
dS
kqR
2
πR
2
πkq
La divergencia del campo eléctrico:
kq
x
x r
3
y
y r
3
z
z r
3
x
x r
3
r
3
x
r
4
x
r
x
r
x r
x
x r
3
r
3
x
2
r
5
r
3
x
2
y
2
z
2
r
5
r
La divergencia del campo eléctrico está concentrada en el origen.Definamos la ”función” deltade Dirac:
δ
x~
si
x~
y
d
3
xδ
x~
, la integral cubre todo el espacio. Entonces:
πkqδ
x~
Ejemplos
Encontrar
rot
, para el campo eléctrico debido a una carga puntual
q
1
situada en
x~
1
La circulación de
a lo largo de la curva definida por dos segmentos de radios y los
arcos correspondientes. La carga
q
está situada en el centro de la esfera.
r
1
r
2
En los arcos la integral de línea se anula, dado que el campo
es perpendicular a la tangente al arco.
.d x
. Se tiene:
C
.d x
r
1 r
2
drk
q r
2
r
1 r
2
drk
q r
2
Por
superposición,
el campo electrostático debido a un número arbitrario de cargas
puntuales satisface que
Debido al teorema del rotor
C
.d x
para cualquier curva cerrada
. Esto significa que el campo electrostático es
conservativo
y que es posible definir el potencial electrostático, como veremos posteriormente.
Ecuación de Laplace
Queremos estudiar las condiciones de borde que garanticen la unicidad de la solución a laecuación de Laplace:
2
φ
φ
x~
existe en
x~ǫV
. Las condiciones de borde se dan sobre
la superficie cerrada
que encierra el volumen
Sean
φ
1
φ
2
dos soluciones a la ecuación de Laplace en
que satisfacen las mismas
condiciones de borde sobre
Se tiene que
ψ
φ
1
φ
2
satisface la ecuación de Laplace en
Usando la fórmula de Green:
V
d
3
x
ψ
2
ψ
ψ
2
V
d
3
x
ψ
2
S
dS
ψ
∂ψ∂n
φ
x
φ
0
x
xǫS
. Entonces
ψ
x
xǫS
ψ
2
, xǫV
ψ
x
c, xǫV
Pero
ψ
en
c
Por lo tanto si se da la función
φ
x
sobre la superficie cerrada
, existe una única solución
a la ecuación de Laplace en
Neumann
φ
se conoce sobre
la superficie
. Entonces
∂ψ∂n
en
Por lo tanto:
ψ
2
, xǫV
ψ
x
c, xǫV
Por lo tanto si se da la derivada normal de la función
φ
x
sobre la superficie cerrada
, existe
una única solución a la ecuación de Laplace en
, salvo por una constante aditiva arbitraria.
