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MATEMÁTICAS BÁSICAS - Laboratorio de ejercicios, Ejercicios de Análisis Matemático

Escuela Politécnica de ChimborazoAnálisis Matemático

DESARROLLA EN FORMA RESUMIDA CADA UNIDAD CON:I. GUIONES DE CONFERENCIASII. FICHAS DE ESTUDIOIII. LABORATORIOS DE EJERCICIOS

Tipo: Ejercicios

2013/2014

Subido el 13/09/2014

gavriel.rubio
gavriel.rubio 🇪🇨

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http://www.matelandia.org/
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA:
ÁLGEBRA
DESARROLLA EN FORMA RESUMIDA CADA UNIDAD CON:
I. GUIONES DE CONFERENCIAS
II. FICHAS DE ESTUDIO
III. LABORATORIOS DE EJERCICIOS
Trata las unidades siguientes:
UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS
UNIDAD 7: ECUACIONES E INECUACIONES POLINÓMICAS
UNIDAD 8: EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS
UNIDAD 9: EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS
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¡Descarga MATEMÁTICAS BÁSICAS - Laboratorio de ejercicios y más Ejercicios en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!

http://www.matelandia.org/

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA:

ÁLGEBRA

DESARROLLA EN FORMA RESUMIDA CADA UNIDAD CON:

I. GUIONES DE CONFERENCIAS

II. FICHAS DE ESTUDIO

III. LABORATORIOS DE EJERCICIOS

Trata las unidades siguientes:

UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS

UNIDAD 7: ECUACIONES E INECUACIONES POLINÓMICAS

UNIDAD 8: EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS

UNIDAD 9: EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA:

ÁLGEBRA

UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS

“Las matemáticas son el alfabeto con que Dios creó el Universo” Galileo.

GUION DE CONFERENCIA No. 8

POLINOMIOS

GENERALIDADES

OPERACIONES

Contenidos y Láminas No. 6.1 a 6.

FICHAS DE ESTUDIO DE LOS POLINOMIOS

I OBJETIVOS

II ACTIVIDADES DE PREPARACIÓN

III ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

LABORATORIOS

CUESTIONARIO No. 8

RESPUESTAS

LÁMINA DE PRESENTACIÓN

CONFERENCIA No. 8

UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS

CONTENIDO:

  • Polinomios y sus características

  • Operaciones con Polinomios.

  • División Euclídea en los Polinomios.

LÁMINA 6.

  1. EXPRESION ALGEBRAICA : Combinación de números y letras ligados con signos de operaciones algebraicas.

Ejemplos: A = π r 5 , x 5 /(1 + x^3 ), z = x^2 + y^2

Observaciones: los números son las constantes, 2, π; las letras son las variables, indeterminadas o incógnitas, r, x, y; y las operaciones algebraicas están representadas

por: +, -, H, ÷ ,.

No son expresiones algebraicas: x

3 , log (sen x/6) En las expresiones algebraicas racionales o irracionales, la más simple es la llamada monomio , como π r 5.

2. MONOMIO : es la expresión algebraica de la forma ax 6 , donde a ε ℜ es el

coeficiente , y x 6 es la parte literal en la indeterminada x con exponente n ε N, que indica el grado del monomio igual a n. 3x^5 es un monomio de grado 5, pero x 5 y^3 también es un monomio de grado 5.

2 es un monomio de grado 0. Toda constante no cero tiene grado cero.

  1. MONOMIOS SEMEJANTES : cuando tienen la misma parte literal. 3x^4 , - (2/3)x^4 son monomios o términos semejantes y pueden reducirse a un solo monomio: 3x^4 - (2/3)x^4 = (7/3)x^4
  2. POLINOMIOS : suma de monomios. Cada monomio es un término del polinomio.

BINOMIO: 5x^3 - 3x TRINOMIO: 5x^3 - 3x + 7

La representación normal o canónica de un polinomio en x sobre ℜ , se simboliza por:

p(x) = an xn^ + an-1xn-1^ + ... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 , donde an, an-1, ..., a 0 ε ℜ , an ≠ 0.

Generalidades: El gr[p(x)] = n. anxn^ es el término principal y an es el coeficiente principal. Si an = 1, entonces el polinomio es mónico. a 0 es el término independiente o constante y su grado es cero.

Si p(x) = - 5x^3 - 3x^2 + 6, entonces gr[p(x)] = 3, coeficiente principal an = - 5, p(x) no es mónico, a 2 = -3, a 1 = 0, a 0 = 6. El polinomio está en forma canónica.

Un polinomio se dice que está en forma canónica o normal si: 1o. está ordenado decreciente con respecto a los exponentes de sus términos. 2o. se reducen los términos semejantes y se omiten los términos con coeficiente cero. Cuando estos se escriben se dice polinomio completo. Nota : En los polinomios no existe la relación de orden > ó <, pero si es importante el grado del polinomio. Dos polinomios son iguales si tienen los mismos términos.

LÁMINA 6.

  1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Para dividir polinomios se emplea el algoritmo de Euclides y se tiene que dados el dividendo D(x) y el divisor d(x), se obtiene el cociente q(x) y el residuo r(x) tales que: D(x) = d(x) q(x) + r(x) tal que r(x) = 0 ó gr [r(x)] < gr [d(x)]
  2. Si r(x) = 0, entonces la división es exacta.

2. Si r(x) ≠ 0, entonces la división es inexacta.

En algunos casos se puede saber cuando un polinomio es divisor o factor de otro. Tampoco es fácil declarar un polinomio como primo o compuesto, pero no hay duda de que un polinomio de primer grado es primo como también una suma de cuadrados. 3x + 1 , x 5 + 4 son primos.

Las reglas para factorizar polinomios no son tan prácticas como las dadas en los enteros. Aquí se usa mucho el "tanteo" y la habilidad se desarrolla haciendo muchos ejercicios.

ab + ac = a(b + c) a 5 - b 5 = (a + b)(a - b) a 5 + 2ab + b 5 = (a + b) 5 a 5 - 2ab + b 5 = (a - b) 5 a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3 a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3 a^3 + b^3 = (a + b)(a 5 - ab + b 5 ) a^3 - b^3 = (a - b)(a 5 + ab + b 5 )

Ejemplo: Factorice

  1. 3m 5 + m = m(3m + 1)
  2. 3m + 1 = 3(m + 1/3)
  3. x^4 + x 5 y 5 + y^4 = x^4 + 2x 5 y 5 + y4 -^ x 5 y 5 = (x 5 + y 5 )^2 - x 5 y 5 = [x 5 + y 5 + xy] [x 5 + y 5 - xy]
  4. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS : Tanto el dividendo como el divisor deben estar ordenados y se procede en forma semejante a la división de enteros; el residuo debe tener grado menor que el del divisor.

Ejemplo: Dividir D(x) = 5x^3 + 3x - 2 entre d(x) = 2x 5 + 3x -

5x^3 + 0 x 5 + 3 x - 2 2x 5 + 3x - -5x^3 - 15/2 x 5 + 5/2 x 5/2 x - 15/

  • 15/2 x 5 + 11/2 x - 2
  • 15/2 x 5 + 45/4 x - 15/ 67/4 x - 23/4 residuo

Entonces D(x) = d(x)[(5/2) x - 15/4 ] + [(67/4)x - 23/4]

  1. DIVISIÓN SINTÉTICA (o regla de Ruffini): Es el método para abreviar la división de un polinomio entre otro de primer grado y mónico.

Dividir D(x) = 2x^4 - 17x^2 + 6x - 5

entre d(x) = x - 3, entonces

2 6 1 9 22 residuo

q(x) = 2x^3 + 6x^2 + x + 9, r = 22

Se puede dividir entre un divisor no mónico, dividiendo el divisor y el cociente por su coeficiente.

4x^3 + 4x^2 - 2 entre 2x + 3, entonces

q(x) = 2x^2 - x + 3/2, r = -13/

2. Escriba las siguientes expresiones como una proposición, donde a y b son números reales:

a) (a - b) 5 = a 5 - 2ab + b 5

b) a 5 - b 5 = (a + b)(a - b)

c) (a + b)^3 = a^3 + 3a 5 b + 3ab 5 + b^3

3. Con las siguientes expresiones:

a)

x

b) x^2 - 3 + 5x - 1 + 3x^2 - x

c) log x d)

x

x x

e) 1 - 3x^3 + x^4 f) x^2 y^3

Contesta:

i) )Cuáles son expresiones algebraicas y cuáles no lo son?

ii) )Cuáles son constantes y cuáles son variables de las expresiones algebraicas?

iii) )Cuáles son monomios? iv) )Cuáles son polinomios?

v) Expresa los polinomios en forma normal o canónica.

vi) Indica el grado de cada polinomio.

vii) Indica los polinomios mónicos.

viii) Indica el coeficiente principal y el término independiente de cada polinomio.

4. )Por qué los números reales se consideran como polinomios?

5. )Cuál es el grado del polinomio cero?

6. Encuentra el valor de k si x^3 - 3x + 2 = x^3 + (k - 1) x + 2.

7. Define los conjuntos Q[x] y Z[x] de polinomios.

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