¡Descarga Matemáticas ceprunsa y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS (FACTOR COMÚN, AGRUPACIÓN,
IDENTIDADES)
1. El alcalde del distrito de Socabaya desea pintar el
perímetro de la cancha de fútbol de la imagen. Si el área
de la plataforma deportiva es: 𝑚𝑥 − 𝑚 − 𝑥 + 1 , y sus
dimensiones se encuentran en la expresión factorizada
del área. Determina el perímetro que se desea pintar.
A. 4 (𝑥 + 𝑚) + 1
B. 4 (𝑥 − 𝑚) − 1
C. 2 (𝑥 + 1 ) + 4 𝑚
D. 2 (𝑥 + 𝑚) − 2
E. 2
SOLUCIÓN:
Factorizando:
Bosquejando:
Finalmente, el perímetro es:
RPTA: E
2. Adela le pregunta a Luis respecto a la edad que tiene
su hermanita menor, Luis le responde de la siguiente
manera: La edad de mi hermanita la encontrarás en el
término independiente que resulte luego de sumar los
factores primos del siguiente polinomio:
2
A. − 3
B. – 1
C. 0
D. 1
E. 3
SOLUCIÓN:
Factorizando:
2
2
TCP, porque: 2 (
2
= 2 ( 2 𝑎)( 3 ) = 12 𝑎 (VN del T. Central)
Por lo tanto, tenemos: 2 ( 2 𝑎 + 3 )
2
Podemos observar que el trinomio tiene un solo factor primo
que es ( 2 𝑎 + 3 ), entonces, la suma sigue siendo el mismo factor
primo. Finalmente, el término independiente es: 3
RPTA: E
3. La profesora Lucia en las clases de algebra les
propuso a sus estudiantes el siguiente desafío. Si al
polinomio:
2
𝑦 + 3 , le añades el polinomio:
2
𝑥 − 5 𝑎𝑦 − 3 ; entonces, uno de los factores
primos del polinomio suma 𝑆
es:
A. 𝑥 − 𝑦
B. 𝑥 + 𝑎
C. 𝑎 + 2 𝑏
2
D. 𝑥 + 𝑏
2
E. 𝑎 – 5 𝑏
2
SOLUCIÓN:
Hallamos el polinomio suma:
2
2
2
2
Por Factor Común Monomio:
2
2
Por Factor Común Monomio:
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 5 [𝑎(𝑥 − 𝑦) + 2 𝑏
2
(𝑥 − 𝑦)]
Aplicamos Factor Común Polinomio:
2
RPTA: A
4. Sea los polinomios: 𝑀
2
− 2 𝑎𝑥 − 6 , y
2
− 3 𝑥 − 4 𝑎 ; entonces, hallar la cantidad
de factores primos de 𝑃 = 𝑀 − 𝑁 es:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
SOLUCIÓN:
2
2
Operando para factorizar:
2
2
Agrupamos
2
2
Aplicamos F.C.M.
2
Aplicamos F.C.P.
2
Finalmente, el polinomio 𝑃
tiene 2 factores primos.
RPTA: B
5. Francisco está mirando este dibujo de una orquesta:
Para saber cuántos directores de orquesta dirigen tiene
que hallar el número de factores primos de la siguiente
expresión: 64 𝑥
4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
SOLUCIÓN:
Aplicamos F.C.M.
4
3
Aplicamos Suma de cubos.
3
2
Finalmente, el polinomio tiene 3 factores primos
RPTA: C
6. La edad de pedro hace 8 años era igual al número de
factores primos de 80 𝑥
4 𝑛
− 5 , ¿cuál será su edad en el
A. 10 𝑎ñ𝑜𝑠
B. 12 𝑎ñ𝑜𝑠
C. 13 𝑎ñ𝑜𝑠
D. 14 𝑎ñ𝑜𝑠
E. 15 𝑎ñ𝑜𝑠
SOLUCIÓN:
Aplicamos C.M.D
2 𝑛
4 𝑛
Aplicamos diferencia de cuadrados.
2 𝑛
2 𝑛
𝑛
𝑛
2 𝑛
El polinomio tiene 3 factores primos
Entonces, su edad hace 8 años era 3 años, actualmente (202 2 )
tiene 11 años, por lo tanto, su edad en el 2023 será 12 años.
RPTA: B
7. En un triángulo ABC, el lado mayor mide el doble del
lado menor. Además, el valor numérico del producto de
sus tres lados es igual a 2 𝑥
3
2
. Hallar la expresión
algebraica que representa el tercer lado.
A. 𝑥 + 3
B. 𝑥 + 2
C. 𝑥 – 3
D. 𝑥 + 5
E. 𝑥 – 4
SOLUCIÓN:
Graficamos:
3
2
2
3
2
2
2
( 𝑥 + 3
RPTA: A
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
SOLUCIÓN:
Planteamos el problema:
𝑃𝑈𝐸𝑅𝑇𝐴
2
2
Por diferencia de cuadrados tenemos:
𝑃𝑈𝐸𝑅𝑇𝐴
Verificamos que la diferencia de factores (dimensiones del
cuadrado) es de 14 unidades, entonces:
𝑃𝑈𝐸𝑅𝑇𝐴
𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Por lo tanto, la base mide: 2 𝑥 − 4 cm
RPTA: E
12. Un postulante de ciclos quintos observa el siguiente
cuadriculado presenta dimensiones en centímetros.
Si a la región sombreada “UNSA” se le añade 23 𝑐𝑚
2
indicar el factor primo después de factorizar la
expresión final:
A. 𝑥 – 2
B. 𝑥 + 3
C. 𝑥 – 5
D. 𝑥 + 7
E. 𝑥 – 9
SOLUCIÓN:
Hallamos el área de la región UNSA:
𝑈𝑁𝑆𝐴
𝑅𝐸𝐶𝑇Á𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂
𝑅𝐸𝐺𝐼Ó𝑁 𝐴𝑍𝑈𝐿
𝑈𝑁𝑆𝐴
𝑈𝑁𝑆𝐴
2
2
2
𝑈𝑁𝑆𝐴
2
Le añadimos 23, y resulta:
2
2
𝑇𝐶𝑃
Factorizamos la expresión final:
2
RPTA: D
FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS Y
POLINOMIOS (RUFFINI Y ASPA SIMPLE)
13. En el barrio de José se está construyendo una cancha
de césped sintético. El área de construcción está
representada por el polinomio
[
2
]
2
. ¿Cuáles son las dimensiones de la cancha?
A. ( 3 𝑥 − 2 𝑦 + 1 )( 3 𝑥 − 2 𝑦 + 5 )
B.
C.
D. ( 2 𝑥 + 𝑦 + 3 )( 2 𝑥 + 𝑦 + 2 )
E. (𝑥 + 2 𝑦 − 3 )(𝑥 + 2 𝑦 − 2 )
SOLUCIÓN
De la expresión:
2
2
RPTA: C
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
14. La edad de Luis esta dado por
2
, si al factorizar:
2
- 13 𝑥 + 2 se obtiene el factor primo (𝑚𝑥 + 1 ). Qué
edad tendrá Luis dentro de 7 años.
A. 52 años
B. 56 años
C. 40 años
D. 54 años
E. 63 años
SOLUCIÓN
Factorizando la expresión:
2
La edad de Luis es:
2
2
Dentro de 7 años tendrá: 49 + 7 = 56 𝑎ñ𝑜𝑠
RPTA: B
15. Si: 𝑥 − 3 es factor de 𝑃(𝑥) = 2 𝑥
2
3
− 5 𝑥 + 𝑚. Hallar
𝑚
10
- 15 ) que representa la nota que obtuvo Carlos en
su examen.
A. 20
B. 12
C. 11
D. 15
E. 18
SOLUCIÓN:
Aplicamos divisores binómicos
Calculamos el resto:
Nos piden hallar:
RPTA: B
16. Si se sabe que el polinomio 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑏𝑥
2
2
2
𝑎𝑏 , es factorizable y uno de sus factores es:
hallar el otro factor.
A. 𝑏𝑥 − 𝑎
B. 𝑎𝑥 + 𝑏
C. 𝑏 − 𝑎𝑥
D. 𝑎 + 𝑏𝑥
E. 𝑎𝑥 − 𝑏
SOLUCIÓN:
Factorizamos usando aspa simple
RPTA: B
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
20. Luego de factorizar la expresión 𝑥(𝑥 − 3 )(𝑥 − 2 )(𝑥 −
1 ) − 3 se obtiene dos factores primos cuadráticos. ¿Si
en el mayor de ellos reemplazamos 𝑥 = 5 obtendremos
la cantidad de partidos políticos en el Perú 2022.
¿Cuántos partidos políticos existen en el Perú?
A. 11
B. 7
C. 6
D. 5
E. 13
SOLUCIÓN:
De la expresión:
Multiplicando:
2
2
Realizamos un cambio de variable: 𝑥
2
2
Volvemos a la variable original: 𝑥
2
2
2
Si en el mayor de ellos reemplazamos 𝑥 = 5
2
RPTA: E
21. El número de balones de oro que tiene Messi es
equivalente al número de factores primos de la
siguiente expresión: 𝐸 = 64 𝑥
12
3
8
7
4
11
,¿Cuántos balones de oro tiene Messi?
A. 8
B. 6
C. 4
D. 5
E. 3
SOLUCIÓN:
Extraemos el F. C. 4 𝑥
4
3
4
3
8
4
4
8
Factorizamos por aspa simple
8
4
4
8
Se obtiene:
4
3
4
4
4
4
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
La expresión factorizada es:
4
3
2
2
2
2
RPTA: A
22. Juan tendrá un periodo de vacaciones que está dado
por el valor de "2(𝑎 − 𝑐)", si el polinomio: 𝑃(𝑥) = 𝑥
3
2
- 𝑎𝑥 + 𝑐 es divisible entre (𝑥 − 1 )(𝑥 + 3 ). ¿Cuántos
días de vacaciones tendrá Juan?
A. 10 𝑑í𝑎𝑠
B. 24 𝑑í𝑎𝑠
C. 30 𝑑í𝑎𝑠
D. 14 𝑑í𝑎𝑠
E. 20 𝑑í𝑎𝑠
SOLUCIÓN:
Aplicando divisores binómicos:
Del esquema:
Piden hallar:
3 ( 1 + 6 ) = 21 𝑑í𝑎𝑠
RPTA: E
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
23. Factorizar la expresión: (𝑥 + 4 )(𝑥 + 3 )(𝑥 + 2 )(𝑥 + 5 ) −
24. Indicar un factor primo.
A.
B. (𝑥 + 2 )
C.
D. (𝑥 − 6 )
E. (𝑥 + 3 )
SOLUCIÓN:
[
][
]
2
2
Realizamos un cambio de variable: 𝑎 = 𝑥
2
2
2
Volvemos a la variable original:
2
2
2
RPTA: D
24. Factoriza la expresión:
3
3
2
− 15 , y determina la
suma de sus términos independientes.
A. 4
B. 2
C. 5
D. 6
E. 3
SOLUCIÓN:
Acomodamos el primer término y resolvemos el binomio al
cuadrado:
3
3
2
[
)]
3
2
𝑃(𝑥) = [ 3 𝑥
2
+ 𝑥]
3
2
Realizamos un cambio de variable
2
3
3
2
Aplicando divisores binómicos:
2
2
Reanudamos la variable original:
2
2
2
2
2
Piden la suma de términos independientes
RPTA: C
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
28. ¿Para qué valores de “ 𝑚 ” la ecuación: 𝑥
2
= 0 , tendrá sus dos raíces iguales?
A. 5 ; 2
B. 1 ; −
3
2
C. 4 ; − 2
D. 3 ; − 1
E. 2 ; −
10
9
SOLUCION:
2
[
)]
2
)[
)]
2
2
1
2
RPTA. E
29. En una ecuación cuadrática sus raíces son: 𝑥 1
2
= 2 − √ 2 , entonces su ecuación es:
A. 𝑥
2
B. 𝑥
2
C. 2 𝑥
2
D. 𝑥
2
E. 𝑥
2
S OLUCION:
Por propiedad se sabe:
2
Por propiedad de paridad de raíces:
1
2
Calculando:
1
2
1
2
Reemplazando en la ecuación tenemos:
2
RPTA. D
30. Si "𝛼" 𝑦 "𝜃" son las raíces de la ecuación 𝑥
2
0 , encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces
sean: 𝛼
2
2
A. 𝑥
2
B. 𝑥
2
C. 𝑥
2
D. 𝑥
2
E. 𝑥
2
SOLUCION:
Por formación de una ecuación:
2
Calculando:
2
2
2
2
2
2
De la ecuación dada conocemos:
Reemplazando:
2
2
Por lo tanto, la ecuación es:
2
RPTA. E
31. En Arequipa se pondrá en circulación el primer bus
eléctrico del Sistema Integrado de Transporte. Una de
las propuestas del costo del pasaje está dado por
8
6
- 𝑚) soles. ¿A cuánto equivale esta propuesta?
Sabiendo que “ 𝑚 ” debe tomar un valor para que las
raíces de la ecuación: 𝑥
2
𝑚
2
4
diferencien en 3.
A. 3 soles
B. 2 soles
C. 1,5 soles
D. 1 soles
E. 2,5 soles
SOLUCION:
Se sabe:
1
2
2
Por datos:
1
2
2
2
Reconociendo los coeficientes:
2
Reemplazamos:
1
2
2
√[
)]
2
2
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
2
2
2
− (𝑚
2
2
2
2
2
Nos pide:
8
6
Propuesta de pasaje: 2 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
RPTA. B
32. Determinar el valor de
, si se sabe que 𝑥
2
𝑥 + 𝑚 − 1 = 0 , tiene solución única real y 𝑥
2
(𝑛 + 1 )𝑥 + 𝑛 = 0 , tiene una raíz igual a 3. Además, se
cumple que 𝑚 > 𝑛.
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
E. − 2
SOLUCION:
Como tiene solución única, entonces:
2
Reconociendo los coeficientes:
2
Reemplazando: 𝑏
2
2
2
2
2
Por dato: 𝑥
1
Reemplazamos: 𝑥
2
2
Por dato m > n: ∴ 𝑚 = 5 ; 𝑛 = 3
Reemplazamos: 𝑚 + 𝑛 = 5 + 3 = 8
RPTA. A
33. Los adolescentes de 15 a 17 años deben de consumir
un total de 2300 Kcal diarias. 100g de lentejas cocidas
nos proporcionan
calorías. Determine dicha
cantidad de calorías, si “ 𝑝 ” es la suma de los valores
que puede tomar “ 𝑚 ” para que la ecuación: (𝑚 + 1 )𝑥
2
𝑚 + 1 = 0 ; tenga solución única. (𝑚 ≠ − 1 )
A. 226
B. 224
C. 222
D. 223
E. 225
SOLUCION:
Como tiene solución única, entonces:
2
Reconociendo los coeficientes:
2
Reemplazamos: 𝑏
2
2
2
Suma de raíces: 𝑚
1
2
− 4
1
Como P es la suma de los valores de “m”:
1
2
Nos pide: 222 + 𝑝 = 226
222 + 4 = 226 calorías
RPTA. A
34. María ha viajado a Colombia y tiene que comprar
regalos para sus sobrinos y ella indica que la cantidad
de sobrinos que tiene es igual al valor de “ 𝑘 ” en las
siguientes ecuaciones:
2
− 5 𝑥 + 𝑘 = 0 …. (I)
2
− 7 𝑥 + 𝑘 = 0 … (II)
Además, se sabe que una raíz de la ecuación (I) es la
mitad de una raíz de la ecuación (II), ¿cuántos regalos
compró María?
A. 8
B. 3
C. 6
D. 12
E. 4
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
PROBLEMAS CON ECUACIÓN CUADRÁTICA
37. El número de estudiantes de la promoción El Nuevo
Amanecer sumado con su cuadrado resulta 6006.
¿Cuántos estudiantes tiene dicha promoción?
A. 55
B. 54
C. 76
D. 77
E. 78
SOLUCIÓN:
Sea el número de estudiantes: 𝑎
Planteando lo indicado:
2
2
El número de estudiantes de la promoción es 77
RPTA: D
38. En una olimpiada de nacional de matemática, frente a
la resolución de una ecuación de segundo grado,
ocurre lo siguiente:
I. Un estudiante se equivocó en el término
independiente y obtuvo como soluciones 8 y 2.
II. Otro estudiante se equivocó en el coeficiente del
término lineal y obtuvo como soluciones - 9 y-1.
¿Cuál fue la ecuación correcta?
A. 𝑥
2
B. 𝑥
2
C. 𝑥
2
D. 𝑥
2
E. 𝑥
2
SOLUCIÓN:
I. Si obtuvo como soluciones 8 y 2, la ecuación que resolvió
fue:
2
2
2
𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
II. Si obtuvo como soluciones - 9 y - 1, la ecuación que resolvió
fue:
2
2
2
𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
Por lo tanto, la ecuación correcta fue:
2
RPTA: A
39. En una sucesión de cinco números enteros
consecutivos y positivos, la suma de los cuadrados de
los tres primeros es igual a la suma de los cuadrados
de los dos últimos. Entonces el cuarto término de la
sucesión es:
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
E. 13
SOLUCIÓN:
Sean los números:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Por lo tanto, la sucesión sería:
El cuarto término de la sucesión es el número 13.
RPTA: E
40. Un albañil realiza un trabajo por 192 soles. El trabajo le
llevó 4 horas más de lo que suponía y entonces ganó
2.40 soles menos por hora de los previsto. ¿En cuánto
tiempo se suponía que llevaría a cabo el trabajo?
A. 20 horas
B. 16 horas
C. 12 horas
D. 15 horas
E. 4 horas
SOLUCIÓN:
Tiempo en horas para realizar el trabajo: “𝑥”
Ganancia esperada por hora:
192
𝑥
Recibió por hora:
192
𝑥+ 4
Ganó S/ 2.40 menos por hora:
2
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
2
2
𝑥 = − 20 v 𝑥 = 16
Se suponía que llevaría a cabo el trabajo en 16 horas.
RPTA: B
41. La Municipalidad de Paucarpata en el mes de junio
utilizó “ 𝑎 ” camiones recolectores de basura, que
transporta “ 𝑏 ” toneladas de basura cada uno. Si 𝑎 y 𝑏
son números impares positivos consecutivos y su
producto es cuatro veces el menor número, más 15.
¿Cuál es la cantidad de basura que transportaron en
un solo viaje?
A. 15 toneladas
B. 35 toneladas
C. 63 toneladas
D. 99 toneladas
E. 131 toneladas
SOLUCIÓN:
Sean los números impares positivos y consecutivos:
Planteando la situación:
2
2
2
2
Los números impares consecutivos son:
La cantidad de basura transportada en un solo viaje es : 5 ( 7 ) =
35 toneladas.
RPTA: B
42. Se desea cercar el parque rectangular de la Urb.
Leoncio Prado la cual tiene 600 𝑚
2
de área, además se
sabe que sus dimensiones se diferencian en 10 𝑚
¿Cuál es el perímetro del parque?
A. 100 𝑚
B. 200 𝑚
C. 60 𝑚
D. 150 𝑚
E. 120 𝑚
SOLUCIÓN:
Graficando, tenemos:
2
Si 𝑥 = 30 𝑚 y es el lado mayor, entonces el lado menor equivale
a 20 𝑚.
∴ 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟á ∶ 𝑃 = 2 ( 20 ) + 2 ( 30 ) = 100 𝑚
RPTA: A
43. Un parque tiene forma rectangular cuyas dimensiones
son: 40 𝑚 de largo por 26 𝑚 de ancho. Si se quiere
ampliar “𝑥” metros en ambas dimensiones, de modo
que el área aumenta en 432 𝑚
2
. ¿Cuántos metros se ha
ampliado?
A. 70 𝑚
B. 72 𝑚
C. 6 𝑚
D. 5 𝑚
E. 2 𝑚
SOLUCIÓN:
Graficando, tenemos:
Área inicial:
Área aumentada en “𝑥”:
2
2
Se ha ampliado 6 metros.
RPTA: C
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
La edad de Susana es: 𝑚 + 5 = 5 + 5 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠
RPTA: A
47. Calcule el área de un cuadrado. Si se sabe que el área
de un trapecio es seis veces el lado del cuadrado,
además la suma de las áreas de las figuras
geométricas planas es 315 𝑚
2
A. 196 𝑚
2
B. 144 𝑚
2
C. 100 𝑚
2
D. 225 𝑚
2
E. 169 𝑚
2
SOLUCIÓN:
Sumando las áreas tenemos:
2
2
Resolviendo la ecuación cuadrática por el aspa simple:
El área del cuadrado es:
2
2
RPTA: D
48. Según el Instituto Nacional de Estadística e Informática
(INEI) dio a conocer que, en el primer trimestre de 2021,
en 19 departamentos con empresas formadas como
personas naturales se presentó una mayor
participación de mujeres destacando Arequipa con un
( 50 𝑞 + 40 𝑝) %. Determina este porcentaje, si 𝑝 y 𝑞 son
números reales para los cuales las siguientes
ecuaciones cuadráticas tienen las mismas raíces.
2
2
A. 90%
B. 80%
C. 70%
D. 60%
E. 50%
SOLUCIÓN:
Si tienen las mismas raíces, se tiene que:
También:
Reemplazando 𝑞, se tiene:
Nos piden calcular:
RPTA: D
RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL
49. Resolviendo problemas que le dejó su profesor de
matemática a Carlitos, este recuerda lo que le dijo su
profesor: Si hallas el valor de “ 𝐴 ” en la ecuación 2 𝑥
3
2
- 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 , donde sus raíces son
entonces te colocaré esa nota en mi registro. Si
Carlitos lo resolvió en menos de 1 minuto. ¿Qué nota
obtuvo?
A. 12
B. 18
C. 20
D. 14
E. 10
SOLUCIÓN:
Por Teorema de Cardano, aplicando la suma de raíces
tenemos:
1
2
3
RPTA. C
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
50. En la ecuación 𝑥
3
2
obtenidas son
. ¿Cuál es la diferencia entre el
término independiente y el valor de 𝑎?
A. 56
B. 64
C. 48
D. 60
E. 54
SOLUCIÓN:
De la ecuación:
3
2
Aplicando suma de raíces se tiene:
Aplicando producto de raíces se tiene:
Calculando la diferencia entre el T.I. con 𝑎:
RPTA. B
51. Si la raíz 1 + √ 2 es una solución de la ecuación 𝑥
3
2
- 𝐵𝑥 + 6 = 0. ¿Qué valor toma el cuadrado del
coeficiente del término cuadrático?
A. 16
B. 64
C. 49
D. 25
E. 36
SOLUCIÓN:
Por dato del problema:
1
Por propiedad de pariedad de raíces:
2
De la ecuación polinómica:
3
2
Por producto de raíces tenemos que:
3
3
3
Por suma de raíces tenemos:
Piden: “ 𝐴
2
Elevamos al cuadrado
2
RPTA. B
52. Los años de experiencia de un docente del Ceprunsa
está dado por el valor de 𝑁. Si: 𝑎; 𝑏; 𝑐 son raíces de la
ecuación cúbica, 3 𝑥
3
2
expresión.
1
2
3
1
2
3
1
2
2
3
1
3
A. 1
B. 3
C. 5
D. 4
E. 7
SOLUCIÓN:
Por teorema de Cardano
1
2
3
1
2
3
−(− 14 )
3
14
3
Suma de productos binarios de las raíces.
1
2
2
3
1
3
Reemplazando:
RPTA. D
53. Siendo “-1” una de las raíces de la ecuación cúbica,
3
2
− 𝑥 + 3 = 0. La edad de una docente está dada
por la suma de los cubos de las otras dos raíces.
Calcular su edad.
A. 22
B. 23
C. 24
D. 25
E. 28
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
57. En la ecuación bicuadrada: 𝑥
4
2
producto de tres de sus raíces es 12 , entonces el valor
de "𝑚" , es:
A. 18
B. 19
C. 11
D. 13
E. 8
SOLUCIÓN:
De la ecuación bicuadrada:
4
2
Por Teorema de Cardano:
1
2
3
4
Dato:
1
2
3
4
4
Por ser bicuadradas tiene raíces simétricas
3
De donde se deduce que:
1
2
Luego la ecuación
bicuadrada será:
2
2
4
2
Finalmente:
RPTA. A
58. Se tiene una ecuación polinomial de la forma 𝐴𝑥
4
2
- 𝐶 = 0 donde sus raíces son ± 𝜃; ± 𝜑. Sabiendo
que una de esas raíces es 2 y además al sumar los
cuadrados de las mismas resulta 80. Calcule el valor de
A. 80
B. 105
C. 85
D. 195
E. 145
SOLUCIÓN:
Por los datos del problema se tiene:
1
2
Además, la suma de sus cuadrados es 80, por tanto:
2
2
2
2
2
2
2
2
Generando la ecuación:
4
2
2
2
2
2
Reemplazando los valores:
4
2
2
2
2
2
4
2
Por comparación:
4
2
4
2
Nos pide:
RPTA. D
59. Si la siguiente ecuación 𝑎𝑥
3
2
raíces enteras consecutivas, entonces el valor de “a”
es:
A. 0,
B. 2
C. 3
D. 4
E. 6
SOLUCIÓN:
De la expresión:
3
2
Por simple deducción se deduce que una raíz es 𝑥
1
Por producto de raíces se tiene:
1
2
3
2
3
2
3
Así que una de ellas debe ser entera y la otra recíproca de
esta, entonces:
2
3
Por suma de raíces se tiene:
1
2
3
RPTA. B
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
60. Se sabe que las raíces de la ecuación 𝑥
3
2
28 = 0 están en progresión aritmética de razón 𝑟. Hallar
el valor de 𝑟.
A. 20
B. 24
C. 39
D. 16
E. - 20
SOLUCIÓN:
De la expresión:
3
2
Tiene como raíces (en P.A.)
1
1
1
Donde la razón es r.
Por suma de raíces se tiene:
1
1
1
1
1
Reemplazando la solución 𝑥 1
en la ecuacion tenemos:
3
2
RPTA. C
