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Matemática
Departamento de
Aplicada
Tema 3: C´alculo diferencial e integral
de funciones de una variable
Parte 1: C´alculo de derivadas
(^1) Derivada de una funci´on en un punto
(^2) C´alculo de derivadas elementales
(^3) Regla de la cadena
(^4) Derivadas sucesivas
(^5) Recta tangente y polinomio de Taylor
6 Reglas de L’Hˆopital para el c´alculo de l´ımites
(^7) Aplicaciones a la econom´ıa
Antonia M. Delgado Matem´aticas – Grado en Finanzas y Contabilidad – Grupo 1
o A – Curso 2015/2016 1/
Tema 3: C´alculo diferencial e integral Derivada de una funci´on en un punto
(^1) Derivada de una funci´on en un punto
(^2) C´alculo de derivadas elementales
(^3) Regla de la cadena
4 Derivadas sucesivas
(^5) Recta tangente y polinomio de Taylor
(^6) Reglas de L’Hˆopital para el c´alculo de l´ımites
(^7) Aplicaciones a la econom´ıa
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Tema 3: C´alculo diferencial e integral Derivada de una funci´on en un punto
Idea intuitiva de derivada
La derivada nos dice c´omo de r´apido crece o decrece una funci´on en
un punto
x (^0) x 0 +^ h
Sh
La pendiente de la recta Sh es
f (x 0 + h) − f (x 0 )
(x 0 + h) − x 0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Se llama raz´on de cambio ´o
cociente incremental.
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Tema 3: C´alculo diferencial e integral Derivada de una funci´on en un punto
Idea intuitiva de derivada
Si vamos haciendo h cada vez m´as peque˜no...
x 0 x 0
x + h 0
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Tema 3: C´alculo diferencial e integral Derivada de una funci´on en un punto
Derivada de una funci´on en un punto
Diremos que f es derivable en x 0
cuando existe el siguiente l´ımite
lim
h→ 0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
y es un n´umero real. En tal caso, al valor de dicho l´ımite lo
representaremos por f
(x 0
) y lo denominaremos derivada de f en x 0
x 0
o
Tema 3: C´alculo diferencial e integral Derivada de una funci´on en un punto
Derivada de una funci´on en un punto
Definici´on equivalente: f es derivable en x 0
si y s´olo si existe el
l´ımite (y es un n´umero real)
lim
x→x 0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
El valor de f
(x 0
) es la pendiente de la gr´afica de la funci´on f
en el punto (x 0 , f (x 0 )).
Ejemplo
Calcula, usando la definici´on, la derivada de la funci´on
f (x) = x
2 .
¿Cu´al es la pendiente de la gr´afica de f en el punto (2, 4)?
o
Tema 3: C´alculo diferencial e integral Derivada de una funci´on en un punto
Derivadas laterales
Derivada por la derecha en x 0 : f
(x
0
) = lim
x→x
0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
Derivada por la izquierda en x 0
: f
(x
−
0
) = lim
x→x
− 0
f (x) − f (x 0
x − x 0
Propiedad
f es derivable en x 0 si, y s´olo si, f es continua en x 0 , existen ambas
derivadas laterales, son reales, y adem´as
f
(x
0
) = f
(x
−
0
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Tema 3: C´alculo diferencial e integral Derivada de una funci´on en un punto
Derivabilidad y continuidad
Proposici´on
Sea f : D → R y x 0 ∈ D.
Si f es derivable en x 0 entonces es continua en x 0.
¡El rec´ıproco NO es cierto! Es decir, puede que una funci´on sea
continua en x 0 y no derivable en x 0.
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Tema 3: C´alculo diferencial e integral Derivada de una funci´on en un punto
Observaciones
La derivada de una funci´on en un punto, si existe, es ´unica.
Si una funci´on no es continua en un punto, entonces no es
derivable en dicho punto.
Si lim
x→x 0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
= ∞ se dir´a que f tiene derivada infinita
en x 0 y por lo tanto no es derivable en x 0. En este punto, la
recta tangente es vertical.
Si una funci´on tiene un pico en un punto, la funci´on no es
derivable en ese punto.
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Tema 3: C´alculo diferencial e integral Derivada de una funci´on en un punto
Funci´on derivada
Definici´on
Sea D ⊂ R abierto y f : D → R. Diremos que f es derivable si lo es
en todos los puntos de su dominio D.
En este caso llamaremos funci´on derivada de f, y la representaremos
por f
, a la funci´on f
: D → R que a cada x ∈ D le asigna f
(x).
En caso de que f sea derivable s´olo en un subconjunto A ⊂ D, se
dir´a que f es derivable en A y escribiremos f
: A → R.
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Tema 3: C´alculo diferencial e integral C´alculo de derivadas elementales
1 Derivada de una funci´on en un punto
(^2) C´alculo de derivadas elementales
(^3) Regla de la cadena
(^4) Derivadas sucesivas
(^5) Recta tangente y polinomio de Taylor
(^6) Reglas de L’Hˆopital para el c´alculo de l´ımites
(^7) Aplicaciones a la econom´ıa
o
Tema 3: C´alculo diferencial e integral C´alculo de derivadas elementales
Derivadas de funciones elementales
Funci´on constante f (x) = k (k ∈ R) f
(x) = 0
Funci´on identidad f (x) = x f
(x) = 1
Funci´on potencia f (x) = x
k (k ∈ R) f
(x) = k x
k− 1
Funciones exponenciales f (x) = e
x f
(x) = e
x
f (x) = a
x f
(x) = a
x ln(a)
Funciones logar´ıtmicas f (x) = ln(x) f
(x) =
x
f (x) = log a
(x) f
(x) =
x ln(a)
o
