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UNIVERSIDADES P ´UBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
EVALUACI ´ON PARA EL ACCESO A LAS ENSE ˜NANZAS
UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO
Curso 2023- MATERIA: MATEM ´ATICAS II
INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACI ´ON
Despu ´es de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. Todas las respuestas deber ´an estar debidamente justificadas.
CALIFICACI ´ON: Cada pregunta se calificar ´a sobre 2.5 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
A.1. Calificaci ´on m ´axima: 2.5 puntos.
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes de un par ´ametro real a:
2 x − y + az = −a x + 2y + 3z = − 2 ax + ay + 2z = − 8
a) (2 puntos) Discuta el sistema en funci ´on del par ´ametro a.
b) (0.5 puntos) Resuelva el sistema para a = − 10.
A.2. Calificaci ´on m ´axima: 2.5 puntos.
Se considera la funci ´on
f (x) =
xex^ si x < 1
e + x ln x x^2 + 1
si x ≥ 1
y se pide:
a) (1 punto) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en x = 1.
b) (0.75 puntos) Calcular l´ım x→+∞ f (x).
c) (0.75 puntos) Calcular
0
f (x) dx.
A.3. Calificaci ´on m ´axima: 2.5 puntos.
Los v ´ertices de un tri ´angulo son A(− 1 , 0 , 1), B(0, 1 , 0) y un punto C situado sobre la recta
r ≡
2 x − y = 0 x + z = − 1
a) (1.5 puntos) Calcule las posibles coordenadas de C sabiendo que el ´area del tri ´angulo es
b) (1 punto) Determine una ecuaci ´on de la recta que pasa por P (2, 1 , −1) y es paralela a la recta dada r.
A.4. Calificaci ´on m ´axima: 2.5 puntos.
En un espacio muestral se consideran tres sucesos A, B y C, tales que P (A ∪ B ∪ C) = 1. Sabiendo que los sucesos B y C son independientes y que P (A) = 0. 5 , P (C) = 0. 3 , P (B ∪ C) = 0. 73 , P (A ∩ C) = 0. 21 y P (A ∩ B ∩ C) = 0. 06 , se pide:
a) (1 punto) Estudiar si los sucesos A y B ∪ C son independientes.
b) (1.5 puntos) Calcular P (B) y P (C ∩ (A ∪ B)).
B.1. Calificaci ´on m ´axima: 2.5 puntos.
Halle un n ´umero natural de tres cifras del que se conoce que: sus cifras suman 13; si al n ´umero dado se le resta el doble del n ´umero que resulta de intercambiar las cifras de las centenas y de las unidades, el resultado es 437; adem ´as, la cifra de las decenas excede en una unidad a la media aritm ´etica de las otras dos cifras.
B.2. Calificaci ´on m ´axima: 2.5 puntos.
a) (0.5 puntos) Escriba un ejemplo de una funci ´on polin ´omica de grado 3 cuya gr ´afica corte al eje de las abscisas en x = 0, x = 1 y x = 2. Escriba tambi ´en un ejemplo de una funci ´on polin ´omica de grado 3 cuya gr ´afica corte al eje de las abscisas solo en los puntos x = 1 y x = 0.
b) (1 punto) Escriba un ejemplo de una funci ´on polin ´omica de grado 3 que tenga un m ´aximo relativo en el punto (0, 0) y un m´ınimo relativo en el punto (1, −1).
c) (1 punto) Justifique si la gr ´afica de una funci ´on polin ´omica de grado 3 puede no cortar al eje de las abscisas.
B.3. Calificaci ´on m ´axima: 2.5 puntos.
Sea la recta r ≡
x + 2y + z = 2 x + y + 2z = 2.
a) (0.5 puntos) Calcule el ´angulo que forma la recta r con el vector normal al plano z = 0.
b) (1.25 puntos) Sean π 1 y π 2 dos planos que se cortan en la recta r. Calcule unas ecuaciones de ambos planos sabiendo que π 1 pasa por el punto P (1, 2 , 3) y que π 2 no corta al eje OZ.
c) (0.75 puntos) Estudie la posici ´on relativa de la recta r y la recta s de ecuaci ´on
x + 2 1
y − 1 − 2
z − 1 3
B.4. Calificaci ´on m ´axima: 2.5 puntos.
Entre los procesadores que utiliza cierta marca de ordenadores port ´atiles para un modelo, un 30 % son de una nueva tecnolog´ıa que promete una mayor efectividad. Se utilizan todos los procesadores, se empaquetan los ordenadores fabricados en pal ´es de 10 port ´atiles y se env´ıan 20 pal ´es a cada una de sus tiendas. Se pide:
a) (1.5 puntos) Determinar la distribuci ´on, la media y la desviaci ´on t´ıpica de la variable “n ´umero de port ´atiles con los procesadores de la nueva tecnolog´ıa en un pal ´e”. Calcular la probabilidad de que en un pal ´e haya exactamente dos port ´atiles con la nueva tecnolog´ıa.
b) (1 punto) Calcular, aproximando por la distribuci ´on normal adecuada, la probabilidad de que al menos el 75 % de los port ´atiles recibidos en una tienda no lleven los procesadores de la nueva tecnolog´ıa.
MATEM ´ATICAS II
CRITERIOS ESPEC´IFICOS DE CORRECCI ´ON
En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento v ´alido que conduzca a la soluci ´on ser ´a valorado con la puntuaci ´on asignada. Los contenidos correspondientes al bloque F se evaluar ´an transversalmente en cualquiera de los ejerci- cios. Se penalizar ´a en la calificaci ´on de cada respuesta la falta de justificaci ´on razonada o de precisi ´on y se valorar ´an las estrategias, razonamientos y toma adecuada de decisiones.
A.1.
a) Obtenci ´on de los valores cr´ıticos: 0.5 puntos (0.25 puntos cada uno). Discusi ´on del sistema: 1.5 puntos (0.5 pun- tos cada uno de los tres casos). b) Planteamiento: 0.25 puntos. Resoluci ´on: 0.25 puntos.
A.2.
a) Estudio de la continuidad: 0.25 puntos. Estudio de la derivabilidad: 0.75 puntos. b) Planteamiento: 0.5 puntos. Resoluci ´on: 0.25 puntos. c) Primitiva: 0.5 puntos. Regla de Barrow: 0.25 puntos.
A.3.
a) Planteamiento: 1 punto. C ´alculo correcto de los posibles puntos soluci ´on: 0.25 puntos cada uno. b) Planteamiento: 0.5 puntos. Resoluci ´on: 0.5 puntos.
A.4.
a) Planteamiento: 0.75 puntos. Resoluci ´on: 0.25 puntos. b) Por cada una de las dos probabilidades: 0.75 puntos (planteamiento: 0.5 puntos; resoluci ´on: 0.25 puntos).
B.1.
Planteamiento del sistema: 1.5 puntos (0.5 puntos por cada ecuaci ´on correctamente planteada). Resoluci ´on co- rrecta del sistema planteado: 1 punto. En caso de resoluci ´on correcta de un sistema con alguna ecuaci ´on mal planteada, se valorar ´a con hasta 0.5 puntos.
B.2.
a) Por cada funci ´on polin ´omica: 0.25 puntos. b) Planteamiento: 0.75 puntos. Resoluci ´on: 0.25 puntos. c) Planteamiento: 0.75 puntos. Resoluci ´on: 0.25 puntos.
B.3.
a) Planteamiento: 0.25 puntos. Obtenci ´on del ´angulo: 0.25 puntos. b) Planteamiento: 0.75 puntos. Obtenci ´on de la ecuaci ´on: 0.5 puntos (0.25 puntos por plano). c) Planteamiento: 0.5 puntos. Resoluci ´on: 0.25 puntos.
B.4.
a) Distribuci ´on correcta: 0.5 puntos. Media correcta: 0.25 puntos. Desviaci ´on t´ıpica correcta: 0.25 puntos. C ´alculo de la probabilidad pedida: 0.25 puntos por el planteamiento; 0.25 puntos por la resoluci ´on. b) Planteamiento: 0.5 puntos. Resoluci ´on: 0.5 puntos. El c ´alculo sin correcci ´on por continuidad, o una incorrecta, se penalizar ´a con 0.25 puntos.
MATEM ´ATICAS II – SOLUCIONES
(Documento de trabajo orientativo)
A.1.
a) Tenemos que el determinante de la matriz de coeficientes es −a^2 − 9 a + 10, que tiene por ra´ıces a a = 1 y a = − 10. Si a = 1, − 10 , el sistema es compatible determinado. Si a = 1 el rango de la matriz de coeficientes es 2, pero la matriz ampliada tiene rango 3. Es un sistema incom- patible. Si a = − 10 , el rango de la matriz es 2, igual al rango de la matriz ampliada. Es un sistema compatible indetermi- nado con 1 grado de libertad.
b) En el caso a = − 10 , la soluci ´on es x = (18 + 17λ)/ 5 , y = (− 14 − 16 λ)/ 5 , z = λ, λ ∈ R.
A.2.
a) Se tiene que l´ım x→ 1 − f (x) = l´ım x→ 1 xex^ = e y l´ım x→ 1 + f (x) = l´ım x→ 1
e +
x ln x x^2 + 1
= e = f (1), de manera que la funci ´on
f es continua en x = 1. En cuanto a la derivabilidad,
l´ım x→ 1 −
f (x) − f (1) x − 1
= l´ım x→ 1
xex^ − e x − 1
(L’H ˆ =opital) l´ım x→ 1 (ex^ + xex) = 2e
l´ım x→ 1 +
f (x) − f (1) x − 1
= l´ım x→ 1
x ln x x^2 + x − 1
= l´ım x→ 1
x x^2 + 1
· l´ım x→ 1
ln x x − 1
(L’H ˆ =opital) 1 2
l´ım x→ 1
1 /x 1
por lo que la funci ´on f no es derivable en x = 1.
b) l´ım x→∞ f (x) = l´ım x→∞
e +
x ln x x^2 + 1
(L’H ˆopital) = e + l´ım x→∞
ln x + 1 2 x
(L’H ˆopital) = e + l´ım x→∞
1 /x 2
= e.
c) Aplicando integraci ´on por partes y la Regla de Barrow se obtiene:
∫ (^1)
0
f (x) dx =
0
xex^ dx =
[
xex
] 1
0
0
ex^ dx = (e − 0) −
[
ex
] 1
0
= e − (e − 1) = 1.
A.3.
a) vr = (1, 2 , −1),
AB = (1, 1 , −1). Punto gen ´erico de la recta C = (λ, 2 λ, − 1 − λ),
AC = (λ + 1, 2 λ, − 2 − λ), −−→ AB ×
AC = (λ − 2 , 1 , λ − 1). ´Area del tri ´angulo:
AB ×
AC‖. Entonces: ‖
AB ×
AC‖ =
- Resolviendo,
si λ = 1, C 1 = (2, 4 , −3); si λ = 2, C 2 = (1, 2 , −2). b) La recta pedida, s, ser´ıa intersecci ´on de dos planos, π 1 , π 2 , paralelos a los dados en la ecuaci ´on de la recta r y que pasen por el punto dado. El plano π 1 pasa por P (2, 1 , −1) y es paralelo al plano 2 x−y = 0: π 1 ≡ 2 x−y −3 = 0; el plano π 2 pasa por P (2, 1 , −1) y es paralelo al plano x + z = − 1 : π 2 ≡ x + z − 1 = 0. Entonces, la recta soluci ´on
es s ≡
2 x − y − 3 = 0 x + z − 1 = 0
A.4.
a) Se tiene que 1 = P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B ∪ C) − P (A ∩ (B ∪ C)) = 1. 23 − P (A ∩ (B ∪ C)) =⇒ P (A ∩ (B ∪ C)) = 0. 23 = 0.365 = 0. 5 · 0 .73 = P (A) · P (B ∪ C). Por lo tanto, A y B ∪ C no son independientes. b) Puesto que 0 .73 = P (B ∪ C) = P (C) + P (B) − P (B ∩ C) = 0.7 + P (B) − 0. 7 · P (B), obtenemos que P (B) = 0.^730 −. 30.^7 = 0. 1. En cuanto a la otra probabilidad pedida,
P (C ∩ (A ∪ B)) = P ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) = P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C) = 0.21 + 0. 1 · 0. 7 − 0 .06 = 0. 22.
