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UPTUPT INGENIERIAINGENIERIA CIVILCIVIL - - IIII FÍSICAFÍSICA II SOLUCIONARI SOLUCIONARIOO REFORZAMIENREFORZAMIENTOTO 004004 DINÁMICA DE ROTACIÓNDINÁMICA DE ROTACIÓN 1.1. Determine el momento de inercia de una esfera de 10.8kg y 0.648 m de radio cuando el eje de rotaciónDetermine el momento de inercia de una esfera de 10.8kg y 0.648 m de radio cuando el eje de rotación pasa por su centro.pasa por su centro. 2.2. Calcule el momento de inercia de una rueda de bicicleta de 66.7 cm de diámetro. La rueda y la llantaCalcule el momento de inercia de una rueda de bicicleta de 66.7 cm de diámetro. La rueda y la llanta tienen una masa combinada de 1.25 kg. La masa del cubo se puede ignorar.tienen una masa combinada de 1.25 kg. La masa del cubo se puede ignorar. ¿Por qué?¿Por qué? 3.3. Una pequeña bola de 650 gramos en el extremo de una delgada barra ligera, gira en un círculo horizontalUna pequeña bola de 650 gramos en el extremo de una delgada barra ligera, gira en un círculo horizontal de 1.2 m de radio. Calculede 1.2 m de radio. Calcule a) el momento de inercia de la bola en torno al centro del círculo ya) el momento de inercia de la bola en torno al centro del círculo y b) lab) la torca necetorca necesaria parasaria para mantener amantener a la bola ela bola en rotación cn rotación con velocidad angular constanteon velocidad angular constante si lasi la resistenciaresistencia del aire ejerce una fuerza de 0.020 N sobre la bola. Ignore el momento de inercia y la resistencia del airedel aire ejerce una fuerza de 0.020 N sobre la bola. Ignore el momento de inercia y la resistencia del aire de la barra.de la barra. SOLUCIONSOLUCION A)A) B)B) Para mantener una velocidad angular constante, el par neto debe ser cero, por lo que el par necesarioPara mantener una velocidad angular constante, el par neto debe ser cero, por lo que el par necesario es la misma magnitud que el par caes la misma magnitud que el par causado por la fricción.usado por la fricción. 4.4. Un alfarero modela un tazón sobre una rueda que gira con rapidez angular constante. La fuerza deUn alfarero modela un tazón sobre una rueda que gira con rapidez angular constante. La fuerza de fricción entre sus manos y el barro efricción entre sus manos y el barro es de 1.5 N en total.s de 1.5 N en total. aa) ¿Cuál es la) ¿Cuál es la magnitud de su torca sobre la rueda, si el diámetro delmagnitud de su torca sobre la rueda, si el diámetro del tazón es de 12 cm?tazón es de 12 cm? bb) ¿Cuánto tardaría en detenerse la rueda de alfarero si la única torca que actúa sobre ella se debe a las) ¿Cuánto tardaría en detenerse la rueda de alfarero si la única torca que actúa sobre ella se debe a las manos de la alfarera?manos de la alfarera? La velocidad angular inicial de laLa velocidad angular inicial de la rueda es de 1.6rev/s y el momento de inercia de larueda es de 1.6rev/s y el momento de inercia de la rueda y el tazón es de 0.11 kg.mrueda y el tazón es de 0.11 kg.m 22 .. SOLUCIONSOLUCION A)A) ElEl esfuerzoesfuerzo dede torsióntorsión ejercidoejercido porpor lala fuerzafuerza dede fricciónfricción eses SeSe suponesupone queque lala fuerzafuerza dede fricciónfricción eses tangencialtangencial aa la arcilla, por lo que el ángulo esla arcilla, por lo que el ángulo es ƟƟ=90º=90º B) El tiempo de parada se encuentra deB) El tiempo de parada se encuentra de ==oo++t Con una velocidad angular final de 0. La aceleración angular se puede encontrart Con una velocidad angular final de 0. La aceleración angular se puede encontrar a partir dea partir de ttotalotal=I=I.. El par neto (y la aceleración angular) es negativo ya que el objeto se está desacelerando.El par neto (y la aceleración angular) es negativo ya que el objeto se está desacelerando.
- Calcule el momento de inercia de los objetos dispuestos como se muestra en la figura en torno a a) el eje vertical y b) el eje horizontal. Considere que m = 1.8 kg, M= 3.1 kg y que los objetos están unidos por rígidas piezas de alambre muy ligero. El arreglo de los objetos es rectangular y está dividido a la mitad por el eje horizontal. c) ¿En torno a cuál eje sería más difícil acelerar este sistema? SOLUCION (A) Para calcular el momento de inercia alrededor del eje y (vertical), utilice (B) Para calcular el momento de inercia alrededor del eje x (horizontal), utilice (C) Debido al mayor valor I, es más difícil acelerar la matriz alrededor del eje vertical.
Una molécula de oxígeno está constituida por dos átomos de oxígeno cuya masa total es de 5.3 (^) X 10
kg
y cuyo momento de inercia en torno a un eje perpendicular a la línea de unión de los dos átomos, a la mitad entre ellos, es de 1.9X 10 - 46 kg m 2 . A partir de estos datos, estime la distancia efectiva entre los átomos. SOLUCION La molécula de oxígeno tiene una geometría de "mancuernas", girando alrededor de la línea discontinua, como se muestra en el diagrama. Si la masa total es M, entonces cada átomo tiene una masa de M/2. Si la distancia entre ellos es d, entonces la distancia desde el eje de rotación a cada átomo es d/2. Tratar cada átomo como una partícula para calcular el momento de inercia.- Para hacer que un satélite cilíndrico uniforme y liso dé vueltas a la tasa correcta, los ingenieros disparan cuatro cohetes tangenciales como se muestra en la figura. Si el satélite tiene una masa de 3600 kg y un radio de 4.0 m, ¿cuál es la fuerza estable requerida de cada cohete, si el satélite alcanza 32 rpm en 5. min?
SOLUCION
(A) El momento de inercia de una barra delgada, girando alrededor de su extremo, se da en la figura 8- (g). Hay tres hojas para agregar. (B) El par requerido es los tiempos inercia de rotación de la aceleración angular, suponen constantes. ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN 10.Un rotor centrífugo tiene un momento de inercia de 3.75x 10
- kg.m 2 . ¿Cuánta energía se requiere para llevarlo desde el reposo hasta 8250 rpm? SOLUCION La energía necesaria para llevar el rotor a la velocidad de reposo es igual a la K (^) E rotacional final del rotor. 11.Un motor de automóvil desarrolla una torca de 280 mN a 3800 rpm. ¿Cuál es la potencia en watts y en caballos? SOLUCION El trabajo puede expresarse en cantidades rotacionales. Y así se puede expresar en cantidades rotatorias como 12.Una bola de boliche de 7.3 kg de masa y 9.0 cm de radio rueda sin deslizar por un carril de la pista a 3. m/s. Calcule su energía cinética total. SOLUCION
13.Estime la energía cinética de la Tierra con respecto al Sol como la suma de dos términos: a) la energía que se debe a su rotación diaria en torno a su eje y b) la que se debe a su revolución anual en torno al Sol. [Considere que la Tierra es una esfera uniforme con masa = 6.0X 10 24 kg y radio = 6.4X 10 6 m, y está a 1.5x 8 km del Sol.] SOLUCION (A) Para la rotación diaria alrededor de su eje, tratar la Tierra como una esfera uniforme, con una frecuencia angular de una revolución por día. B) Para la revolución anual sobre el Sol, trata la Tierra como una partícula, con una frecuencia angular de una revolución por año. 14.Una esfera de 20.0 cm de radio y 1.80 kg de masa parte desde el reposo y rueda sin deslizar por un plano inclinado de 30.0°, que tiene 10.0 m de largo. a) Calcule su rapidez de traslación y de rotación cuando alcanza el fondo. b) ¿Cuál es la razón entre la EC de traslación y la de rotación en el fondo? c) ¿Sus respuestas en los incisos a) y b) dependen del radio de la esfera o de su masa? SOLUCION A) El símbolo d representa la distancia que la esfera rueda a lo largo del plano. La esfera está rodando sin deslizarse, por lo que C) no depende del radio ni de la masa. 15.Dos masas, m 1 =18.0 kg y m 2 =26.5 kg, están conectadas por una soga que cuelga sobre una polea (como en la figura 8-47). La polea es un cilindro uniforme de 0.260 m de radio y 7.50 kg de masa. Inicialmente, m1 está en el suelo y m 2 reposa a 3.00 m sobre el suelo. Si el sistema se libera, use la conservación de la
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
17.¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de una bola de 0.210 kg que gira sobre el extremo de una delgada cuerda en un círculo de 1.10 m de radio y una rapidez angular de 10.4 rad/s? SOLUCION 18.Hacer los siguientes cálculos a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de una rueda de alfarero cilíndrica uniforme de 2.8 kg y 18 cm de radio cuando gira a 1500 rpm? b) ¿Cuánta torca se requiere para detenerla en 6.0 s? SOLUCION (A)El momento angular viene dado por (B) El par requerido es el cambio en el momento angular por unidad de tiempo. El momento angular final es cero. El signo negativo indica que el par se utiliza para oponerse al momento angular inicial. 19.Una persona está de pie, con las manos a sus costados, sobre una plataforma que gira a una tasa de 1.30rev/s. Si la persona eleva sus brazos a una posición horizontal, la rapidez de rotación disminuye a 0.80 rev/s. a) ¿Por qué? b) ¿En qué factor cambió su momento de inercia? SOLUCION (A) Considere la persona y la plataforma un sistema para el análisis del momento angular. Dado que la fuerza y el par de torsión para elevar y / o bajar los brazos son internos al sistema, la elevación o descenso de los brazos no provocará ningún cambio en el momento angular total del sistema. Sin embargo, la inercia rotacional aumenta cuando se levantan los brazos. Dado que el momento angular se conserva, un aumento de la inercia rotacional debe ir acompañado de una disminución de la velocidad angular.
20.Una clavadista puede reducir su momento de inercia en un factor cercano a 3.5 cuando cambia de la posición recta a la posición plegada. Si realiza 2.0 rotaciones en 1.5 s cuando está en la posición plegada, ¿cuál es su rapidez angular (rev/s) cuando está en la posición recta? SOLUCION No existe un par neto en el buzo porque la única fuerza externa (gravedad) pasa a través del centro de masa del buceador. Así se conserva el momento angular del buceador. El subíndice 1 se refiere a la posición de inclinación, y el subíndice 2 se refiere a la posición recta. 21.Una patinadora puede aumentar su tasa de rotación desde una tasa inicial de 1.0 rev cada 2.0 s hasta una tasa final de 3.0 rev/s. Si su momento de inercia inicial es de 4.6 kg.m 2 , ¿cuál es su momento de inercia final? ¿Cómo logra físicamente este cambio? SOLUCION El momento angular del patinador es constante, ya que no se le aplican pares externos. Ella logra esto comenzando con los brazos extendidos (velocidad angular inicial) y luego tirando de sus brazos hacia el centro de su cuerpo (velocidad angular final). 22.a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de una patinadora que gira a 3.5 rev/s con los brazos muy cerca del tronco, si se le considera como un cilindro uniforme con una altura de 1.5 m, un radio de 15 cm y una masa de 55 kg? b) ¿Cuánta torca se requiere para frenarla hasta el alto en 5.0 s, suponiendo que ella no mueve los brazos? SOLUCION b) Si la inercia rotacional no cambia, entonces el cambio en el momento angular se debe estrictamente a un cambio en la velocidad angular. El signo negativo indica que el par está en la dirección opuesta al momento angular inicial.
26.Una persona de 75 kg de masa está de pie en el centro de una plataforma giratoria en rotación, de 3.0 m de radio y momento de inercia 920 kg.m 2
. La plataforma gira sin fricción con velocidad angular de 2. rad/s. La persona camina radialmente hacia el extremo de la plataforma. a) Calcule la velocidad angular cuando la persona alcanza el extremo. b) Calcule la energía cinética de rotación del sistema constituido por la plataforma y la persona antes y después de que ésta camine. SOLUCION Puesto que la persona está caminando radialmente, no se ejercerán pares en el sistema persona- plataforma, y así se mantendrá el momento angular. La persona será tratada como una masa puntual. Puesto que la persona está inicialmente en el centro, no tienen inercia rotatoria inicial. 27.Un tiovivo de 4.2 m de diámetro gira libremente con una velocidad angular de 0.80 rad/s. Su momento de inercial total es de 1760 kg.m 2 . Cuatro personas que están de pie sobre el suelo, cada una con 65 kg de masa, súbitamente saltan sobre el borde del tiovivo. ¿Ahora cuál es la velocidad angular del tiovivo? ¿Qué ocurre si las personas inicialmente están en el tiovivo y luego saltan de él en dirección radial (relativa al tiovivo)? SOLUCION El momento angular del tiovivo e y la combinación de personas se conservarán porque no hay pares externos en la combinación. Esta situación es una colisión totalmente inelástica, en la que la velocidad angular final es la misma tanto para el tiovivo como para el pueblo. El subíndice 1 representa antes de la colisión, y el subíndice 2 representa después de la colisión. La gente no tiene un momento angular inicial. Si la gente salta del carrusel radialmente, entonces no ejerce ningún par en el carrusel, y por lo tanto no puede cambiar el momento angular del tiovivo. El tiovivo continuaría girando a 0.80 rad/s.
28.Suponga que el Sol se colapsa para formar una enana blanca, pierde casi la mitad de su masa en el proceso, y termina con un radio que es el 1.0% de su radio actual. Si se supone que la masa perdida no se lleva cantidad de movimiento angular, ¿cuál sería la nueva tasa de rotación del Sol? (Considere que el actual periodo del Sol es de 30 días.) ¿Cuál sería su EC final en términos de su EC inicial de hoy? SOLUCION Puesto que la masa perdida no lleva ningún momento angular, el momento angular de la masa restante será el mismo que el momento angular inicial. El período sería un factor de 20.000 más pequeño, lo que haría alrededor de 130 segundos. La relación de las energías cinéticas angulares de la masa de hilatura sería 29.Un asteroide de 1.0x 10 5 kg de masa, que viaja con una rapidez de 30km/s en relación con la Tierra, golpea tangencialmente a ésta en el ecuador y en la dirección de la rotación de la Tierra. Utilice la cantidad de movimiento angular para estimar el cambio porcentual en la rapidez angular de la Tierra como resultado de la colisión. SOLUCION El momento angular se conservará en el sistema de asteroides de la Tierra, ya que todas las fuerzas y torques son internas al sistema. La velocidad angular inicial del satélite, justo antes de la colisión, puede Asumiendo que el asteroide se incrusta en la Tierra en la superficie, la Tierra y el asteroide tendrán la misma velocidad angular después de la colisión. Modelamos la Tierra como una esfera uniforme, y el asteroide como una masa puntual. El momento de inercia del satélite puede ser ignorado con respecto al de la Tierra en el lado derecho de la ecuación anterior, y así el cambio porcentual en la velocidad angular de la Tierra se encuentra de la siguiente manera.
