Limitas y Continuidad deFunciones Reales: Conceptos Básicos y Aplicaciones, Monografías, Ensayos de Matemáticas

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UNIDAD 1

Límites y Continuidad de Funciones Reales

CONCEPTOS

BÁSICOS:

FUNCIÓN MATEMÁTICA

Una función matemática (también

llamada simplemente función) es la

relación que hay entre una

magnitud y otra , cuando el valor

de la primera depende de la

segunda.

CONCEPTOS

BÁSICOS:

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio de una función f ( x ) es el

conjunto de todos los valores para los

cuales la función está definida, es decir, el

conjunto de valores de la variable

independiente para los que se puede

calcular el valor de la variable “y”.

CONCEPTOS

BÁSICOS:

RANGO DE UNA FUNCIÓN

La imagen , recorrido o rango de una

función es el conjunto de las imágenes o

valores que toma la función cuando se

aplica sobre los elementos del dominio.

CONCEPTOS

BÁSICOS:

DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Se dice que la función es discontinua

si no es continua, es decir, presenta

algún punto en el que existe un salto y

la gráfica se rompe.

CONCEPTOS

BÁSICOS:

LÍMITE

Línea real o imaginaria que marca el fin de

una superficie o cuerpo o la separación

entre dos entidades. El término proviene del

latín limes , que quiere decir 'frontera' o

'borde’.

Se refiere también al punto en el cual algo

debe llegar a término o ha alcanzado su

punto de desarrollo máximo.

LÍMITES:

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Es el valor al que se va aproximando esa

función cuando “x” tiende a un

determinado punto, pero sin llegar a ese

punto.

Es el valor al que tiende la función cuando

la variable independiente tiende a un

valor “ a” ( x → a ) y se escribe:

LÍMITES:

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Para ver el límite de una función en un punto, partimos de la definición de límite, en el que se decía que a cualquier punto “ a” de la recta real (valor al que tiende x ), nos podemos acercar, en el caso de la existencia el límite, tanto como queramos, tanto por su izquierda como por su derecha. Son los límites laterales. a

LÍMITES:

LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA Se denomina límite lateral por la izquierda ( L 1 ) de una función f(x) definida en el intervalo abierto ( a , c ) y en un punto “ a” , a la imagen o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable “ x” se acerca mucho a “ a” , siendo x < a. Se escribe: L 1 L a f(x) x y L

LÍMITES:

LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA Se denomina límite lateral por la derecha ( L 2 ) de una función f(x) definida en el intervalo abierto ( a , b) y en un punto “ a” , a la imagen o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable “ x” se acerca mucho a “ a” , siendo x > a. Se escribe: L 2 L a f(x) x y L

APLICACIÓN DE LÍMITES:

EJEMPLO: La función: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3

• 𝑥 2 𝑥 2 Resulta ser indeterminada para el valor x= 0 , lo cual significa que no existe valor alguno para f ( 0 ), sin embargo aproximando el valor de x tanto por la izquierda como por la derecha, tendremos lo siguiente: X→ 0 0 ←X x - 0.1 - 0.01 - 0.001 - 0.0001 0 0.0001 0.001 0.01 0. f (x) 0.9 0.99 0.999 0.9999 ∄ 1.0001 1.001 1.01 1. f (x) → 1 1 ← f (x)

APLICACIÓN DE LÍMITES:

EJEMPLO:

Por lo cual podemos observar que:

• El limite lateral por la izquierda es

lim

𝑥→ 0 −

• El limite lateral por la derecha es

lim

𝑥→ 0 +

RECURSOS

Recursos Complementarios Recurso Título Cita Referencial Pagina web (^) FUNCIONES https://www.universoform ulas.com/matematicas/ana lisis/funciones/ Video (^) LIMITES https://youtu.be/o2UTk8bs LS