MATEMATICAS ESTADISTICAS, Resúmenes de Matemáticas

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MMMM ATEMÁTICAS IIII

PROGRAMA ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL

DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

Director

HONORIO MIGUEL HENRIQUEZ PINEDO

Subdirector académico

CARLOS ROBERTO CUBIDES OLARTE

Decano de pregrado

JAIME ANTONIO QUICENO GUERRERO

Coordinador Nacional de A.P.T

JOSE PLACIDO SILVA RUIZ

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ

Bogotá D.C., Noviembre de 2008

DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS

El plan de estudios del Programa de Administración Pública Territorial, modalidad

a distancia, se encuentra estructurado en siete núcleos temáticos. Éstos, a su vez,

se constituyen en los contenidos nucleares del plan de formación que, en la

exposición didáctica del conocimiento, se acompañan de contenidos

complementarios específicos.

Cada uno de los siete núcleos temáticos que componen el programa tiene una

valoración relativa en número de créditos y, en consecuencia, varía también en el

número de asignaturas que lo conjugan. El primer momento en cualquier proceso

de formación ha de establecer las particularidades del programa, de ahí que sea

necesario dar a conocer los núcleos temáticos con su respectiva valoración en

número de créditos: Problemática pública, once (11) créditos; Problemática del

estado y del poder, 23 créditos; Organizaciones públicas, 24 créditos; Espacio–

tiempo y territorio, 22 créditos; Gestión del desarrollo, 16 créditos; Economía de lo

público, 18 créditos; y Formación general, 21 créditos.

De igual manera, se debe reconocer que el plan de estudios se cimienta en el

principio de la problematización. En otras palabras, la formación en Administración

Pública Territorial parte del hecho de que la disciplina se encuentra en constante

cambio teórico y práctico; lo cual genera, a su vez, problemas multifacéticos que

implican la formación de profesionales con capacidad de comprender, explicar y

resolver los distintos textos y contextos que conforman la administración pública.

EL TRABAJO DEL TUTOR

El tutor tendrá libertad de cátedra en cuanto a su posición teórica o ideológica

frente a los contenidos del módulo, pero el desarrollo de los contenidos de los

módulos son de obligatorio cumplimiento por parte de los tutores. Los Tutores

podrán complementar los módulos con lecturas adicionales, pero lo obligatorio

para el estudiante frente a la evaluación del aprendizaje son los contenidos de los

módulos; es decir, la evaluación del aprendizaje deberá contemplar únicamente

los contenidos de los módulos. Así mismo, la evaluación del Tutor deberá

diseñarse para dar cuenta del cubrimiento de los contenidos del módulo.

El Tutor debe diseñar, planear y programar con suficiente anticipación las

actividades de aprendizaje y los contenidos a desarrollar en cada sesión de tutoría

(incluyendo la primera), y diseñar las actividades para todas las sesiones (una

sesión es de cuatro horas tutoriales). También debe diseñar las estrategias de

evaluación del trabajo estudiante que le permita hacer seguimiento del proceso de

autoaprendizaje del estudiante. Los módulos (asignaturas) de APT son de dos

créditos (16 horas de tutoría grupal presencial por crédito para un total de 32

horas), tres créditos (48 horas de tutoría grupal presencial) y de 4 créditos (

horas de tutoría grupal presencial, distribuidas así:

MÓDULO DE MATEMÁTICAS I (3 créditos)

No. Créditos

Horas por crédito

Total horas Tutoría Grupal

No. de sesiones

Horas por sesión

No. mínimo de encuentros tutoriales*

No. max. sesiones por encuentro 2 16 32 8 4 2 8 3 16 48 12 4 3 12 4 16 64 16 4 4 16

• El número de encuentros se programara de acuerdo con las distancias y costos de transporte de la Sede Territorial al CETAP, por ejemplo para los casos de los CETAP de Leticia, San Andrés, Mitú, Puerto Inírida y Puerto Carreño, se podrán programar un mínimo de dos encuentros para un módulo de 2 Créditos (16 horas por encuentro), tres encuentros para un módulo de 3 créditos y cuatro encuentros para un módulo de 4 créditos. Encuentro: número de veces que se desplaza un Tutor a un CETAP para desarrollar un módulo. Sesión: número de horas por cada actividad tutorial, por ejemplo: 8-12 a.m., 2-6 p.m., 6-10 p.m.

organizar la adquisición de nuevos conocimiento

Utilizar ejemplos y problemas cuya solución exija poner en acción los conocimientos de cada tema.

Buscar la correcta representación de los conocimientos y tomar conciencia de los resultados.

Encontrar buenas preguntas y hallar posibles soluciones.

Actuar, formular, probar, construir modelos, lenguajes, conceptos y teorías que pueda intercambiar con otros.

Adaptar los conocimientos a situaciones específicas, planteando modelos para resolverlos, pues las posibilidades se crean en un contexto y en unas relaciones con el medio. Así, los conocimientos aparecen como solución óptima.

Valorar la importancia que tienen los procesos constructivos y de interacción social en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas, utilizándolos en situaciones problemáticas que pueden provenir de la vida cotidiana, generando preguntas y situaciones interesantes.

Reconocer que existe un núcleo de conocimientos matemáticos básicos que debe dominar todo ciudadano.

Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías como herramientas computacionales para resolver problemas y tomar decisiones.

Reflexionar sobre el propio proceso de pensamiento con el fin de mejorarlo conscientemente.

Adquirir confianza en sí mismo.

Divertirse con su propia actividad mental, creando estrategias informales y de sentido común.
Tener en cuenta en el desarrollo del programa la historia, la génesis y la práctica de las matemáticas, como aspectos internos del ser y del conocer.

Desarrollar las competencias lógico matemáticas del futuro administrador público territorial, base fundamental para la toma de decisiones, la comunicación y planificación.

Adquirir herramientas de análisis que permitan apoyar la comprensión de algunas de las temáticas estudiadas en la carrera.

Estudiar algunas aplicaciones de la matemática en la administración y la economía, especialmente las que se refieren a la maximización de los beneficios, la eficiencia de los procesos, lo mismo que a la minimización de los costos.

INTRODUCCIÓN

Este documento forma parte del conjunto de módulos preparados por la Escuela Superior de Administración pública ESAP, con el fin de desarrollar el programa de Administración Púbica Territorial.

El modelo pedagógico aplicado para la enseñanza de matemática en este caso, recurre a prácticas didácticas tradicionales y a métodos activos contando con la utilización de las nuevas tecnologías.

Clase participativa: En el desarrollo de las sesiones los alumnos construyen los conceptos a través de la guía del tutor.
Talleres de aplicación: Se adelantan trabajos de aplicación con información pertinente al campo de la administración pública.
Tutorías de asistencia grupal, con énfasis en el desarrollo de la habilidad del manejo de un software.
Investigación formativa: Durante el semestre se desarrollarán investigaciones sobre temas propuestos en el plan o por los estudiantes, inscritos en el dominio de la administración pública.

En todo momento se aceptará la contribución que el alumno pueda hacer para el desarrollo de la clase, tanto en el ámbito de plan de estudios como metodológico.

El contenido básico del módulo abarca los elementos principales del cálculo infinitesimal o diferencial, sin embargo no se centra en el desarrollo de los conceptos meramente matemáticos, sino en las aplicaciones a las áreas pertenecientes al campo de la administración pública; por ello, se presentan las ideas y definiciones básicas sin ahondar en demostraciones, centrándose principalmente en los ejemplos de aplicación.

La estructura de cada capítulo del módulo contiene los objetivos específicos, que debemos recordar nos servirán como referente del aprendizaje obtenido. Las lecciones están conformadas por un título, un desarrollo de los temas, algunos ejemplos, explicaciones, gráficos, notas y definiciones como apoyo. En cada capítulo se enuncian ejercicios y preguntas que sirven como estrategia de aprendizaje permitiendo reflexionar o clarificar aspectos básicos del tema que se estudia. Al final del capítulo se presenta una autoevaluación presentada como ejercicios de repaso del capítulo que le permite al estudiante asegurar que ha asimilado los contenidos y que está en capacidad de presentar sus evaluaciones.

Contenido sintético de este módulo

CAPITULO 1. ECUACIONES

Objetivos Generales:

1. Solucionar ecuaciones cuadráticas y lineales.
2. Plantear la ecuación correspondiente en problemas de aplicación

Objetivos específicos:

 Resolver ecuaciones con métodos algebraicos  Resolver problemas dando solución en forma de conjunto y/o intervalo.

Subtemas:

1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable 1.2 Aplicaciones 1.3 Ecuaciones lineales en dos variables 1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable 1.5 Aplicaciones 1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables 1.7 Sistemas de ecuaciones 1.8 Aplicaciones Ejercicios de repaso del capítulo

Palabras clave:

Igualdad Despeje de una variable Plano cartesiano Coordenada Factorización Operaciones con reales

Repaso sobre los Números Reales (R)

Los conjuntos vistos en matemáticas anteriores sugieren que los números naturales (N), los enteros (Z) y los racionales (Q) se relacionan de la siguiente manera: N Z Q

Lo cual significa que todo número natural es también entero y todo número entero es también racional y por lo tanto todo número natural es racional.

Si al conjunto de los números racionales (Q) se le une el conjunto de los números irracionales (I) disyuntos entre sí, se genera un conjunto conocido como el conjunto de los números reales, nominado con la letra R.

Recordemos que:

N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...} Z: Números Enteros {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Q: Números Racionales {..., , -3/2, , -2/6, -1/3, , , 0, , 1/4, 2/9, , ...} R: Números Reales = Q U I C: Números Complejos, compuestos por una parte real y una imaginaria, cuya notación incluye la letra i.

ECUACIONES

Poco se conoce de la vida personal del matemático griego Diofante, que vivió en Alejandría, Egipto, en el siglo III de la era cristiana. Sin embargo, su trabajo influyó sobre los matemáticos europeos del siglo XVII. La leyenda asegura que sobre la tumba de este matemático ilustre se escribió el siguiente epitafio:

Diofante pasó una sexta parte de su vida en la niñez, una doceava parte en la juventud y una séptima parte soltero. Cinco años después de su matrimonio nació un niño que murió cuatro años antes de que su padre cumpliera la mitad de su edad (final).

Si x representa la edad de Diofante al morir, entonces la información anterior puede representarse con la ecuación

En este módulo obtendremos técnicas que nos permitirán resolver ésta y muchas

(3x) = (-2) x =

Por lo tanto la solución es única y se representa en un conjunto: S =.

Para probar el valor hallado, se reemplazamos en la ecuación original y vemos que genera una proposición verdadera, así:

3 x + 2 = 0

3 + 2 = 0 -2 + 2 = 0 0 = 0

Ecuaciones Lineales

Son una clase especial de ecuaciones polinómicas, es decir de la forma

an xn^ + an-1 xn-1^ + an-2 xn-2^ + an-3 xn-3^ + an-4 xn-4^ + …+ a 1 x^1 + a 0 x^0 , con ai R y n un entero no negativo.

Aquellas que tienen la forma a 1 x^1 + a 2 x^0 = 0; con a 1 , a 2 R; a 1 ≠ 0 y n = 1 son lineales.

Ejemplo 5.

Efectuamos las operaciones indicadas, antes enunciadas, teniendo en cuenta el orden presentado por los paréntesis:

o

Por tanto, el conjunto solución es: S =

Ejemplo 6.

Al multiplicar por ( x- 5 ) a cada lado de la ecuación, se obtiene una ecuación lineal:

Pero, al multiplicar por una expresión que contiene una variable, debemos verificar que x = 5 sea efectivamente una solución:

Y como no es posible dividir entre cero, llamamos a x = 5 una solución extraña y por lo tanto la ecuación no tiene solución, es decir, S = o S =Ø.

Ejemplo 7.

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador

que en este caso es (diferencia de cuadrados), ya que la factorización es

Al probar en la ecuación original se nota que dos de los denominadores se vuelven cero, por lo tanto es una solución extraña. S =.

Ejemplo 8.

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador

que en este caso es , ya que la factorización es (Factor común)

En álgebra es útil traducir las palabras en las que viene enunciado un problema en una ecuación algebraica apropiada. Debemos leer el problema atentamente, identificar la cantidad desconocida, si es posible hacer un diagrama, asignar una variable a la cantidad desconocida, representar cualquier otra cantidad en términos de la variable escogida, escribir una ecuación que exprese con precisión la relación descrita en el problema, solucionar la ecuación y verificar que la respuesta concuerde con las condiciones planteadas. Ejemplo 11. En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene?

Asignamos x = edad actual de Bryan

x + 5 será entonces la edad en cinco años

x – 7 la edad que tenía hace 7 años

3 ( x – 7 ) tres veces la edad que tenía hace 7 años

La ecuación que expresa la relación del problema será:

x + 5 = 3 ( x – 7 )

despejando x para hallar la solución:

x + 5 = 3 x - 21

x – 3x = - 21 - 5

-2 x = - 26

x =

x = 13 años

Puesto que 13 + 5 = 3 (13 - 7), la edad actual de Bryan es 13 años.

Muchos problemas de inversión utilizan la fórmula de interés simple :

I = C r t

Donde I es la cantidad de interés ganada sobre un capital C invertida a una tasa de interés simple r de porcentaje por t años.

Ejemplo 12. La señora Beecham invirtió parte de US$10.000 en un certificado de

• Recuerda que: al tener un número negativo multiplicando en un lado de la ecuación, lo pasamos con el mismo signo, para despejar la variable.

ahorros a 7% de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. Si recibió un total de US$900 de interés por el primer año, ¿Cuánto invirtió en el título?

Notemos con la letra x la cantidad de dinero invertida en el título, entonces 10.000 – x será el dinero puesto para el certificado de ahorros.

Podemos organizar la información dada en un cuadro así: Capital C Tasa de interés r

Tiempo t

Interés ganado I = C r t Certificado de ahorros 10.000 -x 0,07 1 (10.000-x)(0,07)(1)= 700- 0,07 x

Título x 0,12 1 x (0,12) (1) = 0,12 x

Como el total de interés recibido es de US$ 900 se tiene:

700- 0,07 x + 0,12 x = 900 de donde,

• 0,07 x + 0,12 x = 900 – 700

0,05 x = 200

x = 4.

Por lo tanto se invirtieron US$ 4.000 en el título.

Razón de cambio. Si un objeto se mueve a una velocidad constante v, entonces la distancia d que recorre en t unidades de tiempo está dada por

d = v t , o , t = d / v , o , v = d / t

Ejemplo 13. Un hombre recorrió 289 Km. en auto y luego montó en bicicleta 50 Km. más. Si el tiempo total del viaje fue de 12 horas y la velocidad en la bicicleta fue ¼ de la velocidad en el auto, encuentre cada velocidad.

Distancia Velocidad Tiempo En auto 289

En bicicleta 50

Como el tiempo total fue de 12 horas, tenemos: