MATEMATICAS PARA PRIMARIA, Resúmenes de Matemáticas

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Ministerio de

Educación Nacional

República de Colombia

Matemáticas

Presentación

El Ministerio de Educación Nacional, presenta a la comunidad educativa la nueva versión del modelo Postprimaria Rural , en su propósito de disminuir las brechas educativas del país en cuanto a permanencia y calidad en todos los niveles. Este material se presenta como una alternativa que busca dar res- puesta, a las necesidades de formación y desarrollo educativo en poblaciones de las zonas rurales y urbano-marginales.

La propuesta pedagógica del modelo Postprimaria, se desarrolla a través de una ruta didáctica que permite a los estudiantes analizar e interpretar diver- sas situaciones problema, para aproximarse a su cotidianidad, construir sabe- res y convertir los contenidos en aprendizaje significativo para sus vidas.

Para el logro de este objetivo, se ha diseñado un conjunto de materiales de aprendizaje que abordan las áreas obligatorias y fundamentales, las cuales desarrollan contenidos actualizados que incorporan los referentes de calidad del MEN, especialmente los Estándares Básicos de Competencias. También el modelo brinda material educativo, que permite a los establecimientos educa- tivos implementar proyectos de alimentación, tiempo libre, salud y nutrición. Adicionalmente, teniendo en cuenta la necesidad de las nuevas generacio- nes de las zonas rurales, se propone el trabajo con Proyectos Pedagógicos Productivos, el cual ofrece un doble beneficio: por un lado, se convierte en la oportunidad de desarrollar aprendizajes prácticos, con lo que se fomenta no solo el saber sino el saber hacer en el contexto del estudiante; y por otro, se promueve el espíritu empresarial, que permite a los jóvenes comprender distintas posibilidades productivas.

Postprimaria rural cuenta con un Manual de implementación en el que se pre- senta el enfoque pedagógico y alternativas didácticas que se pueden aplicar en cada área curricular. Éstas son una herramienta de apoyo para el docente porque le facilita, con ayuda de su creatividad e iniciativa personal, promover una educación pertinente para el estudiante de la zona rural y urbano mar- ginal, e incrementar el interés por ampliar su escolaridad, hasta alcanzar la culminación del ciclo básico.

Este modelo es una oportunidad para impulsar la participación activa de los estudiantes como ciudadanos colombianos, toda vez que con ello se contri- buye a ampliar sus posibilidades de vida digna, productiva y responsable, lo que repercutirá en la construcción de una sociedad colombiana más justa y con mayores posibilidades de desarrollo humano.

Ministerio de Educación Nacional

Así es esta cartilla

Las actividades acompañadas por este ícono te permiten indagar los conocimientos que has adquirido en años anteriores y en tu vida diaria. Esta sección te servirá como punto de partida para construir nuevas formas de conocer el mundo.

En esta sección encontrarás información y actividades con las cuáles podrás construir nuevos y retadores aprendizajes. Es importante que hagas tu mejor esfuerzo en su realización, y compartas con tu docente y compañeros las dudas que se te presenten. Recuerda que los nuevos aprendizajes y el uso que hagas de ellos, te permitirán mejorar tus competencias como estudiante y como ciudadano responsable, y comprometido en la comunidad en la que vives.

Querido estudiante: Bienvenido a este nuevo curso de Matemá- ticas de la Postprimaria rural. Esperamos que esta experiencia sea enriquecedora tan- to para ti, como para todos los integrantes de la comunidad.

Lee con atención el siguiente texto. Te ayu- dará a entender cómo están organizadas las cartillas que se utilizarán para el trabajo en las áreas fundamentales, en los proyectos transversales y en los proyectos pedagógi- cos productivos.

Esta cartilla te acompañará durante todo el curso y orientará tu proceso de enseñanza- aprendizaje. El conocimiento y uso adecua- do de ella te permitirá obtener un mejor desempeño, que se verá reflejado en tu for- mación personal.

En cada una de las guías que componen los módulos, encontrarás unos íconos que indi- can el tipo de trabajo que vas a realizar:

Aprendamos algo nuevo

Lo que sabemos

6

Módulo

3

Módulo

2

Sistema de ecuaciones lineales tres por tres | 42

Guía 5 Determinantes de 3 x 3 | 45

Guía 6 Racionalización | 53

Conociendo las funciones | 62

Guía 7 Representamos funciones | 67

Guía 8 Función lineal | 84

Guía 9 Función cuadrática | 92

Guía 10 Función exponencial | 100

Guía 11 Función logarítmica | 104

Contenido

Módulo

(^1) Guía 1 Ecuaciones lineales | 12

Guía 2 Sistemas de ecuaciones de 2 x 2. | 21

Guía 3 Problemas de sistema de ecuaciones de 2 x 2.| 29

Guía 4 Determinantes de 2 x 2 | 36

Sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2 | 8

7

Módulo

5

6

4

Algo más sobre la probabilidad | 144

Guía 15 Recordando la probabilidad de eventos | 148

Guía 16 Calculando probabilidades de varios eventos | 152

Apoyándonos en nuevas herramientas | 170

Guía 17 Ayudas tecnológicas para calcular medidas de tendencia | 174

Guía 18 ¡Calculando, ando! | 188

Guía 19 ¡Grafi cando con ayuda! | 194

Módulo

Módulo Algo más sobre semejanza | 114

Guía 12 Otras relaciones numéricas entre fi guras semejantes | 118

Guía 13 Situaciones de segmentos proporcionales | 128

Guía 14 La herramienta escala | 133

Guías Conceptos Procesos Guía 1.

Ecuaciones lineales

Definición.

Propiedades de la suma y la resta para la igualdad.

Problemas de aplicación de ecuaciones lineales.

El desarrollo de estos estándares permitirá fortalecer los siguientes procesos:

• La formulación, tratamiento y resolución de problemas: Por cuanto se presentan diversas situaciones que pueden ser resueltas mediante el desarrollo de sistemas de ecuaciones lineales.
• La modelación : Está relacionada con la capacidad del estudiante para poder plantear los problemas que se le presentan por medio de un sistema de ecuaciones lineales que le permitan dar la respuesta a la situación.
• La comunicación: Se invita al estudiante a interpretar enunciados, así como a proponer soluciones a ejercicios y aplicaciones relacionadas con sistemas de ecuaciones de 2 x 2 y de 3 x 3 y su aplicación para la solución de problemas.
• El razonamiento : El presente módulo se apoya constantemente en preguntas, las cuales trazan un derrotero, para deducir algunas relaciones que existen entre los sistemas de ecuaciones. Se muestra la regla de Cramer y los tres sistemas de solución de ecuaciones lineales.
• La formulación, comparación y ejercitación de procedimientos: A lo largo del desarrollo de los temas, al finalizar el desarrollo de cada tema y en las actividades evaluativas, se presentan ejercicios que ayudarán a ganar destreza en el planteamiento y solución de un sistema de ecuaciones de 2 x 2 o de 3 x 3

Guía 2.

Sistemas de ecuaciones de 2 x 2.

Definición.

Método de igualación.

Método de sustitución.

Método de reducción (eliminación) Guía 3.

Problemas de sistema de ecuaciones de 2 x 2.

Problemas de aplicación.

Guía 4.

Determinantes de 2 x 2.

Definición.

Regla de Cramer.

9

Módulo 1 • Postprimaria Rural

El siguiente esquema te muestra la manera como se relacionan los conceptos que se

trabajan en las guías del módulo.

Sistema de Ecuaciones Lineales 2 x 2

Igualación Sustitución Reducción Determinación

Metódo gráfi co

Se pueden

en

en

en

por por por por

para solucionarlos por

Sistema consistente

Clasifi car

Métodos de resolución

Sistema inconsistente

Sistema dependiente

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?

Con la enseñanza de diferentes métodos algebraicos, nos adentraremos en la práctica

que nos lleve a la resolución de sistemas con dos, incógnitas. Se trata de buscar mane-

ra más sencilla en el manejo de las ecuaciones y debemos tener en cuenta que una de

las dificultades mas que más se presentan radica en no olvidarnos de multiplicar un

signo o escoger el método adecuado.

10

Matemáticas • Grado 9

Ecuaciones lineales

Estándares: Pensamiento variacional

 Identifi co relaciones entre propiedades de las gráfi cas y propiedades de

las ecuaciones algebraicas.

 Identifi co diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones

lineales.

Pensamiento numérico

 Resuelvo problemas y simplifi co cálculo usando propiedades y relacio-

nes de los números reales y las relaciones y operaciones entre ellos.

Lo que sabemos

Definición

La expresión algebraica ax + by = c se denomina una ecuación lineal con dos incógni-

tas, donde a y b son los coefi cientes de las incógnitas x y y, respectivamente, mientras

que c es el término independiente.

Recordemos algunos conceptos

Coefi ciente Es un factor multiplicativo constante de un objeto específi co.

Incógnita Es una variable que interviene en una ecuación que sólo se verifi ca para unos valores determinados. Término independiente

El término independiente es el que consta de sólo un valor numérico y no tiene parte literal.

Se dice que la solución de la ecuación es una pareja de números tales que sustituidos

en los lugares de las incógnitas x y y , hacen que se cumplan la igualdad.

Ejemplo:

Hallar soluciones para la ecuación 2x + y = 13

Guía 1

12

Solución

Dando un valor a la variable x en la ecuación en fácil obtener el valor correspondiente

para y y con ello una solución.

Observemos

Si reemplazamos 1 en el lugar de las x miremos que valor tendría y para cumplir con

la igualdad.

2(1) + y = 13 Lo que haremos ahora es multiplicar 2 x 1

2 + y = 13 Ahora observemos que valor haría falta para cumplir con la igualdad.

2 + 11 = 13 El valor que hace falta es 11 para que se cumpla la igualdad.

Podemos ayudarnos de una tabla de valores para hacer más sencilla la solución.

X 1 2 3 4 5

Y 11 9 7 5 3

Para la solución de la anterior ecuación existen varios pares de números que cumplen

con la igualdad.

Aprendamos algo nuevo

Otra forma de resolver las ecuaciones lineales es aplicar las

propiedades de suma y multiplicación de la igualdad para aislar la

variable en un lado del signo de igualdad.

A continuación enunciaremos las dos propiedades para que se tengan en cuenta al

momento de resolver las ecuaciones lineales.

13

Guía 1 • Postprimaria Rural

Verificamos la solución:

3 x + 8 = 12

4 3

3 + 8 = 12 Reemplazamos el valor de la variable que hallamos

+ 8 = 12 Operamos y reducimos términos

Si al final del remplazo nos da una igualdad, quiere decir que el valor de

la variable es el que satisface la ecuación.

Ejemplo 2

-2x + 8 = 3x - 7 Tenemos la ecuación

-2x + 2x + 8 = 3x + 2 x - 7 Sumamos 2x en ambos lados. Propiedad de la suma

8 = 5x - 7 Reducimos términos

8 + 7 = 5x - 7 + 7 Sumamos 7 en ambos lados.

15 = 5b Resolvemos

5 b 5

= Dividimos por cinco a ambos lados

3 = x Obtenemos el valor de la variable

15

Guía 1 • Postprimaria Rural

Ejemplo 3

2 x 3

2 x 3

3 5 - = 3(-9) Multiplicamos ambos lados por tres

2 x 3

3(5) - 3 = -27 Utilizamos la propiedad distributiva

6 x 3

666 xx 33

Operamos y simplificamos

15 - 2x = -

15 - 15 - 2x = -27 -15 Restamos 15 a ambos lados

-2x = - 42

-2x

= Dividimos entre -2 a ambos lados

x = 21

Ejemplo 4

(x + 4)= x

1 2

x + = x Utilizamos la propiedad distributiva

x +2= x Reducimos términos

x + 2 - 2 = x - 2 Restamos – 2 a ambos lados

x - x = x - x - 2 Restamos 1

• a ambos lados

1 6

x = - 2 Reducimos términos

x = Dividimos por

x = 12

16

Matemáticas • Grado 9

Ejemplo 1

Luis le pregunto a su primo Juan cuántos años tenía y Juan le contestó:

Si al triple de los años que tendré dentro de tres años le restas el triple de los años que

tenía hace tres años, tendrás los años que tengo ahora. ¿Cuántos años tiene Juan?

Después de leer el problema, configuremos un plan. Realicemos el planteamiento de

los datos.

Las edades de Juan: Dentro de 3 años: x + 3 Actual: x años. Hace tres años: x - 3

Ejecutemos el plan: empecemos a plantear la ecuación de acuerdo a lo que aparece

en esta.

Si al triple de los años que tendré dentro de tres años: 3(x + 3)

Le restas: el triple de los años que tenía hace tres años: 3(x - 3)

Tendrás los años que tengo ahora: x

Organizamos las expresiones y tenemos: 3(x + 3) - 3(x - 3) = x

Resolvemos: 3x + 9 - 3x + 9 = x

18 = x

Es así como sabemos que Juan tiene 18 años, entonces podemos comprobar el

resultado:

18

Matemáticas • Grado 9

Ejemplo 2

Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 51.

Cuando nos piden hallar tres números consecutivos, debemos tener en cuenta que:

El primer número es el desconocido: x; como son consecutivos, el segundo número es

x + 1, y el tercero es x + 2, ya tenemos los números consecutivos, ahora planteamos la

ecuación.

x + (x + 1) + (x + 2) = 51

3 x + 3 = 51

3 x + 3 - 3 = 51 -

3 x = 48

3 x 3

x = 16

De esta manera sabemos que el primer número es 16, para

hallar los siguientes reemplazamos en la variable x, los

consecutivos:

x = 16 x + 1 = 16 + 1 = 17 x + 2 = 16 + 2 = 18

Los números son: 16, 17, 18 y la suma de estos es:

19

Guía 1 • Postprimaria Rural