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Apuntes
Matemáticas II
!
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Tema!6:!
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GEOMETRÍA!EN!EL!ESPACIO!
! ! 2ª!Parte:!Rectas!y!planos!en!el!espacio!
!
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Tipo: Apuntes
2019/2020
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Apuntes
Matemáticas II
Tema!6:!
GEOMETRÍA!EN!EL!ESPACIO!
!! 2ª!Parte:!Rectas!y!planos!en!el!espacio!
TEMA%6:%GEOMETRÍA%EN%EL%ESPACIO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!A!RECTAS!Y!PLANOS!EN!EL!ESPACIO!–!
En!un!gran!número!de!casos,!la!arquitectura!actual!es!netamente!lineal,!los!edificios!
están!construidos!a!base!de!planos!y!rectas,!sin!utilizar!prácticamente!ningún!tipo!de!
ornamentación!que!no!sea!lineal,!como!hacía!la!arquitectura!de!otros!siglos.!
ECUACIONES)DE)LA)RECTA)EN)EL)ESPACIO)
Ecuación%vectorial%de%la%recta.%
Una!recta! r" en!el!espacio!viene!determinada!por!un!punto!! "
‐!El!vector!.!
"
!!se!denomina! vector%de%posición% del!punto! "!
"
‐!El!vector!)!se!denomina! vector%director ,!y!su!dirección!es!paralela!a!la!de!la!recta! !
El!vector!.! "
es!un!vector!que!tiene!su!origen!en! O" y!cuyo!extremo!es!un!punto!
de!la!recta! r .!Es!decir,!para!cada!valor!del!parámetro! t" es!el!vector!de!posición!de!un!
punto! P" de!la!recta.!!
Se!llama! ecuación)vectorial)de)la)recta)r) a!la!expresión:!
"
donde!! 2 , &, 4! es! un! punto! genérico! de! la! recta,! .! "
"
"
"
! es! el! vector! de!
posición!de!un!punto!dado!de!la!recta!! "
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!es!un!vector!director!de!la!
recta!y!t!es!cualquier!número!real.!
A!partir!de!la!ecuación!anterior,!para!cada!valor!de! t" obtendremos!un!punto!de!la!recta!
r .!!
Ecuaciones%parámetricas%de%la%recta.!
Si!expresamos!la!ecuación!anterior!en!coordenadas,!tenemos:!!
"
"
"
6
7
8
A! El!vector!.!
"
!!se!denomina! vector%de%posición .!!
A! Los!vectores!'%&%) " se!denominan! vectores%directores% del!plano.!
A! El! vector
"
"
P
Q
" es! un! vector! que! tiene! su! origen! en! O! y! cuyo!
extremo!es!un!punto!del!plano! N
!dado.
Se!llama! ecuación)vectorial)del)plano) a!la!expresión:!
"
+ P ∙ ' + Q ∙ )!
donde!! 2 , &, 4 !es!un!punto!genérico!del!plano,!.!
"
"
"
"
!es!el!vector!de!posición!
de!! "
6
7
8
6
7
8
!son!los!vectores!directores!del!plano!y!P%&%Q!son!dos!
números!reales!cualesquiera.!
A!partir!de!la!ecuación!anterior!para!cada!par!de!valores!de!P%&%Q!obtenemos!un!punto!
del!plano!N.!
Ecuaciones%paramétricas%del%plano%
Si!expresamos!esta!ecuación!en!coordenadas,!tenemos:!
"
"
"
+ P ∙ '
6
7
8
+ Q ∙ )
6
7
8
Igualando!coordenada!a!coordenada,!obtenemos!las!ecuaciones!paramétricas!del!plano:!
"
+ P ∙ '
6
+ Q ∙ )
6
"
+ P ∙ '
7
+ Q ∙ )
7
"
+ P ∙ '
8
+ Q ∙ )
8
%%RS*(9-%P%&%Q% ∈ 5!
Ecuación%general%o%implícita%del%plano%
A!partir!de!la!ecuación!vectorial!del!plano!.! = .! "
- P' + Q)!tenemos!que:!
"
= P ∙ ' + Q ∙ ) ⟹!
"
! = P ∙ ' + Q ∙ )!
Si!expresamos!esta!ecuación!en!coordenadas:!
"
"
"
= P ∙ '
6
7
8
+ Q ∙ )
6
7
8
Esto!quiere!decir!que!los!tres!vectores!! "
!, ', ) !son!linealmente!dependientes,!lo!que!
en!términos!de!matrices!y!determinantes!significa!que:!
5T(U-%
"
"
"
6
7
8
6
7
8
"
"
"
6
7
8
6
7
8
Es!decir,!si!el!rango!de!la!matriz!es!2,!no!será!posible!encontrar!un!menor!de!orden!3!no!
nulo!y!el!determinante!de!la!matriz!ha!de!ser!0.!
Desarrollando!el!determinante!obtenemos!la!ecuación!general!del!plano:!
;2 + <& + =4 + V = 0 %%%9-(9*%;, <, =%&%V%O% 5!
Ejemplo: !Hallar!las!ecuaciones!del!plano!determinado!por!el!punto!A!=!(1,!2,!3)!y!los!
vectores! u =!(2,!A1,!5)!y! v =!(3,!2,!4)!
Ecuación!vectorial:! 2 , &, 4 = 1 , 2 , 3 + P ∙ 2 , − 1 , 5 + Q ∙ 3 , 2 , 4!
Ecuaciones!paramétricas:!
2 = 1 + 2 P + 3 Q
& = 2 − P + 2 Q
4 = 3 + 5 P + 4 Q
Ecuación!implícita:!! ⇒ 0
x − y − z −
⇒ A2x!+!y!+!z!A!3!=!0!
Puntos%coplanarios.%
! Cuatro!o!más!puntos!del!espacio!son!coplanarios!cuando!pertenecen!al!mismo!
plano.!Tres!puntos!siempre!son!coplanarios,!tres!puntos!determinan!un!plano.!
Ejemplo:% Determina! si! los! puntos! A! (2,1,0),! B! (A1,0,2),! C! (0,A 2 ,A1)! y! D! (0,3,A2)! son!
coplanarios.!
Ejemplo%2: !Determina!la!ecuación!del!plano!N!que!pasa!por!el!origen!y!es!
perpendicular!a!la!recta:!
Si!el!plano!es!perpendicular!a!la!recta,!el!vector!director!de!ésta!puede!utilizarse!como!
vector!normal!al!plano,!es!decir:!
) = 1 , 2 , 3 = ( ⇒ N: 1 ∙ 2 − 0 + 2 ∙ & − 0 + 3 ∙ 4 − 0 = 0!
La!ecuación!del!plano!que!resulta!es:!]: ^ + _` + cd = a!