Matemáticas II Julio 2016
PROBLEMA B.2. Se dan los planos π: x + y + z = 1 y
σ
: a x + b y + z = 0, donde a y b
son dos parámetros reales.
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Los valores de a y b para los que el plano
σ
pasa por el punto (1,2,3) y, además
dicho plano
σ
es perpendicular al plano π. (3 puntos)
b) Los valores de a y b para los cuales sucede que el plano
σ
pasa por el punto (0,1,1)
y la distancia del punto (1,0,1) al plano
σ
es 1. (3 puntos)
c) Los valores de a y b para los que la intersección de los planos π y
σ
es la recta r para
la que el vector (3,2,-5) es un vector director de dicha recta r, (3 puntos)
Y obtener las coordenadas de un punto cualquiera de la recta r. (1 punto)
Solución:
a) ¿a, b? / ( 1 , 2 , 3 )
∈
σ
y
σ
⊥
π.
( 1 , 2 , 3 )
∈
σ
→
a . 1 + b . 2 + 3 = 0
→
a + 2 b + 3 = 0
σ
⊥
π
→
→→
⊥
πσ
nn
→
( a , b , 1 )
⊥
( 1 , 1 , 1 )
→
( a , b , 1 ) . ( 1 , 1, 1 ) = 0
→
a + b + 1 = 0
Resolvamos el sistema:
=++
=++
01ba
03b2a
Restando 1ª – 2ª, b + 2 = 0; b = – 2
Sustituyendo el valor de b en, por ejemplo, la 2ª ecuación: a + (– 2 ) + 1 = 0; a – 1 = 0; a = 1
Solución: a = 1 y b = – 2
b) ¿a, b? / ( 0 , 1 , 1 )
∈
σ
y d ( ( 1 , 0 , 1 ) ,
σ
) = 1
( 0 , 1 , 1 )
∈
σ
→
a . 0 + b . 1 + 1 = 0
→
b + 1 = 0
→
b = – 1
( )( )
1
1ba
1a
1
1ba
10b1a
1101d
22222
=
++
+
→=
++
++
→= ..
,,,
σ
como b = – 1
2a1a
2a1a
2a1a1
2a
1a
1
11a
1a
2
2
2
222
+−=+
+=+
+=+→=
+
+
→=
+−+
+
→
)(
1ª ecuación,
(
)
Sí
4
9
2
3
2
4
1
2
3
2
2
1
1
2
1
ónComprobaci
2
1
a1a22a1a2a2a1a2a1a
2
22
2
222
=+=+
=+
=→=→+=++→+=+→+=+
;;,
)(
2ª ecuación,
(
)
No
4
9
2
3
2
4
1
2
3
2
2
1
1
2
1
ónComprobaci
2
1
a1a22a1a2a2a1a2a1a
2
22
2
222
−=+−=+
−=+
=→=→+=++→+−=+→+−=+
;;,
)(
Solución: a =
2
1
y b = – 1
c) ¿a, b? /
π
∩
σ
= r de forma que
=
→
r
v ( 3 , 2, – 5 )
