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EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS
1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0 , escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el
punto de corte con el eje de ordenadas.
Solución:
- Hallamos el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas : x = 0
y x
x y Luego el punto de corte es P(0,2)
la recta s perpendicular a r tiene por pendiente 4
hallamos la ecuación de la recta s de la
que conocemos su pendiente y el punto P : y – 2 = 4
x 3x – 4y + 8 = 0
2.- Escribir las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:
a) Pasa por el punto A(-3,1) y su vector de dirección es v = (2,0)
b) Pasa por el punto P(5,-2) y es paralela a :
y t
x t
2
t
c) Pasa por A(1,3) y es perpendicular a la recta r: 2x – 3y + 6 = 0
d) Es perpendicular al segmento PQ siendo P(0,4) y Q(-6,0) en su punto medio
Solución:
a)
y
x t t
b) al ser paralela , su vector de dirección será (-1,2) la recta pedida es :
y t
x t
2 2
t
c) el vector director de r es (3, 2), el de la perpendicular será (2. -3) su ecuación es
y t
x t
3 3
t
d) Punto medio de PQ (-3, 2) , vector director : el perpendicular a PQ = ( -6, -4) , el
perpendicular (4, -6), la ecuación pedida es:
y t
x t
2 6
t
3.- El punto P(5,-2) es el punto medio del segmento AB, siendo A(2, 3). Hallar B.
Solución
P(5, -2) =
x 2 y
2 2
y
x
x = 8 ; y = -7 B(8, -7)
4.- Hallar el punto simétrico de P(1, -2) respecto del punto H(3,0)
Solución
Si P´(x,y) es el simétrico de P (1, -2) respecto de H(3, 0) ; H es el punto medio de PP´
^
x 1 y
y
x P´(5,2)
5.- Hallar las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(1,2),
B(5, -1) y C(6, 3).
Solución
Debe de cumplirse : AB = DC ;
(5-1, -1-2) = (6-x, 3-y) x = 2 ; y = 6 D(2,6)
6.- Dar las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3, 4) y B(0, -2) en
dos partes tales que BP = 2PA
Solución
P(x,y) BP = 2PA (x-0, y+2) = 2(3-x, 4-y) x = 2 ; y = 2 P(2, 2)
7.- Determinar k para que los puntos A(-3, 5) , B(2, 1) y C( 6, k) estén alineados.
Solución
Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales AB = ( 5, -4) ; BC =(4, k-1) 1
k
k = 5
11.- Determinar c para que la distancia de la recta x – 3y + c = 0 al punto (6, 2) sea 10
Solución
d(P,r) = 10 10
c hay dos soluciones:
2
1
c
c
c
c
Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:
12.- Hallar el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a)
y x
y x
b)
x y
x y
c)
x t x s s y t y s
t
^ ^
^ ^
d)
y
x y
Solución
a) mr=2 ; ms = -3
tg
b) vector director de r = (5,3)
vector director de s (-6, 10)
cos =
vu
c) vector director de r v= (-1,2)
vector director de s w =(-3,1)
cos
d) = 63º 26´ 5,82´´
13.- ¿Qué ángulo forma la recta r: 3x – 2y + 6 = 0 con el eje de abscisas?
Solución
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo
que forma con el eje de abscisas, por tanto la
pendiente de r es 2
= tg ;º 18´35,8´´
14.- Hallar n para que la recta 3x + ny – 2 = 0 forme un ángulo de 60º con el eje OX
Solución
tg 60 = n
3 n = 3
15.- Hallar n y m para que las rectas r: mx – 2y + 5 = 0 s: nx + 6y – 8 = 0 sean perpendicu-
lares y que la recta r pasa por el punto P(1,4)
Solución
P(1,4) r m – 2·4 + 5 = 0 m = 3
r s (m,-2)·(n,6) = 0 n = 4
16.- Dada la recta r:
x t t y kt
^
hallar k de modo que r sea paralela a la bisectriz del
segundo cuadrante.
Solución
Ecuación de la bisectriz del 2º cuadrante: y = -x
y t
x t t
su vector de dirección es v(1,-1).
El vector de dirección de r es w(3,k)
para que sean paralelas, sus vectores de dirección han de ser proporcionales:
k
k = -
19.- Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo.
Comprobarlo con el cuadrilátero de vértices A(3, 8) ; B(5, 2) ; C(1, 0) ; D(-1, 6)
Solución
Punto medio de AB: P (4,5).
Punto medio de BC: Q(3,1).
Punto medio de CD: R(0,3).
Punto medio de DA: S(1, 7)
PQ= (-1, -4) = SR y
SP = (3, -2) = RQ
20.- Hallar el pie de la perpendicular (proyección ortogonal) trazada desde P(1, -2) a la recta
x 2 y 4 0.
Solución
Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r
Ecuación de s perpendicular a r desde P s: 2x + y = 0
P´= s r P´(
21.- Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son
rAB : x + 2y – 4 = 0,
rAC : x – 2y =0,
rBC : x + y = 0.
Hallar:
a) Los vértices del triángulo.
b) El vector que une los puntos medios de AB y AC. Comprueba que es paralelo a BC.
Solución
a) A:
x y
x y A(2, 1)
B:
x y
x y B(-4,4)
C:
x y
x y C(0,0)
b) El punto medio de AB: M( -1, 2
el punto medio de AC: P(1, 2
MP = (2, -2) paralelo a BC = (4, -4)
22.- Calcular el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
r: x = 3 s: 2x + 3y – 6 = 0 t: x – y – 7 = 0
Solución
A = r s A(3,0)
B = r t B (3, -4)
C = s (^) t (^) C( 5
Si consideramos como base el segmento |AB| = 4 , la altura desde C = d(C, r) = 5
Área = 5
26.- Los puntos P(-2,4) y Q(6,0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el
centro en el origen de coordenadas. Hallar:
a) Los otros dos vértices
b) Los ángulos del paralelogramo
Solución
a) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro (0,0)
luego
R( 2, -4) y S(-6, 0)
b) PQ = SR = (8. -4) ;
PS = QR = (-4, -4)
cos P =
PS PQ
PS PQ
P = 108º26´5,8´´ = R
De forma similar obtenemos:
S = 71º33´54´´ = Q
27.- Hallar un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas:
r: 4x + 3y + 6 = 0 s: 3x + 4y – 9 = 0
Solución
P(x,0) debe verificar: d(Pr) = d(P, s)
25
x x se obtienen dos
solucionesasociados a los dos valores del valorabsoluto
P 1 (-15,0)
P 2 (
28.- Los puntos A(1,-2) y B(2,3) son vértices de un triángulo de área 8. El vértice C está sobre
la recta 2x + y – 2 = 0. Hallarlo
Solución
Área = 2
AB b 8 = 2
26 b b = 26
y
b = d C r ( , (^) AB )
Recta rAB : 5x – y – 7 = 0 ; b = 26
5 x y 7
x y
x y hay dos soluciones: C 1
x y
x y C 1 ( 7
C 2 :
x y
x y C 2 (-1,4)
29.- Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r y s
r: 4x – 3y + 8 =0 s: 12x + 5y – 7 = 0
Solución
d(P, r) = d(P,s)
169
x y x y
x y x y
x y x y
^ ^ ^
x y
x y
Luego hay dos soluciones, bisectrices de los
ánguloscóncavo y
convexoqueformanlasrectas r y s.
Ambasbisectrices se cortan en el punto de
corte de lasrectas r y s, y son
perpendiculares.
