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Taller de Matemáticas 10- Abril 4 de 2020 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: Suma: En la suma de números enteros determinamos el signo y el valor absoluto del resultado así: *Si ambos sumandos tienen igual signo, se suman los valores absolutos de dichos números y al resultado se le antepone el signo común de los sumandos. Ejemplo: a) 5 + 3 = 8 b) (-6) + (-3) = - 9 Como tienen igual signo se coloca el signo que tiene y se suman los valores absolutos. *Si los sumandos tienen distinto signo; se determina el valor absoluto de ellos y se restan los valores absolutos y al resultado se le antepone el signo del número que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo: a) 3 + (-4) = -1. Es decir, se restan los valores absolutos de los números así: a 4 le resto 3 y da 1 y como el 4 es el número que tiene el mayor valor absoluto y su signo es menos (-) entonces coloco ese signo dando como resultado -1. b) (+21) + (-13) = 8 o (+8) Propiedades de la suma de números enteros: a) Propiedad Asociativa: Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a
- (b + c) son iguales. Ejemplo: [(-13) + (25)] + (32) = (12) + (32) = 44 (-13) + [(25) + (32)] = (-13) + (57) = 44 b) Propiedad Conmutativa: Dados dos números enteros a y b, su orden no altera el resultado. Ejemplo: 9 + (-17) = -8 y (-17) + 9 = - c) Elemento neutro: La suma de cualquier número entero con el cero, siempre da como resultado el número sumado. Ejemplo:
d) Elemento Opuesto o simétrico: Para cada número entero a, existe otro número entero - a, que sumado al primero da como resultado cero. Ejemplo: 12 + (-12) = 0 (-10) + 10 = 0 Resta: La resta es un caso particular de la suma. La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo. Ejemplo: a) (+12) – (-5) = c) (-7) – (+3) = 12 + 5 = 17 -7 – 3 = - b) (-6) – (-8) = d) (+3) – (+10) = (-6) + (8) = 2 (+3) + (-10)= - Multiplicación de números enteros: En la multiplicación de dos números enteros se determina el valor absoluto y el signo del resultado así: *El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. *El signo es “+” si los signos de los factores son iguales, y “ – “ si son diferentes; para recordar el signo del resultado, también se utiliza la ley de los signos. Ley de los signos: (+) × (+) = (+) (+) × (-) = (-) (-) × (+) = (-) (-) × (-) = (+) Ejemplo: (+5) × (+6) = 30 (+4) × (-3) = - (-6) × (+8) = -48 (-7) × (-9) = 63 Propiedades de la multiplicación: a) Propiedad Asociativa: Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales. Ejemplo: [(-5) × (+3)] × (+5) = (-15) × (+5) = - (-5) × [(+3) × (+5)] =
3, Es la base o sea el factor que se repite en la multiplicación. 2, Es el exponente, indica la cantidad de veces que se repite la base o factor. 9, Es la potencia indica el resultado de la multiplicación. Ejemplo: (-2)^5 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = - 32 Base Potencia Indicada Potencia b) (-7)^3 = (-7) (-7) * (-7) = -343 c) (+8)^2 = 8 * 8 = 64 Para determinar el signo de la potencia se debe tener encuenta: Si la base es positiva y el exponente es par o impar, la potencia es positiva. 54 = 555*5 = 625 (-6)^3 = (-6) * (-6) * (-6) = - *Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva. (-2)^4 = (-2) * (-2) * (-2) *(-2) = 16 (+3)^2 = (+3) * (+3) = 9 *Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa. (-4)^3 = (-4) * (-4) * (-4) = -64 (-6)^5 = (-6) * (-6) * (-6) * (-6) * (-6) = -7.
Propiedades de la potenciación de números enteros:
- Producto de potencias de igual base: Para multiplicar dos o más potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los exponentes. (- 3)^4 * (-3)^2 = (-3)4 + 2^ = (-3)^6 = 729 52 * 5^4 = 52+4^ = 5^6 = 15.
- Cociente de potencias de igual base: Para dividir dos potencias de igual base, se deja la base y se restan los exponentes. (-6)^4 ÷ (-6)^2 = (-6)4 – 2^ = (-6)^2 = 36 (-5)^7 ÷ (-5)^4 = (-5)^3 = -
- Potencia de una potencia: Para determinar el resultado de una potencia elevada a un exponente, se deja la base y se multiplican los exponentes. (-3^4 )^2 = (-3)4 * 2^ = (-3)^8 = 6.561 (8^2 )^3 = 82 * 3^ = 8^6 = 262.
- Potencia de un producto: El resultado del producto de dos enteros elevado a un exponente es el producto de las potencias de cada uno de los factores. ((-2) * 3)^2 = (-2)^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36 ((-4) * 3)^3 = (-4)^3 * 3^3 = (-64) * 27 = - 1728
- Potencia de un cociente: El resultado del cociente exacto de dos enteros elevados a un exponente es el cociente entre las potencias de los dos enteros.
(-8/4)^3 = (-8)^3 / (4)^3 = -512/64 = -8 (9/3)^2 = (9)^2 / (3)^2 = 81/9 = 9
Ejemplos: Resolver utilizando las propiedades de la potencia. a. (-5)^6 * (-5)^2 * (-5)^3 = (-5)6 + 2 + 3^ = (-5)^11 b. (2^3 )^2 * (2^4 ) * (2^4 )^6 2 3 * 2^ * 2^4 * 24 * 6^26 * 2^4 * 2^24 2 6 +^4 +^24 234 = 27 * (2^2 )^5 27 * 22 * 5^27 * 2^10 2 7 + 10^217 234 – 17 = 2^17 Nota: *Cualquier cantidad elevada al exponente cero es 1. Ejemplo: 5^0 = 1 (-6)^0 = 1 *Cualquier cantidad elevada al exponente 1 da la misma cantidad. Ejemplo: (-5)^1 = (-5) 41 = 4 (-9)^1 = (-9) *Uno elevado a cualquier cantidad es 1. 18 = 1 15 = 1 *Menos uno elevado a una cantidad impar es -1. (-1)^3 = -1 (-1)^7 = - *Menos uno elevado a una cantidad par es 1. (-1)^2 = 1 (-1)^4 = 1 *Cuando tenemos una potencia negativa se puede convertir en positiva así: 2 -3^ =
1/3-2^ = 3^2 3 -2^ ÷ 3-4^ = 3^4 ÷ 3^2 o 3 -2^ / 3-4^ = 3^4 / 3^2 = 3^2
Radicación de números enteros:
La radicación es la operación inversa de la potenciación, ya que permite encontrar la base cuando se conocen el exponente y la potencia. 2 √^16 = 4 recordemos: 2 es el índice del radical. 16 es la cantidad subradical. 4 es la raíz. Para hallar la raíz n-ésima de un número entero se debe tener en cuenta las siguientes reglas: *La raíz n-ésima de un número positivo es un número positivo. 3 √^729 = 9 ya que 9
√^64 = 8 *Si n es un número impar y a es un número negativo n √ a , entonces, la raíz es negativa. 5 √−^32 = -2 ya que (-2)
√−^27 = -3 ya que (-3)
*Si n es un número par y a es un número negativo, entonces (^) √ na no es entera o no pertenece a los números enteros.
1. Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los
opuestos y los valores absolutos de los siguientes números enteros:
2. Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los
siguientes números enteros:
3. Realizar las siguientes operaciones con números enteros:
a) (3 - 8) + [5 – (-2)] =
b) 5 – [6 – 2 – (1 – 8) -3 + 6] + 5 =
c) 9 ÷ [6 ÷ (-2)] =
d) [(-2)
5
]
2
e) (5 + 3 * 2 ÷ 6 – 4) * (4 ÷ 2 -3 + 6) ÷ (7 – 8 ÷ 2 – 2)
2
f) [(17 – 15)
3
2
] ÷ [(6 – 7) * (12 – 23)] =
g) (8 – 3 + 5) – (3 – 6) =
h) 1 – (6 - 4 + 3) – [6 – (7 – 4 + 2) – 3] =
i) -12 * 3 + 18 ÷ (-12 ÷ 6 + 8) =
4. Calcula, si existe:
a) (^) √(− 9 )² = b) (^) √(− 1 ) ⁷ =
c)
2 √(−^3 ) 2 ∗(− 3 ) = d) (^) √(− 3 ) ³ =
e)
5. Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:
a) (-2)
2
3
4
b) (-8) * (-2)
2
0
c) (-2)-2^ * (-2)^3 * (-2)^4 =
d) 2 -2^ * 2-3^ * 2^4 =
e) 23 ÷ 2^2 =
f) 44 ÷ 4^2 =
g) [(-2)-2]^3 * (-2)^3 *(-2)^4 =
h) [(-2)^6 ÷ (-2)³ ]³ * (-2) * (-2)-4^ =
i) 2
÷ 2
3
j) 2
2
÷ 2
k) 2
÷ 2
l) (-3)
1
3
4
m) (-27) * (-3) * (-3)^2 * (-3)^0 =
n) 3
4
o) 5
2
÷ 5
3
p) 5
÷ 5
3
q) 5
2
÷ 5
r) 5 -2^ ÷ 5-3^ =
s) (-3)^1 * [(-3)^3 ]^2 * (-3)-4^ =
t) [(-3)^6 ÷ (-3)^3 ]^3 * (-3)^0 * (-3)-4^ =
