Matemáticas I: Precálculo - Clase 1 a 3 de Pilar Cristóbal, Apuntes de Física

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Matemáticas I

Pilar Cristóbal

Curso 2015-

1. Matemáticas I. Precálculo

CLASE 1.-

1.1 Presentación

Profesor: Pilar Cristóbal (departamento de Matemáticas) del bloque 1. Del bloque 2, Juan Carlos Sanz.

Asignatura, grupo, curso, semestre: Matemáticas I (b), 2015-2016, primero.

Tutorías: Lunes y miércoles. Petición previa al profesor en clase (al finalizar ésta).

Temario

Cálculo infinitesimal en una variable

Se puede agrupar en dos grandes bloques: Cálculo Diferencial y Cálculo Integral

Véanse las diferentes secciones en la guía de aprendizaje de la asignatura

Algunas referencias básicas

Stewart James, ’Cálculo. Trascendentes tempranas’. Thomson, 4aed., 2002. En Cengage Learning, 7aed., 2012: una variable (vol. 1).

1.2 Ejercicios de control 7

1.2 Ejercicios de control

Ejercicio 1.- Geometría

8 Capítulo 1. Matemáticas I. Precálculo

Ejercicio 2.- Álgebra

10 Capítulo 1. Matemáticas I. Precálculo

CLASE 2.-

Corrección de ejercicios de álgebra: factorizar y simplificar, ecuaciones, potencias y raíces.

1.4 Números y desigualdades. Valor absoluto. Curvas de segundo grado

Estudiamos:

Valor absoluto. Se define como |x| =

  

x si, x ≥ 0 −x si, x < 0

|x| < a donde a es un número positivo. Distancia d(x, 0) = |x|, d(x, y) = |x − y|

Intervalos en la recta real.

Desigualdades. Algunas propiedades de números (tricotomía).

Rectas y semiplanos

Circunferencias y círculos

Elipses

Parábolas. Calcular su vértice

Hipérbolas. (Ejercicio para el estudiante)

Factorización de polinomios

Revisamos los apéndices A (valor absoluto, desigualdades), B (geometría, rectas), C (circunferencia, elipse, parábola, hipérbola) y D (trigonometría) del libro de Stewart.

1.4 Números y desigualdades. Valor absoluto. Curvas de segundo grado 11

Ejercicios propuestos para la clase del segundo día

A la próxima clase llevar hechos los ejercicios siguientes.

Ejercicio 4.- Funciones

1.5 Funciones 13

1.5 Funciones

CLASE 3.-

Corrección ejercicios de funciones: 2, 3, 4, 7.

Para f (x) = x^2 cociente de diferencias, pendiente de la recta secante

Dominios, desigualdades. Algunas propiedades de números: asociativa y conmutativa de suma y producto

Escala y traslación

Composición de funciones

1.5.1 Definición y ejemplos Definition 1.5.1 Una correspondencia f , f : A ⊂ R → R, que asigna a cada x ∈ A un único número f (x) ∈ R le llamamos función de una variable.

Llamaremos dominio matemático de f al conjunto de todos los x ∈ R para los que f (x) está bien definida.

Llamaremos dominio de f al conjunto A ⊂ R sobre el que definimos la función f.

Ejemplo 1.- f i : R → R donde

f 1 (x) = x n^ potencial entera

f 2 (x) = sen(x), f 3 (x) = cos(x), f 4 (x) = tan(x), funciones trigonométricas

f 5 (x) = e x^ función exponencial

f 6 (x) = ln(x) función logarítmica

f 7 (x) = sinh(x), f 8 (x) = cosh(x), funciones hiperbólicas

f 9 (x) = |x| función valor absoluto

f 10 (x) =

x = x^1 /^2.

Representación gráfica de la función valor absoluto.

Representación gráfica de la función logaritmo neperiano. Observation 1.5.1 Funciones simétricas. Funciones periódicas.

14 Capítulo 1. Matemáticas I. Precálculo

Propiedades del valor absoluto

1. |x| ≥ 0 , para todo x ∈ R |x| = 0 ⇔ x = 0
2. |x| < M ⇔ −M < x < M (M > 0 ) |x| ≤ M ⇔ −M ≤ x ≤ M (M > 0 )
3. |x + y| ≤ |x| + |y|
4. |xy| = |x||y|
5. Si y 6 = 0, entonces | xy | = || xy ||
6. | − x| = |x|
7. |x − y| = |y − x|
8. |x|^2 = x^2
9. |x| =

x^2

10. |x − y| ≤ |x| + |y|
11. ||x| − |y|| ≤ |x − y|
12. |x 1 + x 2 + · · · + x n | ≤ |x 1 | + |x 2 | + · · · + |x n |

Observation 1.5.2 El intervalo centrado en x 0 ∈ R y de longitud r un número real positivo se define: {x ∈ R | |x − x 0 | < r} = (x 0 − r, x 0 + r).

Velocidad promedio y velocidad instantánea. Llamamos una partícula en movimiento al límite de las velocidades promedio. Si una partícula se desplaza a lo largo de un eje (s) y su posición respecto el tiempo (t) viene dada por una curva s = s(t), entonces la velocidad promedio de la partícula entre los períodos t y t + h es s ( t + h h )− s ( t ). Observamos que geométricamente representa la pendiente de la recta secante a la curva posición que pasa por los puntos (t, s(t)) y (t + h, s(t + h)). La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t es l´ım h → 0 s ( t + h h )− s ( t ). Geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a la curva posición en el punto (t, s(t)).

Ejemplo 2.- Para s(t) = − 5 t^2 + 20t calcula la velocidad promedio entre t = 1 y t = 3. Calcula la velocidad instantánea en t = 1. ¿Cómo calcularías la aceleración instantánea para t = 1?

16 Capítulo 1. Matemáticas I. Precálculo

1.5.2 Ejercicios propuestos para la clase del tercer día

Problema 7.- Estudiar las propiedades del valor absoluto.

Problema 8.- Estudia para qué números reales se verifica la siguiente desigualdad:

a) 4 − x < 3 − 2 x b) x^2 − 5 |x| + 6 ≥ 0 c) |x − 2 | + |x − 1 | < 1.

Problema 9.- Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f (x) = √| x^1 |− x b) f (x) = (^) cos x −^1 sin x c) f (x) = arcsin (x^2 + 3x + 1) d) f (x) = ln

( (^) x (^2) − 3 x + | x +1|

) .

Problema 10.- Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:

a) f (x) = m´ax{x|x|, |x + 2|} b) f (x) = [x] c) f (x) = [sin x].

Nota: Se define la parte entera del número x como [x] = n si n ≤ x < n + 1, n ∈ Z (números enteros).

Problema 11.- Estudia la continuidad de (f ◦ g)(x) = f (g(x)) donde:

f (x) =

    

1 si x > 0 0 si x = 0 − 1 si x < 0

y g(x) =

  

0 si x ≤ 0 −x^2 si x > 0

Problema 12.- De la pág. 86 (sección 2.1) del libro de [Stewart] los ejercicios 5 y 6.

Problema 13.- Sea la función f (x) =

x. Calcula l´ım h → 0 f^ (3+ h h )− f^ (3). ¿Cuál es el valor de f ′(a) para a > 0? Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (4, 2).

Problema 14.- Representa gráficamente cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = |x − 1 | b) f (x) = x^1 /^3 c) f (x) = m´ax{x^2 , (^) 1+^1 x 2 }.

Señala a partir de la gráfica los puntos donde es continua y derivable. Halla las ecuaciones de las tangentes a sus gráficas en x = 5.

Problema 15.- Estudia en los puntos x = − 1 y x = 0 la derivabilidad de la función

f (x) =

    

−(2x + 1) si x ≤ − 1 x^2 si − 1 < x ≤ 0 sin x si x > 0