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TEMA 2
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1. CONCEPTOS BÁSICOS
1.1 Definición.- Una aplicación f:ARnRm^ diremos que es una función de n variables
reales. Si n=1, f es una función de variable real y si n>1, f es una función de variable
vectorial. Si m=1, f es una función real y si m>1, f es una función vectorial.
Una función real de variable vectorial también se denomina campo escalar.
Una función vectorial de variable vectorial también se denomina campo vectorial.
1.2 Definición.- Se denomina dominio de f, y se denota Dom(f) o Df, al conjunto de puntos
de R n donde la función está definida.
1.3 Definición.- Sea f:ARnRm. Se denomina imagen de f, y se denota f(A) o Im(f), al
conjunto
f(A) = { yRm^ / y = f(x), xA }.
1.4 Definición.- Sea la función f:ARn^ Rm
xA f(x) = (y 1 , …,ym)
se denomina i-ésima función coordenada de f, y se denota fi, i=1,…, m, a la función
fi :AR n R
xA fi(x) = yi
1.5 Nota .- Se denota f=(f 1 ,f 2 ,…,fm).
1.6 Nota.- Los vectores de R n se identifican con matrices columna de orden n:
n
2
1
1 2 n
x
x
x
x (x,x, x )
1.7 Definición.- Una función f:AR n R m es acotada si el conjunto f(A) es acotado.
1.8 Definición.- Sean f,g:AR n R m , h:AR n R y αR.
Se denomina suma de las funciones f y g, y se denota f+g, a la función definida por
f+g : ARn^ Rm
xA (f+g)(x) = f(x)+g(x)R m
Se denomina producto del número real α por la función f, y se denota αf, a función
definida por
αf : ARn^ Rm
xA (αf)(x) = αf(x)Rm
Se denomina producto de las funciones h y f, y se denota hf, a la función definida por
hf : AR n R m
xA (hf)(x) = h(x)f(x)R m
Si h(x)≠0 xA, se denomina cociente de las funciones f y h, y se denota f/h, a la función
definida por
f/h : ARn^ Rm
xA (f/h)(x) = f(x)/h(x)Rm
1.9 Definición.- Sean f:AR n R m y g:CR m R p tales que f(A)C. Se denomina
composición de las funciones f y g, y se denota gf, a la función definida por
gf:AR n R p
xA (gf)(x) = g(f(x))R p
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES.
CURVAS DE NIVEL
2.1 Definición.- Sea f:ARnR. Se denomina grafo o gráfica de f, y se denota gr(f), al
conjunto
gr(f) = { (x,y)R n+ / xA, y=f(x) } = { (x,y)AR / y=f(x) }.
2.2 Definición.- Sea f:AR n R. Se denomina conjunto de nivel R, y se denota C(f),
al conjunto
C(f) = { xR n / xA, f(x)= } = { xA / f(x)= }.
Si n=2 el conjunto de nivel C(f) se llama curva de nivel .
3.8 Teorema.- Una función f:AR n R m tiene límite l = ( l 1 , l 2 ,…, l m)R m en el punto aA′
si y solo si la i-ésima función coordenada de f, fi:AR n R, tiene límite l i en a i=1,…,m.
3.9 Teorema.- Sean f,g:ARnR y aA´. Si x a
lim
f(x)=0 y g es acotada en A, entonces
x a
lim
(fg)(x) = 0.
4. CONTINUIDAD
4.1 Definición.- Sean f:AR n R m y aA. Diremos que f es continua en el punto aA si
>0 >0 tal que xB(a,)A f(x)B(f(a),).
4.2 Nota.- De forma equivalente, podemos decir que f es continua en el punto a si
>0 >0 / xA, d(x,a)< d(f(x),f(a))<.
4.3 Nota.- i) Si aAis(A), entonces f es continua en a.
ii) aA′, entonces f es continua en a si y solo silímf(x) f(a) x a
4.4 Teorema.- Una función f:ARnRm^ es continua en el punto aA si y solo si la i-
ésima función coordenada de f, fi:ARnR, es continua en a, i=1,…,m.
4.5 Definición.- Una función f:ARnRm^ es continua en el conjunto A si es continua en
todos los puntos de A.
4.6 Teorema.- Sean f,g:ARnRm, h:ARnR continuas en el punto aA. Entonces, son
continuas en a las funciones f+g, f (R), hf y f/h si h(a)0.
4.7 Teorema.- Sean f:ARnRm^ continua en aA, y g:CRmRp^ continua en f(a)C.
Entonces, la función compuesta gof es continua en a.
4.8 Teorema de conservación del signo.- Si f:AR n R es continua en aA y f(a) 0 ,
entonces r 0 tal que sign(f(x))= sign(f(a)), xB(a,r)A.
4.9 Teorema de Weierstrass.- Sea A compacto. Si f:ARnR es continua en A, entonces
x,yA tales que f(x)=mín f(A), f(y)=máx f(A).
5. FUNCIONES LINEALES
5.1 Definición.- Sean aR m y M una matriz de orden mn. La función
f: R n R m
xRn^ f(x) = a + Mx
se denomina función lineal.
6. FORMAS CUADRÁTICAS. CLASIFICACIÓN
6.1 Definición.- Una f orma cuadrática en R n es una función Q: R n R, definida por
Q(x) = xt^ A x,
donde A es una matriz simétrica de orden n.
6.2 Observación.- Si A=(aij)Mn es la matriz simétrica que define la forma cuadrática Q y
x=(x 1 ,…,xn), entonces
Q(x) =
n
i 1
n
j 1
aij xixj=
n
ij
i,j 1
ij i j
n
i 1
2
aii xi 2 axx =
n
i 1
n
ji 1
ij i j
n
i 1
2 aii xi 2 axx.
6.3 Definición.- ( Clasificación de las formas cuadráticas ) Sea Q una forma cuadrática. Se
dice que Q es
a) definida positiva (DP) si Q(x)>0 xRn, x0.
b) definida negativa (DN) si Q(x)<0 xRn, x0.
c) semidefinida positiva (SDP) si Q(x) 0 xR n ; yR n , y0 / Q(y)=0.
d) semidefinida negativa (SDN) si Q(x) 0 xR n ; yR n , y0 / Q(y)=0.
e) indefinida si x,yR n / Q(x)·Q(y)<0.
6.4 Definición.- Sea A=(aij) una matriz cuadrada de orden n. Los menores principales de
A son los determinantes
k =
k 1 k 2 kk
21 22 2 k
11 12 1 k
a a a
a a a
a a a
(k=1,2,…,n).
7.3 Nota.- Para clasificar la forma cuadrática Q restringida a L obsérvese que:
i) Si la forma cuadrática Q es definida positiva (negativa), entonces tiene el mismo signo
si la restringimos a L.
ii) Si la forma cuadrática Q es semidefinida positiva (negativa), entonces la forma
restringida puede ser definida positiva (negativa) o semidefinida positiva (negativa).
iii)Si la forma cuadrática es indefinida, entonces la forma restringida puede ser de
cualquier tipo.
7.4 Nota.- Si la forma cuadrática Q no es definida positiva ni definida negativa y queremos
estudiar la forma restringida, el problema se puede transformar en estudiar una forma
cuadrática sin restricciones sobre R n-m, que se obtiene despejando m de las n incógnitas del
sistema Bx = 0 y sustituyéndolas en Q(x) = x t A x.
7.5 Teorema.- Sean AMn una matriz cuadrada simétrica de orden n, y BMmn, m<n,
con rg(B)=m. Sean k, k=1,…,m+n los menores principales de la matriz A orlada con B:
B A
B
O (^) t
1 n mn n 1 nn
11 m 1 11 1 n
m 1 mn
11 1 n
b b a a
b b a a
0 0 b b
0 0 b b
La forma cuadrática Q(x)=xTAx restringida por Bx=0 es
i) definida positiva si (1) m 2 m+k>0, k=1,…,nm,
ii) definida negativa si (1)m+k2m+k>0, k=1,…,nm.
7.6 Nota.- Las condiciones anteriores también pueden expresarse diciendo que la forma
cuadrática Q(x)=x T Ax restringida por Bx=0 es
i) definida positiva si los últimos nm menores principales de la matriz A orlada con B
tienen el signo de (1) m ,
ii) definida negativa si los últimos nm menores principales de la matriz A orlada con B
alternan el signo comenzando por el signo de (1) m+ para el menor principal a evaluar de
menor orden (2m+1).
7.7 Nota.- Condición necesaria para que la forma cuadrática Q(x)=x T Ax restringida por
Bx=0 sea semidefinida (positiva o negativa) es que el determinante de la matriz A orlada con
B sea cero; esto es, det(O)=0.
7.8 Teorema.- Sean AMn una matriz cuadrada simétrica de orden n, y BMmn, m<n, tal
que el rango de las m primeras columnas de B es m. Sean k, k=1,…,m+n los menores
principales de la matriz A orlada con B:
B A
B
O (^) t
1 n mn n 1 nn
11 m 1 11 1 n
m 1 mn
11 1 n
b b a a
b b a a
0 0 b b
0 0 b b
La forma cuadrática Q(x)=x T Ax restringida por Bx=0 es
i) definida positiva si y solo si (1) m 2m+k>0, k=1,…,nm,
ii) definida negativa si y solo si (1)m+k2m+k>0, k=1,…,nm.
