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Límites y Continuidad
Esta sección trata de límites y continuidad de funciones de múltiples variables. La definición de límite de una función de dos o 3 variables es similar a la definición del límite de una función de una sola variable.
Límite:
Si los valores de ( ) se encuentran arbitrariamente cercanos a un numero real fijo para todos los puntos ( ) suficientemente próximos a ( ), decimos que tiende al limite cuando ( ) tiende a ( ). Esta es similar a la definición informal para el límite de una función de una sola variable. Sin embargo, note que si ( ) se encuentra en el interior del dominio (^ )^ puede tender a (^ )^ desde cualquier dirección. Por lo que la dirección de acercamiento debe entonces considerarse, como en los ejemplos que se verán en esta sección.
Limite de una función de 2 variables.
Decimos que una función ( ) se acerca al límite como ( ) se acerca a ( ), se escribe:
( )
Si todo numero >0, aquí existe un número correspondiente tal esto para todo
( ) en el dominio de
( ) < siempre que 0 < <
La definición de limite dice que la distancia entre ( ) y inicia arbitrariamente pequeña siempre que la distancia desde ( ) a ( ) sea suficientemente pequeña (pero no 0).
La definición de limite se aplica a puntos divisorios (^ )^ así como puntos interiores del dominio de. Lo único que se requiere es que el punto (^ )^ permanezca en el dominio todo el tiempo. Puede ser mostrado así, por las funciones de una sola variable, que:
Por ejemplo, en el primer limite (^ )^ y. Usando la definición de límite, supone que > 0 es seleccionado. Si tenemos a igual a este , vemos que:
Se selecciona
0 < ( ) < ( )< ( ) – <
Esto es,
( ) – < siempre que 0 < √( ) ( ) <
( ), pueden calcularse evaluando las funciones en ( ). El único requisito es que las funciones estén definidas en ( ).
Continuidad
Igual que las funciones de una sola variable, la continuidad se define en términos de límites.
Definiciones
Una función ( ) es continua en el punto ( ) si:
1.- esta definida en ( )
2.- (^) ( ) ( ) ( ) existe,
Una función es continua si es continua en todo punto de su dominio.
Igual que con la definición de limite, la definición de continuidad se aplica a puntos frontera, así como a puntos interiores del domino de. El único requisito es que el punto ( ) permanezca en el dominio todo el tiempo.
Una de las consecuencias del teorema 1 es que las combinaciones algebraicas de funciones continuas son continuas en todo punto en que todas las funciones implicadas estén definidas. Esto significa que sumas, diferencias, productos, cocientes, múltiplos constantes y potencias de funciones continuas son continuas donde estén definidas. En particular, los polinomios y las funciones racionales de dos variables son continuas en todo punto en que estén definidas.
Si ( ) es una función continua de y , y ( ) es una función continua de , entonces la composición ( ( )) es continua. Así:
Son continuas en todo punto (^ ).
Igual que con las funciones de una sola variable, la regla general es que las composiciones de funciones continuas son continuas. El único requisito es que cada una de las funciones sea continua donde esté aplicada.
Funciones de más de 2 variables
La definición de limite y continuidad para funciones de2 variables y la conclusión acerca de limites y continuidad para sumas, productos, cocientes y potencias y todas las composiciones que se extienden para las funciones de 3 o mas variables. Funciones como:
( ) y
Son continuas sobres sus dominios y límites como:
Donde denota el punto ( ), pueden encontrase por sustitución directa.
Ejercicios:
= (( )^ ( )^ )
= (^ ( )^ ( )^ )
= √( )( )^ √
= ( )( )^ ( )
= ( )(^ )^ ( ) (^ ( ))
