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Solucionario del libro del alumno
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Solucionario
b) Si a las pizzas medianas añadimos otro tipo de masa, como hay 4 ingredientes posibles para cada masa, el número de combinaciones aumenta hasta 28 posibles. c) P(pequeña con piña)= 2/24 =1/12 ya que se da una situación d’equiprobabilidad y de entre las 24 combi- naciones, sólo dos son posibles (con masa fina o con masa clásica). d) Pueden escoger entre 6 combinaciones: JC, JA, JP, CA, CP, AP. (los ingredientes no pueden ser el mismo y además no importa el orden en que los coloquemos)
e) P(aceitunas)= 3/6= ½ P(aceitunas y champiñones)= 1/ f) Si elimina un tamaño, elimina en total 8 opciones (la tercera parte de la variedad de pizzas). Si elimina una masa, cómo sólo hay dos tipos, elimina la mitad de las pizzas; y si elimina un ingrediente, cómo hay 4, elimina 6 opciones, es decir, la cuarta parte de las pizzas. En conclusión, si quiere suprimir el máximo de combina- ciones posible eliminando una opción, le recomendaría que eliminase un tipo de masa.
1. Números reales
ACTIVIDADES
- Naturales Racionales Enteros Racionales Enteros Racionales
- Por ejemplo: a) 2 b) 5 c) 5/
- Decimal limitado Periódico mixto Decimal limitado Periódico mixto Exacto Periódico puro Periódico puro
- 17/5 9/4 7 4 423/1 000
- 16/3 223/99 99 682/
- 193/30 11 141/990 124 107/9 990
- a) Falso. 3 − 4 = −1 no es natural. b) Falso. 6 : 7 no es entero. c) Cierto. d) Falso. no es irracional. e) Cierto. f) Cierto. g) Falso. no es irracional.
- Respuesta abierta.
Primero representamos 3 y, luego, se trans porta con un compás a la parte negativa de la recta.
Primero representamos 5 y luego, con ayuda del com- pás, tomaremos el doble de esta lon gitud.
1
1
1
0
0
0
2
2
2
3
3
3
1
1
2
–2 –1 0 1 2 23
0 1 2 3 4 5 2 5
5
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— Otra forma de hacerlo sería introducir el factor 2 en la raíz, con lo que obtendríamos 20 , y representar este valor.
Primero representamos 6 y luego, con ayuda del com- pás, trasladamos esta longitud tres veces hacia la parte negativa de la recta.
— Otra forma de representar ^3 6 sería la siguiente. Partimos de 3 6 e introducimos el factor en la raíz, con lo que obtenemos 54. Representamos este va- lor y, con ayuda del compás, lo trasladamos a la parte negativa de la recta.
- a)^ ^3 <^ ^
b) < 3,
c) < 11
En un intervalo abierto ninguno de los extremos perte- nece al intervalo, mientras que en uno semi abierto uno de los extremos sí pertenece al intervalo.
(−8, −2)
[7, +∞)
a)
b)
c)
d)
0 1 2 3 4
2
2 5
5 6
1 3,
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
Representación Intervalo
–1 0 3
a b
a b
b
a
[−1, 3]
[−3,3)
(−4,1]
[2, ∞)
[–3, 2]
(–3, 2)
[–3, 2)
(–3, 2] –3 0 2
–3 0 2
–3 0 2
–3 0 2
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
a
a
b
–3 –2 –1 0 1 2 3
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- Puesto que la cantidad más pequeña que puede apreciar la cinta métrica es de 1 cm, el error máximo cometido en cada medición será de 0,01 m. Al efectuar cuatro mediciones, una cota del error ab- soluto cometido es 0,04 m. El perímetro medirá entre 17,43 m y 17,51 m, aproximadamente 17,47 m.
- a) Hasta los milímetros.
b) La medida de la arista estará comprendida entre 0,313 m y 0,315 m. Área lateral = 4a 2 4 · 0,313 2 < 4 · 0,3142 < 4 · 0,315 2 0,391876 < 0,394384 < 0, Área lateral = 0,39 m 2 Volumen = a 3 0,313 3 < 0,3143 < 0,315 3 0,030664297 < 0,030959144 < 0, Volumen = 0,031 m 3
- La diagonal del cuadrado mide el doble que el radio de la circunferencia grande, 2 cm. Calculamos el lado del cuadrado aplicando el teore ma de Pitágoras.
d 2 = I 2 + I 2 ; d 2 = 2 I 2 ; I = d 2 2
l = 1,414213562... Para calcular la longitud de la circunferencia peque- ña debemos multiplicar este resultado por . Si tomamos 2 como 1,41 y como 3,14, te- nemos: 1,41 < 2 < 1, 3,14 < < 3, 1,41 · 3,14 < 2 · < 1,42 · 3, 4,4274 < · < 4, Así, la longitud de la circunferencia es l = 4,4 cm con una cota de error absoluto de 1 mm.
- a) –6; b)
- 1,2020020002... y 0,35241030030...
- a) Racional; b) irracional; c) racional; d) racional; e) irracional; f) irracional.
- Son irracionales los radicales a), c) y d).
- Los apartados a), c) y e).
- a) x^ =^ −2, 100 x = − 245
x = −
b) x^ =^ −33,565 100 x = −3356, − x = −33, 99 x = − 3323
x = −
c) Es un número irracional y no tiene fracción generatriz. d) Calculamos la fracción generatriz de. x = 1 ,
10 x = 13, − x = 1 , 9 x = 12
x =
Calculamos la fracción generatriz de 0,
x = 0,
1000 x = 856, − 100 x = 85, 900 x = 771
x =
Para calcular la fracción generatriz de 1 ,
sumamos: 4 3
- Por ejemplo: 10 , y 12.
- a) Falsa. 3 y 4 son dos números enteros comprendidos entre 5 y 17. b) Cierta. c) Falsa. Los números decimales ilimitados no periódi- cos no son números racionales. d) Cierta.
Utilizamos el teorema de Pitágoras. c 2 + c 2 = 4 2 ⇒ 2 c 2 = 16
c 2 =
= 8 ⇒ c = 8 El lado del cuadrado mide 8 cm. El número 8 es irracional por tratarse de una raíz cua- drada no entera.
c^ 4 cm
c
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Solucionario
- h^2 = l 2 −
^
= l 2 − l 2 4
3 l 2 4
h = 3 l 2 4
l
La altura de un triángulo equilátero de lado l mide
l.
En cualquier triángulo equilátero la altura es 3 2
veces
la longitud del lado, ya que se obtiene multiplicando 3 por el lado.^2
Primero representamos el número 1 + 5. A continua- ción, trazamos la mediatriz del segmento entre 0 y 1 + 5 para representar el número de oro.
Hallamos la longitud de la hipotenusa del triángulo rec- tángulo cuyos catetos miden 5 y 3: h^2 = 52 + 3 2 = 25 + 9 = 34 ⇒ h = 34 El punto P corresponde a la representación sobre la rec- ta del número 34 ya que se obtiene al trasladar sobre la recta un segmento de longitud 34. Hallamos la longitud de la hipotenusa del triángulo rec- tángulo cuyos catetos miden 34 y 1. h ′ 2 = ( 34 ) 2 + 12 = 34 + 1 = 35 h ′ = 35 El punto Q corresponde a la representación sobre la rec- ta del número 35 , ya que se obtiene al trasladar sobre la recta un segmento de longitud 35.
a) Para que el resultado sea 2.
2,2 + n 3
n 3
= −0,2 ⇒ n = −0,6 = −
b) Para que el resultado sea −2.
πn + 3 = − 2 ⇒ πn = − 5 ⇒ n = −
π c) Para que el resultado sea 1.
2 + n 3
n 3 = − 2 + 5 ⇒ n = − 3 2 + 15
d) Para que el resultado sea 2 ·^ (3^ +^ π) π
3 n π
2 · (3 + π) π
3 n π
π ⇒ n = 2
e) Para que el resultado sea 10.
5 · n + 3 3 27 = 10 ⇒ n + 3 3 = 2 27 ⇒ n = 3 3
–1 0 1 2 3 4 5
2 8
–1 0 1 2 3 4 5
1 10
–1 0 1 2 3 4 5
2 13
2 2,1^ 2,2^ 2,3^ 2,4^ 2,5^ 2,6^ 2,7^ 2,8^ 2,9^3
–1 0 1 2 3 4 5
11 2
–5 –4 –3 –2 –1 0 1
3
–1 0 1 2 3 4 5
4
18 2
–2 –1 0 1 2 3 4
1+ 5 5
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Solucionario
- a) 1, b) –1, c) 43, d) 1,
- a) (^) 2,828 ≤ 8 ≤ 2,829 y 3,605 ≤ 13 ≤ 3, 2,828 + 3,605 ≤ 8 + 13 ≤ 2,829 + 3, 6,433 ≤ 8 + 13 ≤ 6,
b) 2,718 ≤ ε ≤ 2,719 y 2,236 ≤ 5 ≤ 2, 2,718 ⋅ 2,236 ≤ e ⋅ 5 ≤ 2,719 ⋅ 2, 6,077448 ≤ e ⋅ 5 ≤ 6,
c) 1 ,414 ≤ 2 ≤ 1 ,415, 2,645 ≤ 7 ≤ 2,646 y 3,316 ≤ 11 ≤ 3, 1 ,414 ⋅ 2,645 ≤ 2 ⋅ 7 ≤ 1 ,415 ⋅ 2, 3,74003 ≤ 2 ⋅ 7 ≤ 3, 3,74003 + 3,316 ≤ 2 ⋅ 7 + 11 ≤ 3,74409 + 3, 7,05603 ≤ 2 ⋅ 7 + 11 ≤ 7,
- El redondeo hasta las milésimas es 7 =^ 2,646. Tene- mos que 2,645751311... − 2,646 0,00025. Por tanto, una cota del error absoluto es 0,001.
- a) (^) 2,828 ≤ 8 ≤ 2,829 y 3,605 ≤ 13 ≤ 3, Así, tenemos que: 2,828 + 3,605 ≤ 8 + 13 ≤ 2,829 + 3, 6,433 ≤ 8 + 13 ≤ 6, b) 2,718 ≤ ε ≤ 2,719 y 2,236 ≤ 5 ≤ 2, Así, tenemos que: 2,718 ⋅ 2,236 ≤ ε ⋅ 5 ≤ 2,719 ⋅ 2, 6,077448 ≤ ε ⋅ 5 ≤ 6, c) 1 ,414 ≤ 2 ≤ 1 ,415, 2,645 ≤ 7 ≤ 2,646 y 3,316 ≤ 11 ≤ 3,
2,645 ≤ 7 ≤ 2,646 y 3,316 ≤ 11 ≤ 3,
Así, tenemos que: 1 ,414 ⋅ 2,645 ≤ 2 ⋅ 7 ≤ 1 ,415 ⋅ 2, 3,74003 ≤ 2 ⋅ 7 ≤ 3, 3,74003 + 3,316 ≤ 2 ⋅ 7 + 11 ≤ 3,74409 + 3, 7,05603 ≤ 2 ⋅ 7 + 11 ≤ 7,
- a) 1 ,73 ≤ 3 ≤ 1 , 2,23 ≤ 5 ≤ 2, 3,96 ≤ 3 + 5 ≤ 3, b) 1 ,41≤ 2 ≤ 1 , 3,14 ≤ π ≤ 3, 6,55 ≤ 2 + 2 + π ≤ 6,
c) 2,44^ ≤^6 ≤^ 2, 3,14 ≤ π ≤ 3, 8,72 ≤ 2 π + 6 ≤ 8, d) 7 π + 2 4 3 = 7 π + 4 3 2,64 ≤ 3 ≤ 2, 3,14 ≤ π ≤ 3, 1 ,73 ≤ 3 ≤ 1 , 15,2096 ≤ 7 π + 2 4 3 ≤ 15,
- Respuesta abierta.
- (^) 2,64 ≤ 7 ≤ 2,65, 4,58 ≤ 21 ≤ 4,59 y 1,73 ≤ 3 ≤ 1 ,74.
Tenemos que el área del trapecio es A =
Por tanto, tenemos: 2,64 + 4,58 ≤ 7 + 21 ≤ 2,65 + 4, 7,22 ≤ 7 + 21 ≤ 7,
3,61≤
3,61⋅ 1 ,73 ≤ 7 +^21
Así, el área del trapecio es aproximada es 6,2 cm 2. El valor exacto estará en el intervalo 6,2^ ±^ 0,1 cm^2.
- Error absoluto = 40 – 38 = 2 Error relativo =
El porcentaje de error relativo cometido es 5 %.
- Primero Marina tiene que calcular el área de la cortina: 2,23 5 2,24 y 4,47 20 4, 2,23 4,47 5 20 2,24 4, 9,9681 5 20 10, Así, Marina tiene que comprar al menos 10,0352 metros de tela para su cortina. Marina tiene tres opciones: t5JQP"$BEBNFUSPEFUFMBUJFOF N^2 de área. Así, ella tiene que comprar 8 metros de tela (1,4 · 8 = 11,2 m^2 ). Por tanto ella pagaría 6,99 · 8 = 55,92 €; t5JQP#$BEBNFUSPEFUFMBUJFOF N^2 de área. Así, ella tiene que comprar 7 metros de tela (1,45 · 7 = 10,15 m^2 ). Por tanto ella pagaría 9,99 · 7 = 69,93 €; t5JQP$$BEBNFUSPEFUFMBUJFOF N^2 de área. Así, ella tiene que comprar 7 metros de tela (1,5 · 7 = 10,5 m^2 ). Por tanto ella pagaría 7,99 · 7 = 55,93 €; Por tanto, la mejor solución será Marina comprar la tela Tipo A.
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- En un pentágono regular la relación entre la longitud de una de las diagonales y el lado del pentágono es el número de oro ():
Φ =
d I
I
⇒ I =
= 12 m
El lado del pentágono mide 12 m. P = 12 · 5 = 60 El perímetro del pentágono mide 60 m.
- Según la fórmula:
Error (%) = Error absoluto Valor exacto
El error relativo será mayor cuanto más pequeño sea el número. Así, del intervalo [5, 100], el 5 tendrá el error relativo más grande. Para encontrar el número mínimo de decimales proba- mos con diferente cantidad de decimales:
E 1 =
E 2 =
E 3 =
Tenemos que tomar un mínimo de tres decimales.
- Si el radio de la circunferencia mide 0,50 mm, significa que su valor se sitúa entre 0,49 mm y 0,51 mm. Si no consideramos el error de , tenemos que el área está comprendida entre: 2 · · 0,49 mm < L < 2 · · 0,51 mm 3,07876... < L < 3,20442... Por tanto la longitud será de 3 mm y no podemos aproximarla más.
- Calculamos la diagonal de la base de un ortoedro de 40 cm de arista.
d = 40 2 + 40 2 = 3200 = 56,57 ∅ A 56,57 cm < 67 cm Calculamos la diagonal del ortoedro.
D = 3200 + 40 2 = 4800 = 69,28 ∅ A 69,28 cm > 67 cm Podrá empaquetar la flauta situándola diagonalmente en el interior del paquete postal.
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
- a) Tenemos que (^) 3,4641≤ 12 ≤ 3,4642 y 7,0710 ≤ 50 ≤ 7,. Así, 3,4641+ 7,0710 ≤ 12 + 50 ≤ 3,4642 + 7, 10,5351≤ 12 + 50 ≤ 10, Por tanto, el lado mayor mide 12 +^50 ^ 10, hectómetros. b) Tenemos que
El área es 42,14hm 2 0,4214km 2. c) Por el Teorema de Pitágoras tenemos que
h^2 = 4 2 + ( 12 )
2 → h^2 = 16 + 12 → h^2 = 28 → h = 28 Redondeando hasta las milésimas 28 5, hectómetros. d) Tenemos que (^2) ⋅ 5,2915 ≤ 2 28 ≤ 2 ⋅ 5,2916, esto es, 10,583 ≤ 2 28 ≤ 10, También tenemos que
Así,
Por tanto el perímetro del terreno es aproximadamen- te 31,653 hm = 3 165,3 m. Javier debe comprar al menos 3 166 metros de cerca- do. e) Tenemos que 3 166/250 = 12,664. Por tanto Javier debe comprar 13 bobinas. f) Javier va a gastar 13 · 18 = 234 euros.
- a) 1,96 m. b) 1 ,95702 − 1 ,96 = −0,00298 = 0,.
c) error relativo =
d) El tanque tiene un volumen de agua V = 3,5 · 3 · 1,96 = 20,58 m 3. e) Tenemos que el volumen con la altura exacta es igual a V = 3,5 · 3 · 1,95702 = 20,54871 m 3. Tenemos que el volumen con la altura exacta es igual a: 20,54871− 20,58 = −0,03129 = 0, Por tanto, una cota del error absoluto es 0,04.
