Matematicas orientada a, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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3º ESO

UNIDAD 1: Números Reales

SOLUCIONARIO

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS

4 º ESO

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

UNIDAD 1 : Funciones

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 9

1. De las siguientes expresiones indica las que son ciertas y las que son falsas. Justifica tus respuestas.

a)

Verdadero. El conjunto ℤcontiene a los números enteros positivos (ℕ), negativos y el cero.

b) ℤ ⊂ 𝕀

Falso. Los números irracionales (𝕀) está integrado por todos los números que tiene infinitas cifras decimales

y no se repite ninguna. Este no es el caso de los números enteros.

c) ℚ ℤ

Falso. Los números enteros son los que están incluidos dentro de los números racionales. Cualquier número

entero se puede escribir en forma de fracción. Por ejemplo

d) ℕ ℚ

Verdadero. El conjunto ℚcontiene a todas las fracciones y los números naturales (ℕ) se pueden escribir en

forma de fracción. Por ejemplo:.

e) −𝟑 𝛜 𝕀

Falso. Los números irracionales (𝕀) está integrado por todos los números que tiene infinitas cifras decimales

y no se repite ninguna. Este no es el caso del número – 3. El conjunto más pequeño al que pertenece – 3 es

el de los números enteros (ℤ).

f) ℚ

Verdadero. Este número es periódico puro y se puede escribir como una fracción:

g) ℕ

Verdadero. Si simplificamos la fracción nos queda que es un número natural.

h) ℚ

Verdadero. Si operamos nos queda que es un número entero que está contenido en los

números racionales.

1. Calcula la expresión decimal de los siguientes números racionales. Clasifícalos como decimal exacto,

decimal periódico puro o decimal exacto.

a). Al dividir 2 entre 3 obtenemos 0,66666…. que es un número periódico puro.

b) que es un número decimal exacto.

c) que es un número decimal periódico mixto.

d) que es un número decimal periódico puro.

Ì!

Ì

Ì

7,1 Î

Î

- 9 Î

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

Como la segunda solución es negativa y x es la medida de un segmento tenemos que el valor del número

de oro es :

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 11

1. Calcula, con ayuda de una calculadora, una aproximación de los siguientes números por truncamiento

y por redondeo a las décimas, a las centésimas y a las milésimas:

a) b) c) d)

Truncamiento:

Décimas Centésimas Milésimas

Redondeo:

Décimas Centésimas Milésimas

1. Comprueba con una calculadora que A partir de aquí expresa por:

Una sucesión de números decimales por defecto. Una sucesión de números decimales por exceso. Una

sucesión de intervalos encajados.

Una sucesión de números decimales por defecto que se aproximan a por la izquierda: 1; 1,7; 1,73;

Una sucesión de números decimales por exceso que se aproximan a por la derecha: 2; 1,8; 1,74; 1,733;

Una sucesión de intervalos encajados que :

x =

2 − 4 ⋅ 1 ⋅#− 1 %

x 1

x 2

φ =

3 = 1 ,25992104989...

3

3

( 1 , 2 ), ( 1 , 7 ; 1 , 8 ), ( 1 , 73 ; 1 , 74 ), ( 1 , 732 ; 1 , 733 ), ( 1 , 7320 ; 1 , 7321 ), ( 1 , 73205 ; 1 , 73206 ), ...

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

1. Calcula el error absoluto y relativo cometido en el ejercicio 6 en el caso de redondeo a las centésimas

de cada apartado.

a)

La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

b)

La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

c)

La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

d)

La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

V

aprox

E

a

E

r

100 ⋅ E

r

aprox

V =

E

a

E

r

100 ⋅ E

r

V

aprox

E

a

E

r

100 ⋅ E

r

3 = 1 ,25992104989...

V

aprox

E

a

3 − 1 , 26 = 0 ,00007895...

E

r

3

100 ⋅ E

r

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

d)

Se divide el intervalo [3,4] en 6 partes iguales y se coge 1. Como el número es positivo contamos de izquierda

a derecha.

1. Representa los siguientes números irracionales en la recta real utilizando una sucesión de intervalos

encajados adecuada. Aproxima hasta las centésimas.

a) 1,23456…

La sucesión de intervalos encajados es

La representación gráfica será:

b)

La sucesión de intervalos encajados es

La representación gráfica será:

( 1 , 2 ), ( 1 , 2 ; 1 , 3 ), ( 1 , 23 ; 1 , 24 ), ( 1 , 234 ; 1 , 235 ), ...

− 2 π = − 6 ,2831853...

(− 7 ,− 6 ), (− 6 , 3 ; − 6 , 2 ), (− 6 , 29 ; − 6 , 28 ), (− 6 , 284 ; − 6 , 283 ), ...

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

c) 3,1020030004…

La sucesión de intervalos encajados es

La representación gráfica será:

d)

La sucesión de intervalos encajados es

La representación gráfica será:

1. Representa de forma exacta las siguientes raíces cuadradas en la recta real.

a)

Paso 1

Descomponemos el radicando como producto de dos factores. 5= 5 ·1.Construimos la base de un triángulo

rectángulo de longitud 5 + 1 = 6. El 0 marca las unidades a la derecha ( 5 ) e izquierda ( 1 ) del mismo.

Trazamos la perpendicular por el punto 0.

( 3 , 4 ), ( 3 , 1 ; 3 , 2 ), ( 3 , 10 ; 3 , 11 ), ( 3 , 102 ; 3 , 103 ), ...

(− 4 ,− 3 ), (− 3 , 2 ; − 3 , 1 ), (− 3 , 17 ; − 3 , 16 ), (− 3 , 163 ; − 3 , 162 ), ...

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

Trazamos la semicircunferencia de radio y centro el punto medio del segmento. El corte con la

recta perpendicular es el tercer vértice del triángulo.

Construimos el triángulo. La altura correspondiente a la base mide exactamente. Con ayuda de un

compás proyectamos la medida sobre la parte positiva de la recta real.

d)

Descomponemos el radicando como producto de dos factores. 8= 4 · 2 .Construimos la base de un triángulo

rectángulo de longitud 4 + 2 =4. El 0 marca las unidades a la derecha ( 4 ) e izquierda ( 2 ) del mismo.

Trazamos la perpendicular por el punto 0.

Trazamos la semicircunferencia de radio y centro el punto medio del segmento. El corte con la

recta perpendicular es el tercer vértice del triángulo.

Construimos el triángulo. La altura correspondiente a la base mide exactamente. Con ayuda de un

compás proyectamos la medida sobre la parte positiva de la recta real.

r =

6

r =

6

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 1 5

1. Escribe como una potencia única de 2.

a)

b)

c)

d)

1. Escribe sin exponentes negativos.

e)

f)

g)

h)

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 1 6

1. Calcula las siguientes cantidades en notación científica.

a) Distancia media del Sol a Saturno es de 1 429 400 000 m. ¿Cuánto tarda en llegar,

aproximadamente, un fotón de luz que parte del sol? Recuerda que la velocidad de la luz es,

aproximadamente, de

Partimos de.

Despejamos el tiempo:

Tarda aproximadamente 4,75·105 s » 13h. 11 min. y 38 s

b) Una bacteria Escherichia Coli se duplica cada 20 min. Si se dan las condiciones favorables, ¿cuántas

bacterias, aproximadamente, habrá al cabo de 24 horas?

Veamos cuantos periodos de 20 min hay en 24 horas.

3

− 3

6

m

2

m

m + 2

x

x − 1

2

( )

x

x − 1

2 x

x − 1

2 x −( x − 1 )

x + 1

ab

− 2

a

b

2

ab ( )

− 2

=

(^ ab )

2

a

2 b

2

3 a

− 1 b

2

2

=

3 b

2

a

2

3 b

2

2

a

2

9 b

4

a

2

a

5 b

− 2

c

3

a

5

b

2 c

3

3 ⋅ 10

6 m ⋅ s

− 1

v =

e

t

t =

e

v

12

6

6 ≈ 4 , 75 ⋅ 10

5

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

La cantidad final que se obtiene es de 10 875 €.

b) A un interés compuesto del 2,5% durante 15 años.

Si el interés es compuesto y los periodos de amortización son en años, después de t años se obtiene:

Sustituyendo:

La cantidad final que se obtiene es de 10 862,24 €

c) A un interés compuesto de 3% durante 6 trimestres.

Como el periodo de amortización es en trimestres à Un año tiene 4 trimestres. Por lo tanto la fórmula nos

queda:

Sustituyendo:

La cantidad final que se obtiene es de 7 843,89 €

1 9. Juan tiene 3 000 € y quiere depositarlos en un banco durante tres años en una entidad financiera,

donde le ofrecen estas dos opciones.

1ª Opción: Durante tres años con un interés simple anual del 3,35%.

2ª Opción: Durante 36 meses con un interés compuesto anual del 3,25%.

¿Qué opción debería tomar Juan?

Vamos a calcular la cantidad final en ambos casos:

1ª opción:

El interés es simple y los periodos de amortización son anuales, por lo tanto

Sustituyendo:

2 ª opción:

El interés es compuesto y los periodos de amortización son mensuales (un año tiene 12 meses), por lo tanto

Sustituyendo:

Juan debería tomar la segunda opción y recibirá una cantidad final de 3 306,80 €

C

F

C

t

= C

I

r

t

C

15

15

C

t

= C

I

r

t

C

6

6

C

F

= C

I

r ⋅ t

C

F

C

t

= C

I

r

t

C

36

36

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG.1 9

1. Escribe las siguientes expresiones como una única potencia de 5.

a)

b)

c)

d)

1. Escribe las siguientes expresiones en la forma donde a es un número primo y x es un número

racional.

a)

b)

c)

d)

1. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a)

b)

c)

d)

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 21

2 3. Ordena los siguientes radicales de menor a mayor, reduciéndolos previamente a índice común.

a)

El mínimo común múltiplo de los índices es: m.c.m (3,2,4)=

Los reducimos a índice común:

Por lo tanto:

b)

El mínimo común múltiplo de los índices es: m.c.m (4,3,6)=

Los reducimos a índice común:

Por lo tanto:

4 = 5

1

4

4

1

4

−

1

4

5 = 5

1

5

1

5 = 5

1 +

1

5 = 5

6

5

a

x

3 = 11

1

3

5 = 2

5 4 = 2

4

5

9 = 3

(^9 ) = 3

4

9

4

4 3

3

4

−

3

4

4

3 = 2

3

4

3 = 2

3 ⋅

4

3 = 2

4 = 16

3

2 = 5

2

3

2 = 5

2 ⋅

3

2 = 5

3 = 125

−

1

2 = 3

2

−

1

2 = 3

− 2 ⋅

1

2 = 3

− 1

−

4

3 = 3

3

−

4

3 = 3

− 3 ⋅

4

3 = 3

− 4

4

3 , 5 , 7

4

3 , 5 , 7

4 = 4

(^12 ) , 5

(^12 ) , 7

(^12 ) = 256

12 , 15625

12 , 343

12

3 < 7

4 < 5

a

(^4 ) , a

(^3 ) , a

(^67)

a

4 3 , a

3 4 , a

6 7 = a

12 9 , a

12 16 , a

12 14

a

4 3 < a

6 7 < a

3 4

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 22

1. Racionaliza las siguientes fracciones. Usa el método adecuado en cada caso y simplifica cuando sea

posible.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 23

1. Escribe los siguientes logaritmos en su forma exponencial.

a)

b)

c)

d)

1. Escribe las siguientes potencias en su forma logarítmica.

a)

b)

c)

3

2

2

( )

2

2

4 3

4 3

4

4

4

4 4

4

4

6

6

6 5

6 5

6 5

6 6

6 5

5 2

5 2

5 3

5 3

5 3

5 5

5 3

5

( )

( )

( )

2 − 2 ( )

2

( )

( )

( )

2

( )

2

( )

2

( )

( )

( )

( )

2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + 2 ( )

2

2 − 2 ( )

2

log 5

2 = 25

log 10

4 = 10000

log 3

1

2 = 3

log 2

−

1

2

− 3

⇔ log 2

1

2 = 3 ⇔ log 3

− 1 = 0 , 2 ⇔ log 5

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

d)

1. Calcula los siguientes logaritmos.

a)

b)

c)

d)

1. Calcula los siguientes valores de x.

a)

b)

c)

d)

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 25

1. Aplicando las propiedades de logaritmos, escribe como un solo logaritmo las siguientes expresiones.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3 4. Demuestra que:

a)

Partiendo de la primera igualdad llegaremos a la segunda o al revés.

b)

− 1

3

3

⇔ log

3

log 10

1000 = log 10

3 = 3

log 2

256 = log 2

8 = 8

log 5

= log 5

− 1 = − 1

log 2

2 2 = log 2

1

2

= log 2

1 +

1

2

= log 2

3

2

log 2

x = 2 ⇔ 2

2 = x ⇔ 4 = x

log 9

x =

1

2 = x ⇔ 9 = x ⇔ 3 = x

log x

27 = 3 ⇔ x

3 = 27 ⇔ x

3 = 3

3 ⇔ x = 3

log x

0 , 25 = − 1 ⇔ x

− 1

x

⇔ x = 4

log 8 + log 2 = log( 8 2 ) = log 16

log 50 − log 5 = log

= log 10 = 1

log 50 − 4 = log 50 − log 10000 = log

= log

log 2 + log 5 − log 100 = log

= log

= log

= log 10

− 1 = − 1

3 log 4 − log 8 = log 4

3 − log 8 = log

= log 8

1 − 3 log 2 + log 20 = log 10 − log 2

3

• log 20 = log

= log 25

log 49 = 2 log 7

log 49 = log 7

2 = 2 log 7

log 4

3

log 2

log 4

3 = log 2

3 2 = log 2

2

3

log 2

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE FINALES-PÁG. 28 a 31

Números racionales e irracionales

1. Escribe tres fracciones que den lugar a un número decimal exacto, un número decimal periódico puro

y un número decimal periódico mixto.

Ejercicio de respuesta abierta.

Tres fracciones que den lugar a un número decimal exacto. Para ello la fracción tiene que ser irreducible y

en el denominador tiene que haber como factores, al menos, un dos, un cinco o ambos.

Tres fracciones que den lugar a un número decimal periódico puro. Para ello la fracción tiene que ser

irreducible y el denominador no tiene que tener como factores ni dos, ni cinco, ni ambos.

Tres fracciones que den lugar a un número decimal periódico mixto. Para ello la fracción tiene que ser

irreducible y el denominador tiene que tener como factores dos, cinco o ambos y otro número primo

distinto de ellos.

1. Calcula el valor decimal de las siguientes fracciones. Escribe el resultado de forma abreviada:

a)

b)

c)

d)

1. Escribe tres números que verifiquen las condiciones siguientes:

Ejercicio de respuesta abierta.

a) Sean enteros y naturales.

b) Sean racionales pero no naturales.

c) Sean enteros o racionales.

d) Sean reales e irracionales.

1. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

a)

b)

7

5

= 1 , 4

13

6

= 2 , 1

⌢

6

4

7

= 0 , 571428

!

15

16

= 0 , 9375

π ; 2 ; 3

3 ; 1 ,2345...; ...

UNIDAD 1 : Números reales

SOLUCIONARIO

c)

d)

5.Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno, marcando los diferentes conjuntos a los que

pertenece cada número:

No Si Si Si

No No Si Si

Si Si Si Si

1. Clasifica los siguientes números reales, distinguiendo entre los que sean naturales, enteros,

racionales o irracionales:

a) Es un número racional

b) Es un número racional

c) Es un número irracional

d) Como el número e es irracional, es un número irracional

1. Completa la siguiente tabla dando una aproximación por truncamiento y otra por redondeo:

Trunc. Red. Trunc. Red. Trunc. Red. Trunc. Red.

Décimas 0,8 0,9 1,1 1,2 1,1 1,2 1,6 1,

Centésimas 0,88 0,89 1,15 1,15 1,15 1,16 1,61 1,

Milésimas 0,888 0,889 1,151 1,152 1,155 1,156 1,618 1,

1. Redondea los siguientes números dejando tres cifras significativas. Calcula el error absoluto, el error

relativo y el porcentaje de error que se comete con la aproximación en cada caso:

a)3,

La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

! !!^!

2 = − 4

− 1 = −

2 = 4

16

9

=

4

3

( )

2

e

e

φ = 1 ,618033989...

V

aprox

E

a

E

r

100 ⋅ E

r