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CONOCIMIENO DE LAS MATEMÁTICAS 2017
TEMA 1
PRIMERAS ESCUELAS
ESCUELAS GRECIA
Edad Antigua Edad Media Edad Moderna Edad Contemporánea
Pitágoras Euclides Arquímedes Hipatía de Alejan.
Alhacen Fibonacci
J.Pérez de Moya Monge Pascal,Newton,Euler, Laplace…
Gauss Russell Rieman Galois
Periodo Helénico (640 a.C- 550ª.C)
Periodo Helénico/Alejandr. (300- 30 a.C)
Periodo Greco-Romano (30ª.c-640 d.C
Jónica-Thales Pitágorica- Pitágora Pitágora : 7 artes liberales del currículum medieval ( aritmética , geometría , música , astronomía , gramática , retórica ,dialéctica. Teorema de Pitágora : c¨=a¨+b¨ Su TRIVIUM : gramática, retórica y dialéctica. Eleática-Parménides ,Zenón
Academia- Pláton ,Socrate El liceo-Aristóteles De Alejandría- Euclides ,Arquímedes , Apolonio Euclides
- geometría plana y espacial
- demonstraciones de las iniciativas de Pitágoras
- ha escrito ELEMENTOS-1º libro de la Didácticas de las Matemáticas Arquímedes
- método de resolver cálculos ,áreas , volúmenes ,centros de gravedad, teoremas .. Hipatía de Alej.
- gran maestra
- astronomía
Tolomeo- Hipatía de Alejandría Al Jwarizimi
- matemático árabe
- inventó la palabra algoritmo
- organizaba y exponía los deberes
- álgebra: planteamiento de pb.
- resolución emociones
Edad Antigua Edad Media Edad Moderna Edad Conteporánea
-las matemáticas más imp. fueron: babilónica ,egipcia , china(inventó el ábaco) , la Grecia Clásica(las primeras escuelas y maestros), civilización romana( nº arquitecturas ). EGIPTO: construcciones: pirámides ,templos…
- el comercio …. THALES: filósofo griego q fue el 1º en explicar lo q sucede en el UNIVERSO Pitágoras: se puede solo exponerse el pensamiento de la escuela de Pitágoras. Egipto -tablas de arcilla -solución ecuaciones lineal y cuadráticas
-tenían miedo a investigar ,descubrir , lanzar teorías… EUROPA: había un notable desprecio hacia el conocimiento científico y filosófico. ÁRABES:Khwarizmi -fue un astrónomo y jefe de la Biblioteca de la Casa de la Sabiduría en Bagdad(capital de IRAK) -fue quién inventó la palabra algoritmo y es el padre de la algebra. -árabes fueron los promotores de la : álgebra -aritmética -nº irracionales -nº negativos -grafía de los nº. Fibonacci: sucesión de Fibonacci: 1,1,2,3,3,5,13…..
-Humanismo Matemáticas : -resolver pb. -economía Representantes -Isaac Newton J.Pérez de Moya -Gaspar Monge -Euler -Laplace J.Pérez de Moya : -impulsó la creación de la Academia de Matemáticas -obra de carácter más doctrinal -aritmética ,práctica y espectulación en el Tratato Matemático Teórico y Práctico.
- crecaión de centros de enseñanza ut.de símbolos y métodos aritméticos -estudios de álgebra y geometría
- desarrollo de símbolos Newton -reducir un pb. a una expresión algebraica Rene D.
- geometría -resolución de pb. matemáticos con la álgebra
- Matemática: Sistema .Métrico Decimal Representantes:
- Gauss
- Cantor
- Hilbert
- Lagroge
- Lorenz
- Edad de Oro
Gauss
- Teorema fundamental del álgebra.
- algebra moderna y sus conceptos fundamentales E.Szemerendi
- húngaro q recibe el Premio Schock G.Perelman
- Teorema la Conjentura de Poincare y q rechazó la medalla Fields J.Milno
- recibe el Premio Abel por el descubrimiento en topología ,geometría y álgebra. M. Montesorri
- el niño tiene la inteligencia en sus manos - mayor éxito de un profe cuando un niño trabaja como si los profes no estaría allí para ayudarlos. Garden
- hace la diferencia entre pb. y ej
- tienen diferentes objectivos y finalidades
- conocimientos nuevos vs.los los q no los hay.
Operaciones con nº naturales Suma : adición Adición tiene estas propiedades: cerrada, asociativa, conmutativa y elemento neutro Resta: sustración Producto/cociente= x y : Propiedades x = cerrada, asociativa, conmutativa ,distributiva, elemento neutro. Jerarquía operaciones
Ej: (5-2)x 3+5)-1+(8:4):8-3= 3x2-5+4x3-8+5x2= 10:2+5x3+4-5x2-8+4x2-16:4= -(-5-4)+3-12-5x2)+5+16:4)-5+(10-8)=18 El signo dentro del paréntesis le dejamos como es¡¡ DIVISIÓN -nº divisible x 2: acaba en un nº par -nº divisible x 3 : sumas de sus cifras son múltiples de 3 -nº divisible x 4: el nº de las últimas 2 cifras es múltiplo de 4
- nº divisible x 5: el nº es divisible a la vez x 2 y 3 ……
Sistemas de numeración
Aditivos Híbridos Posicionales
- acumulan símbolos para completar el nº
- el orden es indiferente: 1,10,100,1000..
- contemplan una acción multiplicativa: 5x 1000+7 x 1000=
Babilónico, mayo, decimal, sexagesimal y binario(base 2). Ej: 87:2=
1º 2º 3º Mayor prioridad
Varias paréntesis
Sin paréntesis
Operaciones dentro de paréntesis
X y :
- se realizan de izquierda a derecha
- se realizan de izquierda a derecha
POTENCIAS
-se pasa de potencia al nº natural para calcular
Se realizan desde dentro hacia afuera
-Se empieza siempre de izquierda hacia la derecha -1º. las x y : 2º. + y -
Nº PRIMO
-es divisible x sí mismo y la unidad -divisores el 1 y el propio nº -ej: 12 divisible x 2 y 3
- ej. Nº primo: 1 ,11, 31,61… -si no es primo es compuesto.
FACTORIZACIÓN
-la ut. para operaciones cuando no tiene el mismo denominador.
MCD(grande) MCM(pequeño)
-se coge el factor/nº con de menor exponente -sirve para operaciones de + y - cuando tenemos fracciones con denominadores diferentes
-se coge los nº/factores de mayor exponente +los nº no comunes -sirve para ubicar fracciones en una recta numérica
PATRONES
9x2=18 :1+8= 9x3=27 :2+7= 999999 x 7= 999999 x8= 799992 999999 x 9= 899991….. Disposición en forma de espiral 1x1x1= 1x1x1+2x2x2=1+8= 1x1x1+2x2x2+3x3x3=1+2+9+1+2+9+1+2+9= Espiral de ULLAM
(+2) x((-3)=-
(-2)x(+3)=
Suma Resta Multiplicación
El 1 º nº sumando y desplazándose hacia la derecha/izquierda según el signo
Se sitúa en el minuendo y sumar el opuesto
Una dilatación respecto al origen cuando x por un nº positivo o dilatación seguida cuando se x por un nº negativo
Valor absoluto /a/=a /0/= /-4/= /-36/= /ab/=/a//b/ /a+b/=/a/+/b/ Modelo geométrico
- sistema de coordinadas
- recta numérica
- ayuda a interpretar sumas , multiplicación y orden de los nº enteros.
Modelo algebraico
X +1= 0 solución: -1 O-1=- x+3= 0 OPUESTO solución: -3 0-3=- x+a= 0 solución: -a 0-A=-A
EJ: 1. Esta mañana el termómetro marcaba - 3 grados ºC y a las doce de la
mañana marca 7 grados ºC. ¿Cuántos grados ºC ha variado la temperatura?
En este tipo de problemas podemos apoyarnos en la recta numérica.
En este caso tenemos que contar el número de numerales que hay desde el - 3
hasta el 7.
Utilizando una operación aritmética sería 7 – (-3), que como hemos visto es
7+3 = 10 grados.
2. Una persona vive en el piso 12 y tienes su plaza de parking en la planta - 3
del edificio. ¿Cuántos pisos tiene que bajar para coger su coche?
Igualmente podemos contar los números desde el - 3 al 12 apoyándonos en la
recta numérica.
O utilizar la operación 12 – (-3) = 15 plantas.
3. A principio de mes tenía 1.500 euros en la cartilla y ahora estoy en números
rojos, debo 200 euros al banco. ¿Cuánto dinero llevo gastado este mes?
Una vez trabajados problemas con números más bajos como los anteriores, no
habrá dificultad en entender que este problema debemos considerar los 1500
euros iniciales más los 200 que tenemos en el banco. La diferencia de saldo es
1.500 – (-200) = 1.700 euros.
4. Pitágoras vivió entre los años 582 y 496 a. C. ¿A qué edad murió? ¿Cuántos
años hace de eso? En este problema, considerando que el nacimiento de
Cristo es el 0, se debe hallar la diferencia entre los años - 496, que es el mayor
de los números y - 582, que es el menor de los números. Por lo tanto, - 496 – (-
582) = - 496 + 582 = 582 – 496 = 86 años.
Ahora resuelve los siguientes problemas. Ayúdate de gráficos.
5. Como sabrás, las alturas y profundidades del relieve se miden con respecto
al nivel de mar que se considera nivel 0. El Everest es la montaña más alta del
mundo con una altura de 8.848 metros y la fosa más profunda es la de las
fracción dada. OPERACIONES
a/b equivalente c/d
axd=bxc
FRACCIÓN DECIMAL
Orden decimal
Fracción decimal
Notación decimal Décima 1/10 0, Centésima 1/100 0, Milésima 1/1000 0, Diezmilésima 1/10000 0, Y así sucesivamente
1 = 10 × 0,1.
Décima 1/10 0,
Centésima 1/100 0, Milésima 1/1000 0, Diezmilésima 1/10000 0,
1 = 100 × 0,01.
0,1 = 100 × 0,001.
sí este número se expresa como 735 (unidades) y 614 milésimas.
Si colocamos la coma en otro lugar, el número se expresa en unidades
distintas:
Centenas
Decenas
Unidades
Décimas
Centésimas
Milésimas 100 10 1 1/10 1/100 1/
En este caso decimos 7356 décimas y 14 milésimas.
RECTA NUMÉRICA Y ORDENACIÓN
OPERACIONES CON DECIMALES
SUMA RESTA MULTIPLICAR DIVIDIR
12,7 + 33,1- 1,21 X 45,81 3
Si los factores primos son solo 2 y/o 5, la fracción tiene un decimal finito.
Por ejemplo, 1/10.
Si los factores primos no son ni 2 ni 5, la fracción tiene un decimal
periódico puro. Por ejemplo, 3/7.
Si los factores primos son 2 y otros, o 5 y otros, la fracción tiene un
decimal periódico mixto. Por ejemplo, 1/
3****=3x3x3x3= (-3)****=(-3)x(-3)x(-3)x(-3)=81 nº + cuando tenemos potencia par (-2)*****=(-2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2)=-32 nº - cuando tenemos potencia impar 2*****= 32 3-** =1 = 1 = 1
. 3** 3x3 9 (4/5)=(4/5) x(4/5)= 16/ Teorema Pitágoras c=a+b
La radicación se puede entender como una extensión de la potenciación
considerando exponente racional.
Por ejemplo, , se puede escribir como.
Propiedades de los radicales
, por ejemplo,
, por ejemplo,
, por ejemplo,
, por ejemplo,
, por ejemplo,
3X3****= 3****** se suman las potencias: 2+4= 6 (2)=2****** se multiplican las potencias : 3 x2 = (3x2)= 3* x 2= 6 **** 3***** =3* 3** se restan las potencias : 5 - 2= 3***** : 3= 3* se restan las potencias : 5-2= 3***** = 1 = 3 *****-******* = 3 - ** = 1 3******* 3** 3 ** se restan las potencias: 5-7=- 2 NUMERO REAL
El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado y denso. Todo número real se puede representar con un punto en la recta y todo punto de la recta se le puede
asociar un número real. De hecho, la recta numérica se considera una representación geométrica de los números reales.
Ej:
NUMERO COMPLEJO
Los números complejos surgieron históricamente de la necesidad de resolver ecuaciones como x^2 + 1 = 0.
Euler , i**= - 1
a+bi= tenemos a= parte real y la b=parte imaginaria
EJ.
La representación gráfica del conjugado de z será:
OPERACIONES
(5+2i)+(-8+3i)-(4-2i)=(5-8-4)+(2+3+2)i=-7+7i (5+2i)x(2-3i)=5x2-(15i+4i)-6i=10 -11i-6i=16-11i
Factores medida
Sensibilidad Precisión Error absoluto
Variación de la magnitud a medir q es capaz de apreciar el instrumento utilizado.
La medida q es capaz de apreciar un instrumento.
El valor tomado como exacto y el valor q medimos nosotros.
Medidas complejas
Medidas incomplejas
Cuando expresamos una medida con varias unidades. Ej. 3km, 6hm y 20m
Cuando expresamos una medida con una única unidad. Ej: 62,5 km.
LONGITUD :
x
MASA :
X
CAPACIDAD
x
SUPERFICIE :
x
VOLUMEN :
x
1km=1km 1hm=10km 1dam=100km 1km=1000m 1km=10000dm 1km=100000cm 1km=1000000mm 1M=10dm 1M=100cm
1kg=1kg 1Hg=10kg Dag=100kg 1kg=1000g Dg=10000kg Cg=100000kg Mg=1000000kg
1kl=1000l 1HL=100l 1Dal=10l 1l=1l 1Dl=10l 1Cl=100l 1Ml=1000l 1Dl=0,1 l 1Cl=0,01l
1Km=1000000m 1HM=10000 1Dam=100m 1M=1m 1Dm=0,01m 1Cm=0,0001m 1Mm*=0,000001m
1Km=1000000000m 1Hm=1.000000m 1Dam=100m 1M=1m 1Dm=0,001m 1Cm=0,000001m 1Mm=0,0000000001m 1Km=1000dam 1Hm=1000dam
RELACIONES ENTRE MEDIDAS
Propiedad cualitativa Propiedad cuantitativa
-alto -pesado -lento
-2m -200kg -10km/h
Sistema metrico decimal: Sistem a Medidas Magnitudes sexagesional:
-longitud
-masa
-capacidad
-superficie
-volumen -medidas angulares -tiempo -masa -Emplea la base 60 -Mide tiempos:h,minutos y segundos Mide ángulos:gº , min .y seg. Ej:
1M =1000mm 1Dm=10cm 1Dm=100mm 1Cm=10dm 1Cm=100mm
1Ml=0,001l 1Dam=1000m 1m=1000dm 1Dm=1000cm 1Cm=1000mm
Capacidad Volumen Masa
1Kl 1m*** 1t
1l 1dm*** 1kg
1ml 1cm*** 1g
Tiempo Ángulo 1=60º=3600*
6Dam 2 M 5Dm
TEMA 8
Proporcionalidad Aumentar/disminuir una a la otra o disminuir/aumentar de igual manera
Proporcionalidad directa Proporcionalidad indirecta 2/3=4/6 =12/12 2/3=8/12 =24/ 4/10=5/8 = 40/4 0 4/6=6/4 =24/ a/b=c/d ,b/d=a/c axc=dxb.
.. ..
Magnitudes directamente proporcionales Ej. 8m-----10s 72m----x s x=72x10 = 720 = 360 = 90s
Magnitudes inversamente proporcionales c/d=1/x Ej. 10libros------50e a/b=d/c 16libros-------x axc=bxd Ej. X=50/10=5e ----x=5x16=80e los 16 libros o 50+30=80e(16libros)
Op. con 2 incógnitas 12 operarios----6 días 8operarios--------x 3operarios--------y x=12x6/8=72/8=9días y=12x6/3=24días
Libro Precio
2 4
3 6
4 8
5 10
Obreros Tiempo/h
2 12
3 8
4 6
6 4
Operarios 12 8 3
Días 6 x y
12x6=72 72:8=9días 72:3=24días
Pb..proporcionalidad 1º.Reglas de 3 : cantidades de cada magnitud en la misma cantidad 2º.Proporcionalidad: directa o indirecta? FORMULA DIRECTA x= b x c 3º.Parejas de fracciones equivalentes a 4º.Hallar la x ,y.. FORMULA INDIRECTA x= a x b
. c
Proporcionalidad directa Proporcionalidad indirecta
Crecen/descrecen a y b a/b=c/d-----axd=bxc
Crece a y descrece la b
PROCENTAJE
35% de 100= 35/ 40% de 600= 40/100 x 600/100= 28% de420= 28/100 x420/100= 117, 150% de 36= 150/100 x 36/100= Ej. 30alumnos --------------100% 12 chicas----------------x x= 12/30x100/30= 40% chicas del total de alumnos. Ej 57e……100% x--------40% x=57/60 x 100/60= 95e -----restamos los 100% los 40% Ej. 1344e……..100% x------------12% x=1344/112 x100/112=1191,07e ……… 100%+12%=112% Ej. 1camiseta……30e……100% x…………………………….25% rebaja x=25x30/100=7,5e de rebaja…..30e—7,5e= 22,5e o 100%-25%=75% Ej. 25% de 450……..24/100x450/100=112,5e Ej. 1bolso….30e……..100%
. IVA….21% 21% de 30= 21 /100 x 30/100 = 63/10= 6,3e….30e+6,3e=33e cuesta ahora el bolso. Ej. 4% de 30 = 4/10x30/10=120/10= 12 e…….30e+12e= 42e cuesta el bolso. Ej. 4% de 100e….. 100% - 4%= 96%....4x100/96=4,16..100-4,16=95,9e
