MATEMATICAS quinto de secundaria, Ejercicios de Física

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Segundo Bimestre

ARITMÉTICA

5 ° Secundaria

REPRESENTACIÓN LITERAL

VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELA-

TIVO

ORDEN Y LUGAR

LUGAR

ORDEN

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

Z 3246 = 3000 + 200 + 40 + 6

Z abcd = 1000a + 100b + 10c + d Z aaa = 111a Z a0b = 100a + b Z abab = 101ab Z (^273) (8) = 2 x 8^2 + 7 x 8 + 3 = 187 Z abcn = a × n^2 + b × n + c Z abab ( ) n = ab xnn (^2) +abn

CAMBIO DE BASE

1er caso

De base n a base 10 Convertir 2674(8) al sistema de numeración decimal (^2674) (8) = 2 × 83 + 6 × 82 + 7 × 8 + 4 = 2 × = 1024 + 384 + 56 + 4 = 1468 (^2674) (8) = 1468

2do caso

De base 10 a base m Convertir 936 al sistema de numeración quinario

3er caso

De base n a base m Convertir (^732) (8) al sistema de numeración senario 7328 = 7 × 82 + 3 × 8 + 2 = 448 + 24 + 2 = 474

ARITMÉTICA 7 II BIMESTRE

Numeración III

• Número de 2 cifras =
• Número de 4 cifras = abcd
• Número de 3 cifras iguales = aaa
• Número capicúa de tres cifras = aba
• Número capicúa de 4 cifras = abba

512 + 6 x 64 + 56 + 4

Trabajando en clase

Integral

1. Si: abcd = 37ab + 62cd Calcula: a + b + c + d 2. ¿Cuántos numerales de 3 cifras todos impares existen en el sistema heptal? 3. Si los números están bien escritos: (^110) (a); aa1(b); c2(5); 21b(c)

Calcula a × b × c

4. Cuántos numerales de la forma siguiente existen? Siendo a, b y c naturales?

(2 a + 1) ( b - 2) ( a 2 )^9 Resolución:

( 2 a 1 ) ( b 2 ) ( a)

0 1 2

2 3 4 5 6 7 8 9

10

2 9

.. 5. ¿Cuántos numerales de la forma ( m - 3 ) ( n 2 ) (^ p + 3 ) ( 2 m )( 12 ) existen? Siendo m, n y p naturales 6. Calcula: a + b, si: 7. Calcula a + b, si se cumple:

aabac 5 =223c 7

¿Qué sucede con un número de 4 cifras si a la pri- mera cifra se le agregan 3 unidades, a la cifra de

tercer orden se le restan 4 unidades y a su cifra de tercer lugar se le suman 5 unidades? Resolución: Número original: abcd

1000a + 3000 + 100b - 400 + 10c + 50 + d 1000a + 100b + 10c + d + 2650 abcd + 2650 Rpta.: el número aumenta en 2650

9. ¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a su cifra de primer orden se les agregan 4 unidades, a la segunda cifra se le agregan 5 unidades y a la cifra de primer lugar se le quitan 2 unidades? 10. Si se cumple que ( a (^) + 1) 32( )n =aba(5) Calcula: a x b x n 11. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar las páginas de un libro que tiene 128 hojas? 12. En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras? Resolución:

n n n n n n n n sistemas

( )n ( )n 2 3 3

13. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 65 se escribe con 2 cifras? 14. Dado el numeral capicúa (2 b + 1) (5 b - 6 )a c (7 a - 11) (4 a - 1)(9) Calcula el máximo valor de: a + b + c

II BIMESTRE 8 ARITMÉTICA

5 ° Secundaria

( + )( b - 4) ( c+ 5)d Descomposición polinómica

a 3

En general:

CA(N) = 10k^ – N

K → número de cifra de «N»

Sustracción en otras bases

Calcula: N = 734(8) – 276(8) Resolución: +1 + 7 3 4(8)– 2 7 6(8) 4 3 6(8)

Cifra de las unidades

Como no se puede restar, se presta de la cifra de las decenas un grupo de 8 (8 + 4) – 6 = (^6)

Cifra de las decenas

Como no se puede restar, se presta de la cifra de las centenas un grupo de 8 (2 + 8) – 7 = 3

Cifra de las centenas

Integral

1. Calcula a + b + c + d, si:

a1a + a2a + a3a + … + a9a = bcd

2. Calcula la suma de 435 7 ; 164 7 y

3. Calcula E si abc – cba = xy

E = 7xy + y6x + xy

4. La diferencia de los cuadrados

de dos números impares con-

secutivos es 432. ¿Cuál es el

mayor?

5. La suma de los cuadrados de

dos números pares consecuti-

vos es 1060, ¿cuál es el menor

de los números?

7. Dos amiga: Danna y Naomi,

parten simultáneamente desde

sus casas al encuentro una de

la otra. Dannna recorre en el

primer minuto 50 m y en cada

minuto siguiente 2 m más que

en el anterior. Por otro lado,

Naomi recorre en el primer

minuto 40 m y en cada minu-

to siguiente 4 m más que en el

anterior. ¿Después de cuantos

minutos se encuentran si la

distancia que están separadas

sus casas es de 510 m?

8. La suma de tres números im-

pares positivos y consecuti-

vos excede al mayor de ellos

en 28 unidades. Determina el

producto de los tres números

pares que se encuentran entre

ellos

Resolución:

Sean los números

a; (a + 2) y (a + 4)

a + (a + 2) + (a + 4) = (a + 4) + 28

3a + 6 = a + 32 ⇒ a = 13 Nos

piden:

9. La suma de tres números im-

pares consecutivos es igual a

99. Calcula la suma de los dos

números mayores.

10. Sabiendo que abc2 – 2cba =

4275, además b + c = 10, cal-

cula el minuendo

11. Calcula a + b + c si se cumple

que:

CA (abc) = 4(c(b–4)a) + 4

12. Lorena tiene 20 años menos

que Andrea. Si las edades de

ambas, suman menos de 86

años, ¿cuál es la máxima edad

que podría tener Lorena?

que José y este último tiene 10

años menos que Richard. Si las

edades de las tres personas su-

man menos de 90 años. ¿Cuál

es la máxima edad que podría

tener José?

aritméticos de los números:

1a1, 2a2, 3a3, …, 9a9 es 3915.

Determina el valor de «a»

II BIMESTRE 10 ARITMÉTICA

5 ° Secundaria

Resolución

Sean los números "x" y

"(x+2)"

(x+ 2)^2 – x^2 = 432

x^2 + 4x + 4 – x^2 = 432

4x + 4 = 432 ⇒ x = 107

Número mayor: 109

6. Calcula la suma de las cifras

de la decenas de 10 números

consecutivos. La suma de es-

tos números es 505.

(14 × 16) = 224

13. Bryan tiene 25 años de menos

14. La suma de los complementos

MULTIPLICACIÓN

Definición

Es una operación directa que consiste en reunir dos o más cantidades en una sola.

Términos

P = a. b = a + a + … + a 144424443 «b» veces

Multiplicador

Multiplicando

Producto

DIVISIÓN

Definición

Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en encontrar una cantidad llamada cociente, de manera que al multiplicarse por el divisor, reproduce el dividendo.

Importante

El tema de división es la base del

tema divisilidad, que es uno de los más

evaluados en los exámenes de admisión.

Clases de división entera

1. División exacta

2. División inexacta

La división entera es inexacta cuando el cociente no es entero. Ejemplo: 37 5 -- 7,4 ∉ Z

Clases de división inexacta

a) Por defecto

D d r q

D = d. q + r

q: cociente por defecto r: residuo por defecto

Términos

D = d. q

Cociente

Divisor

Dividendo

b) Por exceso

D d r’ q + 1

D = d. (q + 1) – r’

q + 1: cociente por exceso r’: residuo por exceso

Propiedades de los residuos

1. El residuo es menor que el divisor

r < d

1. La suma de los residuos es igual al divisor

r + r’ = d

1. El residuo máximo es una unidad menor que el di- visor r (^) máx. = d – 1

ARITMÉTICA 11 II BIMESTRE

Multiplicación y división

Z

La división entera es exacta cuando el cociente es entero. Ejemplo:

CONCEPTO

Se dice que un grupo de números están en progresión aritmética (PA) cuando cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Ejemplo: 8; 2; –4; –10; …

Forma general: a; a + r; a + 2r; a + 3r; …

Representación: PA de «n» términos t 1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; …; tn

Razón

r = t(n) – t(n–1)

• Si r > 0, la progresión es creciente
• Si r < 0, la progresión es decreciente

TÉRMINO ENÉSIMO (tn)

t (^) n = t 1 + (n–1)r

Donde: t 1 = primer término n = cantidad de términos r = razón

NÚMERO DE TÉRMINOS (n)

n = r

t (^) n - t 1

• 1

SUMA DE LOS «N» TÉRMINOS (Sn)

Sn =

t t 2

d 1 + nnn

También

Sn =

t ( n ) 2

d nn

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula la razón de una P. A. de 51 términos si el último ex- cede al primero en 350. 2. Calcula el número de térmi- nos de la siguiente progresión aritmética: 3, ... ... ..., 23, ... ... ..., 59 14243 14243 n términos n términos 3. Calcula la razón de un PA de 14 términos si el primer tér- mino es 1 y la suma de todos es 287. 4. Si en una progresión aritméti- ca, el término enésimo es de la forma tn = 2 + (n –1)r y, ade- más, la suma de los términos de lugares 7; 8 y 9 es 48, ¿cuál es el término de lugar 20?

Resolución: Término enésimo de una PA es: tn = t 1 + (n – 1)r = 2 + (n–1)r el primer término es t 1 = 2 Entonces: t 7 = 2 + (7 – 1)r = 2 + 6r t 8 = 2 + (8 – 1)r = 2 + 7r

t 9 = 2 + (9 – 1)r = 2 + 8r Dato: t 7 + t 8 + t 9 = 48 6 + 6r + 7r + 8r = 48 21r = 42 r = 2 Nos piden: t 20 = 2 + (20 – 1)2 = 40

5. El término enésimo de una PA es de la forma tn = 4 + (n – 1)r y la suma de los términos de lugar 4; 6 y 8 es 254. ¿Cuál es el cuadragésimo término?

ARITMÉTICA 13 II BIMESTRE

Progresión aritmética

6. Una persona decide pagar una deuda en 12 días, tal que for- men una progresión aritméti- ca. Si el primer día paga S/. 3. ¿Cuál debe ser el incremento diario que debe abonar para cubrir la deuda de S/. 168? 7. Los números 4; 3x – 3; 4x es- tán en progresión aritmética. ¿Cuál es el cuarto término de esta progresión? 8. Si el segundo y el noveno tér- mino de una progresión arit- mética son 7 y 28, respectiva- mente, determina el vigésimo término de dicha progresión.

Resolución: t 2 = 7; t 9 = 28 y t 20 = ?Fórmula general: tn = t 1 + (n –1)r t 2 = 7 = t 1 + (2 – 1)r t 1 = 7 – r ............................. (1) t 9 = 28 = t 1 + (9 – 1)r t 1 = 28 – 8r ........................ (2) Igualo 1 y 2 7 – r = 28 – 8r R = 3 y t 1 = 4 Nos piden hallar: t 20 = 4 + (20 – 1)3 = 61

9. Si el tercer y décimo término de una progresión aritmética

son 6 y 34, respectivamente. Calcula el decimonoveno tér- mino de dicha progresión.

10. En una progresión aritmética t 40 = 120 y t 20 = 40. ¿Cuál es el primer término de la progre- sión? 11. Un carpintero, cobra S/. 5 por colocar el primer clavo adicio- nal cobra S/. 2 más que por el clavo anterior. ¿Cuánto recibió por colocar 50 clavos? 12. Una persona decide caminar 72 km en 40 días, formando una PA. A los 30 días se des- anima, dejando una tercera parte del camino por recorrer. ¿Cuántos km recorrió el pri- mer día? Resolución> Día 1 = a + r Día 2 = a + 2r Día 30 = a + 30r Día 40 = a + 40r día 1 + día 2 + … + día 30 = 3

1 × 72

(a + r) + (a + 2r) + … + (a + 30r) = 48 30a + 465r = 48 10a + 155r = 16 ................... (1)

día 1 + día2 + … + día 40 = 72

(a + r) + (a + 2r) + … + (a + 40r) = 72 40a + 420r = 72 10a + 105r = 18 ................. (2)

Del 1 y 2 se obtiene: r = 0, a = 0, Nos piden: día 1 a + r ⇒ 0,98 + 0, = 1,02 km

13. Leydi decide ir caminando de Lima a Huaral en 25 días, for- mando una PA. A los 18 días se percata de que se le acaba- ron los víveres; por tal razón decide darse por vencida, de- jando la treceava parte por re- correr. ¿Cuántos km recorrió el primer día si la distancia que separa estas ciudades es de 78 km aproximadamente? 14. En una PA, la relación del ter- cer y cuarto término es 3. De- termina el número de térmi- nos que hay que tomar de esta progresión para que su suma sea nula.

II BIMESTRE 14 ARITMÉTICA

5 ° Secundaria

(20 + a) × r = 50 + a 20 + a = r 1

(20 + a) × 2r = 100 + a 20 + a = 2 r 1

Igualando 1 y 2, obtenemos

r 1 r

30(2r – 1) = 80(r – 1) 20r = 50 r = 2

9. Si a los números 7; 19 y 43 se les suma un mismo número, los tres números resultan- tes forman una progresión geométrica creciente. Deter- mina la razón. 10. El primer término de una pro- gresión geométrica es 2 y el último, 64. Si consta de seis términos, encuentra la razón y el cuarto término. 11. La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica es 63 y el producto 1728. Encuentra el mayor de estos números. 12. Sea: Sn(x) = x + x^2 + … + xn, x ∈ R, n ∈ N Determina el valor de Sn 2

b l- Sn (^2)

b l.

Resolución: Es una progresión geométrica de razón “x” Sn(x) = x x

x 1

n 1

d - n

Ahora calculamos:

Sn 2

3 n 1

J

L

K

K

KK

b b

b

N

P

O

O

OO

l l

l

3 n^ - 1 db l n

S

n

n

=

J

L

K

K

KK

b b

b

N

P

O

O

OO

l l

l

• 1 n- 1 db (^) l n

Sn Sn 2

-^1

b l b l

= n^ + 1 n- b l b l

13. Sea: Sn(a) = a + a^3 + … + an, a ∈ R, n ∈ N. Determina el valor de: Sn(9) – Sn(5) 14. Las edades de Nely, Ana y Pilar están en progresión geométri- ca y suman 117. Si el término central es 27, encuentra la ra- zón.

II BIMESTRE 16 ARITMÉTICA

5 ° Secundaria

Segundo Bimestre

ÁLGEBRA

5 ° Secundaria

Es aquella ecuación cuya forma general es: P(x) = a 0 xn^ + a 1 xn–1^ + a 2 xn–2^ + ... + an–1x + an = 0 Esta ecuación es de grado «n» si y solo si: a 0 ≠ 0, de otro lado a 0 , a 1 , a 2 , ..., an son coeficientes de la ecuación de grado «n».

Raíz de un polinomio

Sea P(x) es un polinomio no constante, diremos que a es una raíz del polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0.

Teorema fundamental del álgebra

Toda ecuación polimonial de grado «n», con cualquier tipo de coeficientes numéricos, tiene por lo menos una raíz ya sea real o compleja.

Corolario:

Toda ecuación polinomial de grado «n», tiene «n» raíces, contadas con la multiplicidad. Ejemplos: Z x^2 – 5x + 6 = 0 ⇒ tiene 2 raíces Z x^3 – x^2 – 2x + 2 = 0 ⇒ tiene 3 raíces Z x^4 – 16 = 0 ⇒ tiene 4 raíces Z x^5 – x^3 – 8x^2 + 8 = 0 ⇒ tiene 5 raíces

Teorema de paridad de raíces

En toda ecuación polinomial de grado «n» y con coeficientes reales, si se tiene una raíz de la forma: x 1 = a + bi → x 2 = a – bi; a, b ∈ R ∧ b ≠ 0

Corolario:

En toda ecuación polimonial de grado «n» y con coeficientes racionales, si se tiene una raíz de la forma:

Ejemplo: Z Resuelve: x^3 – x^2 – x – 2 = 0 Factorizando por el teorema del factor, vemos que 2 es una raíz, por Ruffini: 1 –1 –1 – x = 2 ↓ 2 2 2

1 1 1 0 Entonces: (x –2)(x^2 + x + 1) = 0 Igualando cada factor a cero:

• x – 2 = 0 → x = 2
• x^2 + x + 1 = 0 → x = i 2

-^1!^3

\ C.S. = 2 , i^ , i 2

( -^ +^ -^ -^32

Z Resuelve: x^4 – 6x^3 + 7x^2 – 6x + 1 = 0 Factorizando por aspa doble especial x^4 + 2x^3 – 6x^2 + 2x + 1 = 0 x^2 – 2x + 1 x^2 + 4x + 1

Se debe tener: –6x^2 Se tiene: 2x^2 Falta: –8x^2 (x^2 – 2x + 1) (x^2 + 4x + 1) = 0 1442443 1442443 = 0 = 0

• x^2 – 2x + 1 = 0 → x1,2 = 1
• x^2 + 4x + 1 = 0 → x3,4 = –2 ± 3 \ C.S. = {1, –2 + 3 , –2 – 3 }

Teorema de Cardano

Relación entre los coeficientes de un polinomio con sus raíces. Sea la ecuación polinomial de grado «n» P(x) = a 0 xn^ + a 1 xn–1^ + a 2 xn–2^ + ... + an–1x + an = 0 de raíces x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn se cumple:

1. Suma de raíces

x 1 + x 2 + x 3 + ... + xn = – a

a 0

1

ÁLGEBRA 19 II BIMESTRE

Teoría de ecuaciones

Luego, P(x) = (x – a)q(x) Ejemplo:

• Sea P(x) = x – 6x + 5, una de sus raíces es x = 1 → P(1) = (1) – 6(1) + 5 = 0 Luego: P(x) = (x – 1)q(x)

x 1 = a + b → x 2 = a – b ; a ∈ R ∧ b ∉ R

Trabajando en clase nº

3. Si la ecuación: x^3 + nx^2 + mx + 7 = 0, tiene una raíz igual a 4 + 2. Calcula la raíz real. 4. Siendo a, b, q las raíces de la ecuación: 2x^3 + x – 10 = 0 Calcula el valor de:

E = (^2 2 )

3 3 3

a b q

a b q

5. Resuelve: x^3 + 3x^2 + 2x – 6 = 0 6. Resuelve: x^3 + 2x – 12 = 0 7. Resuelve: x^4 – 5x^3 + 8x^2 – 5x + 1 = 0 8. Indica la suma de cuadrados de las soluciones de la ecuación: 2x^4 – 5x^3 + 5x – 2 = 0 9. Resuelve x^8 – 626x^4 + 625 = 0 10. Encuentra el conjunto solu- ción de la ecuación x^8 – 257x^4 + 256 = 0

x^4 – ax^2 + b = 0 Calcula a – b

12. Si x^3 – 5x^2 – 3x – 1 = 0 - x 1 + x 2 + x 3 = - x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = - x 1 x 2 x 3 = 13. Si 3x^4 – 3x^2 + x + 1 = 0 Calcula: M = Suma de productos bina- rios N = Suma de productos terna- rios 14. Si 2x^5 + x^4 – 4x^2 + 3x + 6 = 0 Calcula: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

2. Suma de productos binarios

x 1. x 2 + x 2. x 3 + ... + xn–1. xn = a

a 0

2

3. Suma de productos ternarios

x 1. x 2. x 3 + x 1. x 2. x 4 + ... + xn–2 xn–1. xn = – a

a 0

3

4. Suma de productos tomados de k en k

x 1. x 2. x 3 ... xn + x 2. x 3 ... xk–1. xn + ... = (–1)k a

a (^) k 0

5. Producto de raíces

x 1. x 2. x 3. .... xn = (–1)n a

a (^) n 0

Ecuación bicuadrática

Es una ecuación de cuarto grado de la forma:

ax 4 + bx^2 + c = 0 con abc ≠ 0

Esta ecuación tiene raíces de la forma: x 1 = a; x 2 = –a; x 3 = b; x 4 = –b Y se resuelve de forma similar a una ecuación cuadrática. Ejemplo: Z Resuelve: 9x^4 – 37x^2 + 4 = 0 Factorizando 9x^2 – 1

x^2 = 9

(^4) ; x (^2) = 4

x1,2 = ± 3

(^2) ; x 3,4 =^ ±^2

\ C.S. = ; ; ;

- -^1

II BIMESTRE 20 ÁLGEBRA

5 ° Secundaria

x^2 – 4 (9x^2 – 1 ) (x^2 – 4) = 0 14243 = 0 = 0 9x 2 – 4 = 0; 4x^2 – 1 = 0

1. Si x 1 = 2 ∧ x 2 = –1 son raíces 1. Si la ecuación : x^3 + 3x^2 + mx^ de

• n = 0, tienen una raíz igual a3– 2. Calcula la raíz real. 2. Si la ecuación: x^3 – 5x^2 + ax – b = 0, tiene una raíz igual a 2 + 3i. Calcula la raíz entera.