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Jesús Maestro Selectividad CYL – Continuidad, derivabilidad, tg, teoremas
CONTINUIDAD, DERIVABILIDAD, RECTA TG
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Sep-04 (A).- PR-2.- Sea f la función dada por ( ) 3 2 ,.
2 f x x x x R
a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada. b) (Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos. Esbócese la gráfica de f.)
2.- Jun-05 (B).- C-3. - Estúdiese, según los valores de los números reales y , la continuidad
de la función f definida por
si 0
si 0 ( ) 1 1 /
x
x e
x
f x x
3.- Jun-06 (B).- C-3.- Sea f x ax bx cx d
3 2 (^) ( ). Determínense a , b , c y d para que la
recta y 1 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto ( 0 , 1 ), y la recta x y 2 0 sea
tangente a la gráfica de f en el punto ( 1 , 1 ).
4.- Sep-06 (B).- C-3.- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica
de la función 1
2
2
x
x f x en el punto x .
5.- Jun-07 (B).- C-1.- Hallar a y b para que la función f(x) sea continua en todo R.
ln 0
( )
si x x
sen x
b si x
a x x si x
f x
6.- Sep-07 (A).- C-3.- Determinar en qué puntos de la gráfica de la función
3 1
3 2 y x x x , la recta tangente a la misma es paralela a la recta y x 7.
7.- Jun-08 (A).- C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función
f(x) = x
3
- ax en el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = -3.
8.- Jun-08 (B).- Pr-2. - Dada
2
2
x x si x
si x x
senx
f x , se pide:
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x).
b) Hallar
2 2 x f ( x ) dx
9.- Sep-09 (A).- C-2.- Hallar los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de la
función f ( x )= x^3 es paralela a la recta de ecuación y=3x+2.
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10.- Jun-10-E (B).- E1. Calcular b y c sabiendo que la función
ln( 1 )
2
si x x
x
x bx c si x f x es derivable en el punto (^) x 0.
11.- Sep-10-E (B).- E1- De f:R → R se sabe que ' '( ) 2 2
2 f x x x y que su gráfica tiene
tangente horizontal en el punto P(1,2). Hallar la expresión de f.
12.- Jun-11- (B).- E2- a) Hallar el valor de los parámetros reales “a” y “b” para los que la
función
si x 0
si x 0
2
2
x b
x
senx ax
f x es continua en .
13.- Sep-11- (A).- E2- a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f ( x ) x 1 en
el intervalo 2 , 2 . Calcular la función derivada de f ( x )en ese intervalo.
14.- Jun-12- (A).- E2. Dada la función x
ae f x
x
2 , se pide:
a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x 0 valga 2.
15.- Jun-12- (B).- E1. b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la
gráfica de la función ( ) 2 3
3 2 f x ax x en los puntos de abscisas x 1 y x 1 sean
perpendiculares.
16.- Sep-12- (B).- E1. b) Determinar en qué puntos de la gráfica de la función
3 2 f (x) x x x la recta tangente a la misma es paralela a la recta y 4 x 7.
17.- Sep-12- (B).- E2. b) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la
función f dada por:
en el punto x=1.
18.- Sep-13- (B).- E3. b) Estudiar la continuidad de la función
En el intervalo
, , según los valores de k.
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TEOREMAS
EJERCICIOS PROPUESTOS
I) Teoremas que cumplen las funciones continuas: conservación del
signo, acotación, Weierstrass, Bolzano y Darboux.
1.- Jun-04 (A).- C-2.- Demuéstrese que las gráficas de las funciones
x f ( x ) e y
x
g x
( ) se cortan en un punto x > 0.
2.- Jun-06 (A).- C-4.- Demostrar que las curvas f (x) = sen x y x
g x
( ) se cortan en
algún punto del intervalo ) 2
3.- Sep-06 (A).- PR-2.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( x ) xe
x , sus
máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para todo x se tiene que
e
f (x) .
b) Pruébese que la ecuación 3 x e
x tiene alguna solución en (,1.
4.- Jun-07 (B).- PR-2.- Sea la función f(x)=x+e
-x .
(a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad
y convexidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica. )
b) Demostrar que existe algún número real c tal que c + e
-c = 4.
5.- Sep-07 (A).- PR-2.- Sea f la función dada por
2 2 ( )
x x f x e
.
(a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas de f. )
b) Determinar el número de soluciones de la ecuación f ( x ) 2 en el intervalo 0 , 1 .
6.- Sep-07 (B).- C-3.- Discutir si la ecuación x sen x 2 tiene alguna solución real.
7.- Jun-08 (B).- C-3. - Demostrar que la ecuación x
3
- x − 5=0 tiene al menos una
solución en el intervalo (1,2).
8.- Sep-09 (B).- C-3.- Probar que la ecuación 2 0
2009
x x e tiene alguna solución.
9.- Jun-10-G (A).- E2. a) Si el término independiente de un polinomio p ( x ) es -5 y el valor
que toma p ( x ) para x=3 es 7, ¿se puede asegurar que p ( x ) toma el valor 2 en algún punto del
intervalo [0,3]? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen.
10.- Jun-12- (B).- E2. b) Demostrar que la ecuación 1 0
2
x (^) x e tiene una única solución c
en el intervalo (^) 0 , 1 .
11.- Jun-13- (A).- E4. a) Estudiar el crecimiento de la función ( ) 3 3
3 2 (^) f x x x .
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b) Probar que la ecuación 3 3 0
3 2 x x tiene exactamente 3 soluciones reales.
12.- Jun-16- (A).- E3. b) Probar que la ecuación 1 0
5
x x tiene una única solución
real positiva.
EBAU
1.- Jun-17- (A).- E3. a) Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente.
b) Encontrar un intervalo en el que ( ) 1
6 4
Px x x tenga al menos una raíz.
II) Teoremas que cumplen las funciones continuas y derivables: Rolle,
Lagrange, Cauchy.
1.- Jun-05 (A).- C-4.- Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos,
demuéstrese que para x 0 se verifica: 2 1
arctg( 2 ) arctg( ) x
x x x
2.- Jun-11- (A).- E2. a) Estudiar si la función f : 0 , 2 dada por
1 si 1 x 2 2
2 x x
x si x
f x , verifica las hipótesis del teorema de Rolle.
Enunciar dicho teorema.
3.- Sep-13- (B).- E3. a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su
interpretación geométrica.
4.- Jun-15- (A).- E4. a) Sea g ( x ) una función continua y derivable en toda la recta real
tal que g (^0 )^0 y g (^2 )^2. Probar que existe algún punto “c” del intervalo (0,2) tal que
g ' ( c ) 1.
5.- Sep-15- (A).- E4. a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle.
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Sep-04 (A).- PR-2.- Sol.: a) No es derivable en x=0, ya que ' ( 0 ) '( 0 )
f f
2.- Jun-05 (B).- C-3. - Sol.: Continua para 0
3.- Jun-06 (B).- C-3.- Sol.: a=1, b=-1, c=0, d=-
4.- Sep-06 (B).- C-3.- Sol.: Tangente: y=0 (que es la recta horizontal coincidente con el eje OX.) Normal:
x = 0 (la recta vertical coincidente con el eje OY.)
5.- Jun-07 (B).- C-1.- Sol.: a=b=π
6.- Sep-07 (A).- C-3.- Sol.: (0,1) y (2,-1)
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
I) Teoremas que cumplen las funciones continuas
1.- Jun-04 (A).- C-2.- Sol. : Aplicar Bolzano para h(x)=f(x)-g(x)
2.- Jun-06 (A).- C-4.- Sol.: Aplicar Bolzano para h(x)=f(x)-g(x) en el intervalo
.
3.- Sep-06 (A).- PR-2.- b) Sol.: Aplicar Bolzano a la función
x f (x) 3 x e en el intervalo (,1
4.- Jun-07 (B).- PR-2.- b) Sol.: cumple el teorema de los valores intermedios en el intervalo 0 ,
5.- Sep-07 (A).- PR-2.- b) Sol.: La función g( x) e 2
2 x x^2
cumple el teorema de Bolzano en
el intervalo 0 , 1 , por lo que al menos tiene una raíz en ese intervalo. Como siempre es creciente en ese
intervalo (puesto que lo es f(x)), entonces tiene únicamente una raíz. Por lo tanto la ecuación f ( x ) 2
tiene únicamente una solución real en 0 , 1 .
6.- Sep-07 (B).- C-3.- Sol.: La función g( x) x sen x 2 cumple el teorema de Bolzano en el
intervalo
, por lo que al menos tiene una raíz en ese intervalo. Por lo tanto la ecuación
x sen x 2 tiene al menos una solución real
.
7.- Jun-08 (B).- C-3. - Sol.: Aplicando Bolzano a f(x)= x^3 + x − 5 en el intervalo (1,2)
8.- Sep-09 (B).- C-3.- Sol.: Aplicando Bolzano a f(x) en el intervalo 2 , 0 .
9.- Jun-10-G (A).- E2. Sol.: Aplicando Bolzano a f ( x ) p ( x ) 2 en el intervalo 0 , 3 .
EBAU
1.- Jun-17- (A).- E3. b) Por ejemplo (0,1)
II) Teoremas que cumplen las funciones continuas y derivables
1.- Jun-05 (A).- C-4.- Sol.: (^) f ( x ) arctgxcumple las hipótesis del teorema en (x,2x); luego (^) c ( x , 2 x ) tal que
() 2
2 f c x x
arctg x arctgx
1
2 2 conx c x c
x arctg x arctgx
Entonces, para c=x
, 1
(^2 ) x
x arctg x arctgx
ya que 1 x^2 1 c^2
2.- Jun-11- (A).- E2. a) Sí verifica el teorema.
