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PÁGINA 139
R A C T I C A
F i g u r a s s e m e j a n t e s
1 ¿Cuáles de estas figuras son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?
F 1 es semejante a F 3. La razón de semejanza es.
2 a) ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior?
b) ¿Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea 2,5?
a) No. La razón entre los catetos es en el interior y en el exterior.
b) 2 · 2,5 = 5 3 · 2,5 = 7, Los catetos medirán 5 y 7,5 unidades.
3 Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un mar-
co de 2,5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente.
6?^8 No son semejantes.
9
11
14
F 1 F 2 F 3
P
Pág. 1
4 Un joyero quiere reproducir un broche como el de la fi-
gura a escala 1,5. a) Haz un dibujo de la figura ampliada. b) Calcula su superficie.
a)
b) S ORIGINAL = π · 1 2 + · 2 + · 2 + · 1 =
= π + 3 + 4 + ≈ 11,1 u 2
S AMPLIADA = 11,1 · 1,5^2 ≈ 24,91 u^2
5 En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es
2,5 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ellas? b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es 360 km?
a) x = 2,5 · 1 500 000 = 3 750 000 cm = 37,5 km
b) x = = 24 cm
6 En el plano de un piso cuya escala es 1:200, el salón ocupa una superfi-
cie de 7 cm 2. ¿Cuál es la superficie real del salón? 7 · 200^2 = 280 000 cm^2 = 28 m^2
7 Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, ¿qué área ocupará
en un plano de escala 1:25?
Área = = 20 625 cm 2
En el plano ocupará 20 625= 33 cm^2. 252
° ¢ £
36 000 000 8 x
° ¢ £
2,5 8 x
)
) ( 2
) ( 2
( 2
Pág. 2
11 ¿Por qué son semejantes los triángulos ABC
y AED****? Halla el perímetro del trapecio EBCD****.
Porque son rectángulos con un ángulo agudo común, A ^
. Tienen los tres ángulos iguales.
- Hallamos aplicando el teorema de Pitágoras:
= = 8 cm; = 8 + 17 = 25 cm
- = 8 = 8 80 + 8 x = 250 8 8 x = 170
x = 21,25 8 = 21,25 cm
- = 8 = 8 = = 18,75 cm
- Perímetro de EBCD = 17 + 18,75 + 21,25 + 6 = 63 cm
12 En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es 3/4. Halla el
perímetro de otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide 54 cm.
= 8 x = = 72 cm mide el cateto mayor.
h = = 90 cm mide la hipotenusa.
Perímetro = 54 + 72 + 90 = 216 cm
13 La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es
150 cm^2 , ¿cuál es el área del menor?
El área del menor es 15 ·
2 (^2) ) = 24 cm (^2). ( 5
√ 54 2 + 72^2
x
3
(^4) 54 cm
x
25 BC
BC
AB
AE
BC
ED
DC
10 + x 10
AB
EA
AC
AD
EA √ 10 2 – 6^2 AB
EA
A
C D
E
B
6 cm 10 cm
17 cm
Pág. 4
14 Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD.
a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB y ODC****. b) Calcula x e y****. a) Son semejantes porque tienen un ángulo igual, = por ser opuestos por el vértice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos.
b) = 8 x = ≈ 5,08 cm
= 8 y = ≈ 7,48 cm
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15 Si BD es paralelo a AE , y AC
= 15 cm, CE
= 11 cm y BC
= 6,4 cm:
a) Calcula CD
b) ¿Podemos saber cuánto vale AE
sin medirlo direc- tamente? c) Si A^^ = 37° y C ^ = 80°, calcula E ^ , B ^ y D ^ .
a) Los triángulos ACE y BCD son semejantes.
Por tanto: = 8 = 8 = ≈ 4,69 cm
b) No podemos saber lo que mide AE porque no conocemos la medida del lado co- rrespondiente, BD.
c) E ^ = 180° – (37° + 80°) = 63°; B ^ = A ^ = 37°; D ^ = E ^ = 63°
16 Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm,
respectivamente. Si el área del primero es 26 cm^2 , ¿cuál es el área del segundo?
Razón de semejanza = = 1,
Área del segundo = 26 · 1,7 2 = 75,14 cm^2
11 CD
CD
CE
CD
AC
BC
A
B
C
D
E
y 10,
x 7,
ì COD
ì AOB
C
B
A O (^) y D
10,6 cm x
8 ,5 cm
6 cm 7,2 cm
Pág. 5
Te o r e m a d e l c a t e t o y d e l a a l t u r a
En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura BH so- bre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y****.
(^2) = 2,1 · 7,8 8 ≈ 4,05 m
En el triángulo ABH , x^2 = 2,1^2 + 4,05^2 8 x ≈ 4,56 m En el triángulo BHC , y^2 = 7,8 2 + 4,05^2 8 y ≈ 8,79 m
Por el teorema del cateto: 3,2^2 = 4,8 x 8 x ≈ 2,13 m En el triángulo ABH , y^2 = 3,2^2 – 2,13^2 8 y ≈ 2,39 m
Por el teorema de la altura: 122 = x · 9 8 x = 16 m En el triángulo ABH , y^2 = 12^2 + 16^2 8 y = 20 m
22 Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la
hipotenusa. a) Calcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50 cm y el cateto mayor 40 cm. b) La hipotenusa mide 25 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipo- tenusa 9 cm. Halla el cateto mayor. c) La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto me- nor sobre la hipotenusa, 4,5 cm. Halla la hipotenusa.
A C
B
x H
y
9 m
12 m
A C
B
x H
y
4, 8 m
3,2 m
BH BH
A C
B
H
x y 7, 8 m
2,1 m
Pág. 7
a) 40 2 = 50 · x 8 x = 32 cm Proyección de AB sobre AC : 50 – 32 = 18 cm
O bien: AB
= = 30 cm 302 = 50 · y 8 y = 18 cm
b) La proyección de y sobre la hipotenusa es: 25 – 9 = 16 cm Por el teorema del cateto: y^2 = 25 · 16 8 y = 20 cm
c) Por el teorema de la altura: 6 2 = 4,5 · x 8 x = 8 cm Hipotenusa = 4,5 + 8 = 12,5 cm
23 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 m y su proyección
sobre la hipotenusa mide 7,2 m. Calcula el área y el perímetro del triángulo.
Por el teorema del cateto: 12 2 = 7,2 x 8 x = 20 m y^2 = 20^2 – 12^2 8 y = 16 m
Área = = 96 m^2
Perímetro = 16 + 12 + 20 = 48 m
7,2 cm
12 cm
x
y
4,5 cm
6 cm x
9 cm 25 cm
x y
√ 50 2 – 40^2
50 cm
40 cm
y x
B
A C
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26 Para medir la altura de la
casa, Álvaro, de 165 cm de altu- ra, se situó a 1,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. ¿Cuánto mide la casa?
a = 3,5 – 1,65 = 1,85 m
= 8 h = = 32,68 m
Altura de la casa: 32,68 + 1,65 = 34,33 m
27 Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB fija-
mos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas AP = 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. ( MN es paralela a AB ). Halla la distancia AB****.
Los triángulos APB y MPN son semejantes. Por tanto:
7,2 km =^8 =^ = 25 km
12 km
P
M N
A B
15 km 15 · 12 7,
15 AB
AB
A B
M N
P
25 m 1,5 m
1,65 m
3,5 m
h
a
x (^) 26,5 · 1, 1,
h 1,
25 m
3,5 m
1,5 m
Pág. 10
28 El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide
14 m. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m.
Altura del triángulo: h^2 = 25^2 – 7^2 8 h = 24 m
Área = = 168 m 2
Razón de semejanza = =
Área del triángulo semejante = 168 ·
2 = 378 cm^2
29 Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero mi-
den 24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m. Perímetro del triángulo ABC : 24 + 28 + 34 = 86 m
Razón de semejanza: =
Lados del triángulo PQR : 24 · = 36 cm; 28 · = 42 cm; 34 · = 51 cm
30 Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 48 m^2 y 108 m^2. Si el
lado desigual del primer triángulo es 12 m, ¿cuál es el perímetro del segundo?
Razón de semejanza: = 1,
Lado desigual del segundo: 12 · 1,5 = 18 cm
Altura del segundo: 108 = 8 h = 12 cm
Lados iguales del segundo: x^2 = 12^2 + 9^2 8 x = 15 cm Perímetro del segundo: 18 + 15 + 15 = 48 cm
31 De un cono de radio 5 cm hemos cortado otro cono
de radio 2 cm y altura 3 cm. Calcula el volumen del cono grande.
Calculamos la altura del cono grande, x :
= 8 x = = 7,5 cm
Volumen = π R^2 h = 1 π · 5 2 · 7,5 = 62,5π cm^3 3
x 3
3 cm 2 cm
5 cm
18 · h 2
x 12 m
18 m
√ 48
)
( 2
25 m 25 m
14 m
h
Pág. 11
35 En una esfera de 15 cm de radio hemos inscrito un
cono de altura 12 cm. Calcula su área lateral. Radio de la esfera: 15 cm = 30 – 12 = 18 cm Calculamos el radio del cono utilizando el teorema de la al- tura en el triángulo ABC :
r^2 = 12 · 18 8 r ≈ 14,7 cm Generatriz del cono: g^2 = 12^2 + 14,7^2 8 g ≈ 18,98 cm Área lateral del cono: π rg = π · 14,7 · 18,98 ≈ 279 π cm 2
36 En una esfera de 24 cm de diámetro se inscribe
un cono cuya generatriz mide 10 cm. Calcula el volumen del cono. Para calcular la altura del cono, aplicamos el teorema del ca- teto en el triángulo rectángulo ABC :
10 2 = h · 24 8 h ≈ 4,17 cm Radio del cono: r^2 = 10^2 – 4,17^2 8 r ≈ 9,09 cm
V CONO = π · 9,09 2 · 4,17 ≈ 114,85π cm 3
37 Sobre una esfera de 20 cm de radio se encaja un
cono de30 cm de altura. Halla el área del casquete esféri- co que determina el cono. Para hallar x , aplicamos el teorema del cateto en el triángu- lo rectángulo ABC :
202 = (30 + x ) x 8 400 = 30 x + x^2
x^2 + 30 x – 400 = 0 8 x = =
Altura del casquete = 20 – 10 = 10 cm Área del casquete = 2π R h = 2π · 20 · 10 = 400π cm 2
–40 No vale. 10 cm
30 cm
10
24
A B
C
D h r
10 cm
12
A
B
C
D r
x
12 cm
DC
Pág. 13
30
20
A
B x C
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38 Resuelto en el libro de texto.
39 En el triángulo ABC , rectángulo en A , conocemos AH
= 18 cm y HB
= 32 cm.
a) Calcula CH
en el triángulo ABC****. Obtén CB
b) Con el teorema de Pitágoras, obtén AC
en el triángulo AHC y AB
en el triángulo AHB. c) Aplica el teorema del cateto en el triángulo rectángulo AHB para obtener AP
. Calcula PH
d) Halla el área y el perímetro del trapecio APHC.
a) Por el teorema de la altura: (^2) = · 8 18 2 = · 32 8 = 10,125 cm
= + = 32 + 10,125 8 = 42,125 cm
b) 2 = 2 + 2 8
8 = 8
8 ≈ 20,65 cm
= 8 ≈ 36,72 cm
c) 2 = · 8 = = ≈ 8,83 cm
= = 8 ≈ 15,69 cm
d) Perímetro ( APHC ) = + + + = 55,295 cm
Área ( APHC ) = · = 15,69 + 20,65· 8,83 ≈ 160,44 cm 2 2
AP
PH +
AC
A
P
C
H
CH HP PA AC
√ √ 18 2 – 8,83^2 HP
HA^2 –
HP PA^2
AH^2
AB
AH AB AP AP
A P
H 32 cm B
18 cm
AB √ 18 2 + 32^2 AB
AC
AC √ 18 2 + 10,125 2
AC AH CH
CB CH HB CB
AH CH HB CH CH
A P
B
C H
32 cm
(^18) (^) cm
Pág. 14
42 En estas dos circunferencias concéntricas, el ra-
dio de la mayor es el triple de la menor. Hemos trazado el diámetro AC y la cuerda BC , que es tangente a la circunferencia interior. Si AB = 10 cm, ¿cuánto miden los radios de cada circunferencia?
Los triángulos ABC y OPC son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agu- do común. Si = r 8 = 3 r 8 = 6 r
= 8 = 8 10 = 2 r 8 r = 5
Los radios miden 5 cm y 15 cm.
43 Las diagonales de un rombo miden AC
= 32 cm y BD
= 24 cm. Por un punto P de la diagonal menor, tal que PD
= 9 cm, se traza una paralela a la diagonal AC , que corta en M y N a los lados AD y CD****. Calcula el área y el perímetro del pentágono MABCN.
Los triángulos AOD y MPD son semejantes. Por ello:
= 8 = = 12 cm
= = 20 cm
= = 15 cm 8 = 20 – 15 = 5 cm
Perímetro MABCN = 2( + + ) = 2(5 + 20 + 12) = 74 cm
Área pentágono = Área rombo – Área triángulo MND =
= – 9 · 12· 2 = 384 – 108 = 276 cm^2 2
MA AB MP
MD √ 12 2 + 9^2 MA
AD √ 16 2 + 12^2
MP MP
24 cm
9 32 cm
16 12
N
O P
M
D B
A
C
A C
B
O
P r^6 r 3 r
r
AC
OC
AB
OP
OP OC AC
A C
B
O
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44 En un trapecio rectángulo, la diagonal menor es perpendicular al lado
oblicuo, la altura mide 12 cm y la diferencia entre las bases es de 9 cm.
Calcula el perímetro y el área del trapecio.
En el triángulo ACD : 122 = x · 9 8 x = 16 cm 8 = 9 + 16 = 25 cm En el triángulo CHD : l^2 = 12^2 + 9^2 8 l = 15 cm
Perímetro del trapecio: + + + = 12 + 16 + 15 + 25 = 68 cm
Área del trapecio: · 12 = 246 cm^2
45 Los lados de un triángulo ABC miden:
AC
= AB
= 36 cm, CB
= 42 cm Desde un punto M de AB se traza una paralela a AC , que corta al lado BC en un punto N****. ¿Cuánto deben medir los lados del triángulo MBN para que su área sea 1/9 de la del triángulo ABC****?
= 8 k^2 = 8 k =
36 · = 12 cm; 42 · = 14 cm
MB = MN = 12 cm; NB = 14 cm
Área MNB Área ABC
42 cm
36 cm 36 cm
N
A
C B
M
AB BC CD AD
AD
9 cm 12 cm x
x C
H D
B
A
12 cm
l
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49 Dibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado
opuesto. Así obtendrás un nuevo triángulo más grande. a) Justifica por qué es semejante al inicial. b) ¿Cuál es la razón entre las áreas?
a) porque tienen sus lados paralelos.
Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes porque sus ángulos son iguales.
b) = 4
50 Justifica en cuáles de los siguientes casos podemos asegurar que los trián-
gulos ABC y A'B'C' son semejantes:
a) = , C ^ = C ^ ' b) = , A ^ = A ^ '
c)? , B^^ = B^' d) A^^ = A^' , B^^ = B^'
En b), porque tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman. En d), porque tienen los tres ángulos iguales.
51 Hemos aplicado una homotecia al cuadrilátero ABCD para obtener el
cuadrilátero A'B'C'D'****.
O
B D
C
A
A'
B' D'
C'
BC
B'C'
AB
A'B'
AB
A'B'
AC
A'C'
BC
B'C'
AB
A'B'
Área A'B'C' Área ABC
° § ¢ § £
A
^ = A ^ ' B ^ = B ^ ' C ^ = C ^ '
C
C´
B
B´
A A´
Pág. 19
a) ¿Cuál es el centro y cuál es la razón? b) Justifica que ABCD y A'B'C'D' son semejantes.
a) El centro es O. La razón es =
b) Porque:
= = = = 8 = = = =
52 Halla el centro y la razón de homotecia que transforma el rectángulo
ABCD en A'B'C'D'****.
El centro de la homotecia es O , punto de corte de las rectas AA' , BB' , CC' y DD'.
Razón: = 2
R O F U N D I Z A
53 Desde un punto P trazamos tangentes
a dos circunferencias tangentes exteriores. Si OP
= 12 cm y O'A'
= 5 cm, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia menor?
Los triángulos OAP y O'A'P' son semejantes por ser rectángulos con un ángulo agudo común.
= 8 60 = 17 r + r^2 8 r^2 + 17 r – 60 = 0
r = =
El radio de la circunferencia menor mide 3 cm.
–20 (no vale) 3
17 + r 12
r
O' P
A'
O r
5 + r
5
12
A
P O'
A'
O
A
P
A
O
D
B
C
A' B'
D' C'
OA'
OA
A
D B
C
A' B'
D' C'
A'B'
AB
B'C'
BC
A'D'
AD
C'D'
CD
OD'
OD
OB'
OB
OA'
OA
OC'
OC
OC'
OC
Pág. 20
