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Tema 3
EL ESPACIO VECTORIAL ℜn
Vector. Definición
- Llamamos vector (fila o columna) de n
componentes a un conjunto ordenado de n
números reales escritos de la manera siguiente:
(x 1 , x 2 , ... , xn)
- Los números xi se llaman componentes del vector.
- El conjunto de vectores de n componentes se llama
espacio vectorial ℜn.
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Suma de vectores
Dados dos vectores
u=(x 1 , x 2 , ... , xn) y v=(y 1 , y 2 , ... , yn) ambos de ℜn,
definimos la suma como el vector
u + v =(x 1 + y 1 , x 2 +y 2 , ... , xn +yn)
Ejemplo: u=(1, 2, 3) y v=(–1, 0, 4)
u + v =(1–1, 2+0, 3+4) = (0, 2, 7)
Suma de vectores. Interpretación geométrica en ℜ^2
(3, 1) w
(1, 2) v
(4, 3)
v+w
1 2 3 4
3
x
y
2 1
Supongamos los vectores v=(3, 1) w=(1, 2). Encuentre el vector v+w. ¿Cuál es la interpretación gráfica de la suma? v+w =(1, 2) +(3, 1)=(4, 3)
Esta figura nos muestra que sumar vectores implica construir un paralelogramo.
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Propiedades de la suma de vectores: Es conmutativa Es asociativa Tiene elemento neutro 0 = ( 0, 0, …, 0) Tiene elemento opuesto: − u= (−x 1 , − x 2 , …, − xn) Propiedades del producto de vectores por un escalar: λ (u + v) = λ u + λ v (λ 1 + λ 2 ) u = λ 1 u + λ 2 u (λ 1 · λ 2 ) u = λ 1 (λ 2 u ) 1 · u = u
Propiedades de los espacios vectoriales
- El producto del escalar 0 por cualquier vector es el
vector nulo.
- El producto de cualquier escalar por el vector
nulo, es el vector nulo
- Si el producto de un escalar por un vector es el
vector nulo, entonces el escalar es 0 ó el vector es
nulo.
- El opuesto de cualquier escalar por un vector es
igual al opuesto de su producto: (–α) v= – (α v)
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Combinación lineal
Diremos que un vector v de ℜn^ es una combinación lineal de los vectores {v 1 , v 2 , ..., vn} si existen n escalares αi tales que:
α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αn vn= v
Los escalares αi se llaman coeficientes de la combinación lineal.
Ejemplo: El vector (1, 5) es combinación lineal de los vectores (2, 10) y (–1, –1). Así:
(1, 5)= ½ (2, 10) + 0 (–1, –1)
Dependencia e independencia lineal
Dado un conjunto vectores S={v 1 , v 2 , ... , vn} ∈ V se dice que es:
♦ Linealmente dependiente si al menos un vector de S se puede escribir como combinación lineal de los restantes. Esto equivale a decir que existen escalares α 1 , α 2 , ... , αn no todos nulos tales que
α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αn vn= 0
♦Linealmente independiente si ningún vector se puede escribir como combinación lineal de los restantes. Esto es, siempre que la ecuación:
α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αn vn= 0
se verifique sólo para α 1 =0, α 2 =0, ... , αn = 0
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Dependencia e independencia lineal. Ejemplo 2
Determine si los vectores
v 1 (1, –2, 3), v 2 (5, 6, –1) v 3 (3, 2, 1)
Forman un conjunto linealmente dependiente o independiente.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
α α α α α α
α α α α α α α α α
α α α α α α α α α
v v v 0
Dependencia e independencia lineal. Ejemplo 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
El sistema anterior es compatible indeterminado. Ello significa que existen infinitas soluciones. Como consecuencia, el sistema tiene soluciones distintas de la trivial y por tanto v 1 , v 2 y v 3 forman un conjunto linealmente dependiente.
1 5 3 2 6 2 0 ( ) 3 3 1 1
A A rg A
= ^ − = ⇒ < (^) −
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Bases
Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que genera todos los vectores del espacio.
Esto significa que podemos expresar cualquier vector del espacio vectorial dado como una combinación lineal única de los vectores que forman la base.
B={v 1 , v 2 ,…,vn} es base ⇔ ∃! λ 1 , λ 2 ,… λn tal que v= λ 1 v 1 +…+ λn vn
En el caso particular de ℜ^2 , una base estará formada por dos vectores linealmente independientes.
El número de vectores que pertenecen a una base de un espacio vectorial finito se denomina dimensión del espacio.
Bases
En general diremos que en un espacio n-dimensional, n vectores linealmente independientes forman una base en ese espacio.
Si S = {v 1 ,v 2 ,...,vn} es una base para un espacio vectorial V, entonces todo conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente.
Dos bases cualesquiera para un espacio vectorial de dimensión finita tienen el mismo número de vectores.
La base canónica para ℜn^ contiene n vectores. Por consiguiente, toda base para ℜn^ tiene n vectores.
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Ejercicio (cont.)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 3
1 2 2 3 3 3
1 2 3 3 2 3
1 2 3 3 2 3
1 2 3
Solucion unica: 0
λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ
Ejercicio (otra forma de probar independencia
lineal)
El concepto de dependencia / independencia lineal de vectores está íntimamente vinculado al concepto de singularidad de las matrices que vimos en el tema 1. Al inicio del curso habíamos definido que una matriz cuadrada A era no singular si det A ≠ 0. Y habíamos definido el rango como el menor no nulo de mayor orden que se podía construir de la matriz A.
Ahora podemos definir al rango del siguiente modo:
Es el número máximo de columnas (filas) linealmente independientes.
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Ejercicio 3 (continuación)
A A
= ^ − = − =
El rango de la matriz A es 3, por tanto tiene 3 vectores linealmente independientes.
Cambio de base
Si se cambia la base para un espacio vectorial V, de
cierta base B = {u 1 , u 2 , ..., un} hacia otra nueva base
B’ = {u’ 1 , u’ 2 , ..., u’n}, entonces la matriz de
coordenadas inicial [v]B de un vector v está
relacionadas con la nueva matriz de coordenadas [v]B’
por medio de la ecuación:
[v]B’ =P [v]B
Donde las columnas de P son las matrices de
coordenadas de los vectores base iniciales con relación
a la nueva base.
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Cambio de base. Ejemplo
+2 =
α β α β
α = 2 −β
2 2 =
2+ 7
5 2 5 3
β β
β
β α
− +
=
= = − = −
De la segunda ecuación: Reemplazando en la primera ecuación:
Por tanto [v]B’= (–3,5)
Cambio de base. Ejemplo 2
Considere las bases: B = {u 1 , u 2 }= {(1,0), (0,1)} y
B’ = {u’ 1 , u’ 2 }= {(1,1), (2,1)}
Ahora exprese el vector v=(–3, 5), dado en la base B’, en la base B Ahora lo que me dan el el vector en una base distinta de la canónica y lo tengo que expresar en la canónica. Por tanto,
[v]B= –3 u’ 1 + 5 u’ 2
[v]B= –3 (1,1)+ 5 (2,1) [v]B= (–3, –3 )+ (10, 5)
[v]B= (7, 2)
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Llamamos producto interior de dos vectores u=(x 1 , x 2 , ... , xn) y v=(y 1 , y 2 , ... , yn) a
< u, v >= u · v = ut^ v= x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + xn yn
Propiedades:
<u 1 +u 2 , v> = <u 1 , v> + <u 2 , v>
<u, v 1 +v 2 > = <u, v 1 > + <u, v 2 >
<α u, v> = < u, α v> = α < u, v> α∈ℜ
< u, v> = < v, u>
< u, u> ≥ 0 ; < u, u> =0 ⇔ u=
Llamamos norma euclídea o módulo (o longitud) del vector u=(x 1 , x 2 , ... , xn) al valor 2 1
n i i
x
=
u = + < u u> = + (^) ∑ Ejemplo. Sean u=(1, 3) v=(1, 3, –1)
u = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 v = 12 + 32 + −( 1) 2 = 1 + 9 + 1 = 11 Propiedades: ∀ u ∈ ℜn, ||u||^2 = <u, u> ∀ u ∈ ℜn, ||u|| ≥ 0 ; ||u|| = 0 ⇔ u= ∀ u ∈ ℜn, ∀ α∈ℜ, ||α u|| = |α| ||u||, ∀ u, v ∈ ℜn, ||u+v|| ≤ ||u|| + ||v|| (Desigualdad triangular) ∀ u, v ∈ ℜn, |<u+v>| ≤ ||u|| · ||v|| (Desigualdad de Schwartz)
Ortogonalidad de vectores en ℜ^2
Sean v=(v 1 , v 2 ) y w(w 1 , w 2 ) dos vectores de ℜ^2. Denotemos con α el ángulo entre v y el eje horizontal y con β al ángulo entre w y el eje horizontal. El ángulo entre los dos vectores viene dado por φ= α – β. Dado que la longitud de v y w es v = v 1 2 +v^22 w = w 1 2 +w 22 Si aplicamos la definición de seno y coseno, obtenemos: cos α = v^1 v cos β = w^1 w sin^2 α = v v
sin α = w^2 w Una igualdad trigonométrica nos dice que: (^) cos ( β − α )= cos α cos β +sin α sinβ cos (^) ( ) cos^1 1 2 2 1 1 2 v w v w v w v w^ T β − α = φ = (^) v w + (^) v w = (^) v +w = (^) vv ww
Si v y w son perpendiculares (entre ellos forman un ángulo de 90º), cos φ = 0. Consecuentemente vT^ w = 0.
