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Doble Grado en Derecho y Finanzas y Contabilidad. Matemáticas 1
TEMA 1: VECTORES
El Álgebra Lineal se fundamenta en el estudio de conceptos tales como vectores, matrices y determinantes, de gran importancia desde el punto de vista estrictamente matemático y con aplicación al estudio riguroso de diversos problemas de carácter económico. Por ello, y debido al carácter multidimensional de las variables económicas, este primer tema está dedicado al estudio de los vectores.
Consideremos el siguiente ejemplo:
En este ejemplo, se utilizan los vectores y las operaciones con vectores, que definimos a continuación.
1-1: Definición de R n. Operaciones con vectores.
Definición.- El conjunto R n es el producto cartesiano n
n R ×L× R = R , cuyos
elementos son las n -uplas de números reales ( x 1 ,..., xn ), xi ∈ R , i = 1 ,..., n , llamados
vectores de n componentes.
Ejemplo: Una empresa de ventas tiene tres centros de distribución. Las ventas trimestrales de un ejercicio se recogen en la siguiente tabla:
Vta centro1 Vta centro2 Vta centro 1º trimestre 100 20 48, 2º trimestre 80 10,1 50 3º trimestre 78,2 25 54 4º trimestre ¿? ¿? ¿?
Las ventas del último trimestre, no conocidas aún, se estiman un 20% mayores que las del tercer trimestre
4º trimestre 1’20·78’2 1’20·25 1’20·
Es decir, 4º trimestre 93’84 30 64’
Las ventas anuales, se estimarían entonces como suma de las de los cuatro trimestres
Anual 100+80+78’2+93’84 20+10’1+25+30 48’5+50+54+64’
Por tanto, Anual 352’04 85’1 217’
2 Economía Aplicada III
Operaciones con vectores:
Definición.- Sean x = ( x 1 ,..., xn ), y =( y 1 ,..., yn ) ∈ Rn, λ ∈ R. Se definen las
siguientes operaciones
Suma de vectores: ( x 1 ,..., xn ) + ( y 1 ,..., yn ) =( x 1 + y 1 ,..., xn + yn )
Producto de un número por un vector : λ ⋅( x 1 ,..., xn ) =( λ x 1 ,...,λ xn )
Ejemplos. a) (-1,10) es un vector con dos componentes, es decir, de R^2
b) (0,2,5,7) es un vector de R^4
c) En el ejemplo anterior, para cada trimestre hay tres datos de ventas y, por tanto, para aportar la máxima información contable, cuando nos refiramos a las ventas trimestrales podemos utilizar un vector de tres componentes. Tendremos así
t 1 =(100, 20, 48’5), t 2 =(80,10’1, 50), t 3 =(78’2, 25, 54)
Ejemplos. a) Sean los vectores de R^3 u = (1,2,-3) y v = (8,-2,0). La suma u+v y el producto 4 u son también vectores de R^3 u+v = (1,2,-3) + (8,-2,0)= (1+8,2+(-2),-3+0)= (9,0,-3) 4 u= 4(1,2,-3)= (4,8,-12)
b) Dados los vectores de venta del primer ejemplo de este tema t 1 =(100, 20, 48’5), t 2 =(80,10’1, 50), t 3 =(78’2, 25, 54)
Como las ventas del tercer trimestre se incrementan en un 20% en el cuarto trimestre, se calculan como el producto de un número por un vector
t 4 = 1’20·t 3 = 1,20·(78’2, 25, 54) = (1’20·78’2, 1’20·25, 1’20·54) = (93’84, 30, 64’8)
Y las ventas anuales serían la suma de los cuatro vectores
t 1 +t 2 +t 3 +t 4 = (100, 20, 48’5)+(80,10’1, 50)+(78’2, 25, 54)+ (93’84, 30, 64’8)= = (100+80+78’2+93’84, 20+10’1+25+30, 48’5+50+54+64’8)=(352’04, 85’1, 217’3)
4 Economía Aplicada III
Propiedades. Sean x ,y ∈ Rn^ , λ∈ R
- x ,y = y,x
- x ,y + z = x,y + x,z
- λ x ,y =λ x,y
- x,x > 0 , ∀ x ≠θ
Propiedades. Sean x ,y ∈ Rn^ , λ∈ R
- x > 0 , ∀ x ≠θ , θ = 0
- λ x =λ x
- x + y ≤ x + y
Definición.- Dado x = (^ x 1 ,..., xn )^ ∈ Rn , se llama norma del vector x , y se denota
x , al número real x = + 〈 x , x 〉=+ x 12 +L+ xn^2
Definición.- Dados los vectores x = ( x 1 ,..., xn ), y =( y 1 ,..., yn ) ∈ Rn , se llama
distancia entre x e y , y se denota d ( x,y ), al número real
d ( x,y ) = x − y =+ x − y,x − y.
Ejemplo. Dado el vector y = (-3,4), la norma del vector y es y = + 〈 y,y 〉=+ ( − 3 )^2 + 42 =+ 25 = 5
Ejemplo. Dados los vectores x = (1,-5) e y = (-3,4), la distancia entre x e y es
d ( x,y ) = x − y = ( 1 −(− 3 ) , − 5 − 4 ) = ( 4 , − 9 ) =+ 42 +( − 9 ) 2 =+ 97
