MATERIAL DE ESTUDIO COMPLEMENTARIO, Monografías, Ensayos de Matemáticas

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Presentación

© SANTILLANA 163

En la vida cotidiana, las cantidades que se manejan sonexpresadas con números que fácilmente pueden con-trolarse en las mentes. Sin embargo, cuando se trata de cuantificar lo muy grande o muy pequeño, se identificanmedidas que se salen de las manos y comienza a volv-erse complicado el representarlas con números. Así, en Astronomía, las distancias, las áreas y volúmenes sonconsiderablemente grandes. Debido a esto, el uso de larepresentación con exponentes es bastante común. Por ejemplo, escribir que el número de estrellas en el uni-verso visible es de 1se facilita al escribir 1 (^000) # 10 00021 ; en igual forma, el tamaño 000 000 000 000 000, promedio de una glóbulo rojo es de 0.0000075 mm quees equivalente a 7.5 # 10 - (^6).

En esta unidad se abordará la forma de cómo escribirnúmerospequeñas haciedo uso de los exponentes. que representan cantidades muy grande o

Naturalista, intrapersonal y espacial

Cantidades muy grandeso pequeñas

Consulta por lo menos dos revistas científicas:Para responder t
t
Realiza una lectura rápida de los artículos que tellamen la atención. Escribe en tu cuaderno todos los números de cantidades que te parecen muy grandes o pequeñas. 162 © SANTILLANA

Unidad

(^) Utilicemos los exponentesTemas de la unidad ExponentesPotenciación de números enteros t
Propiedades de la potenciación en Z Potenciación de números racionales t
Notación científica Propiedades de la potenciación en Q (^7) t
t
Operaciones en notación científicaUso de la calculadora

Así está organizado tu libro

Organización de los contenidos

• Este logo indica qué actividades promueven el desarrollo de tus inteligencias.

Bloque: Números y operaciones

164 © SANTILLANA

Alto

Para pensar Exponentes Representa el número de veces que se debe multiplicar la base por sí misma.

1. Exponentes positivos Para encontrar el valor de la expresión numérica exponencial, cuando la base tiene un exponente positivo o mayor que cero (que indique el exponente. n > 0), se multiplica la base el número de veces En general: an^ = a # a # a # … a donde a = base y n = exponente positivo.

Realiza las multiplicacionessiguientes.

- • 22 ## 22 = # 2 = - ¿Qué observas? 2 # 2 # 2 # 2 =

Sigue Sigue

Alto

Resolver y escribir cómo se lee.a. 9 2 El número 9 es la base y 2 el exponente que indicael número de veces que se multiplicará la base. b. 7 Así, 9 3^2 =^9 #^9 =^ 81 y se lee 9 al cuadrado. En este caso, 7 es la base y 3 es el exponente queindica el número de veces que 7 se multiplicará. c. Así, 7 - 5 4^3 =^7 #^7 #^7 =^ 343 y se lee 7 al cubo. Aquínúmero de veces que la base se multiplicará. - 5 es la base y 4 el exponente que indica el Así,la cuarta. - 54 = - 5 # - 5 # - 5 # - 5 = 625 y se lee - 5 a d. 11 El número 11 es la base y 3 el exponente que significa 3 el número de veces que se debe multiplicar la base.Así, 11 3 = 11 # 11 # 11 = 1 331 y se lee 11 al cubo. e. 13 2

Escribir en forma de potencia los siguientes productos.a. ( - 3) # ( - 3) Acá, (veces que se repite el factor simboliza el exponente.-3) es el factor que representa la base y las 2 b. ( Así, (- 2) - #3) ( -^ # 2)^ (- #3) ( -^ = 2)^ - #^3 2 ( - 2) El factor (repite representa el exponente.-2) representa la base y las 4 veces que se c. 7 Así, ( # 7 - #2) 7^ # #^ ( - 7 #2) 7^ # #^ (- 7 2)^ #^ (-2)^ =^ (-2)^4 El factor 7 representa la base y las 6 veces que serepite representa el exponente. d. ( Así, 7- 6) #^ # 7 ( -^ # 6)^7 #^ # (^ -^7 # 6)^7 #^ # ( -^7 6) =^ #^76 ( - 6) El factor (5 veces que se repite representa el exponente.-6) representa la base de la potencia y las e. Así, ( a # a - #6) a^ # #^ ( - a #6) # a^ (-6)^ #^ (-6)^ #^ (-6)^ =^ (-6)^5 Lay las 5 veces que aparece representa el exponente. a es el factor que representa la base de la potencia f. 9 Así, # 9 a^ ## a 9^ ##^ 9 a^ ##^ 9 a^ ## 9 a^ =# a 9^5

1 2

¿Dudas? Sí No ¿Dudas? Sí No

Ejemplos

© SANTILLANA 205

7. Operaciones combinadas entre monomios Al trabajar con monomios se pueden combinar las cuatro operaciones básicas:suma, resta, multiplicación y división y hacer estos planteamientos en forma deproblemas que tienen fácil solución. Ejemplos

Sigue

Alto

¿Dudas? Sí No

2

3

Resolver aplicando operaciones combinadas. El paralelepípedo es un prisma recto limitado por seis paralelogramos, cuyas caras opuestas son iguales y paralelas.El volumen del paralelepípedo que se muestra en la figura, está determinado por la expresión 6x^3 - 5 x^2 - 17 x + 6. ¿Qué expresión algebraica determina la altura del paralelepípedo?El volumen de un paralelepípedo está determinado por el producto entre el área de su base, Para conocer el área de la base, se halla el producto de las dos dimensiones que la AB, y su altura, h. Así, V = ABh. conforman. A (^) B = (2x + 3)(x - 2) = 2 x (^2) - x - 6 Para hallar la altura se divide el volumen del paralelepípedo entre el área desu base. h = (6x 3 - 5 x 2 - 17 x + 6) ' (2x 2 - x - 6) = 3 x - 1 Luego, la expresión algebraica que determina la altura del paralelepípedo es 3con residuo 34x. x - 1, Encuentra una expresión algebraica para determinar la base delrectángulo de la figura. A = 10 x^5 y^42 xy

Construir la expresión algebraica para la base del rectángulo anterior si la altu-ra es 5x (^2) y (^3). Al dividir 10x (^5) y (^4) ' 5 x (^2) y (^3) , el resultado es 2x (^3) y.

1

¿Por qué al sumar y al restarel mismo término a unaexpresión algebraica se ga- rantiza que dicha expresiónno se altera? Lingüística y Lógico-matemática

Para desarrollar

Por las propiedades de po-tencias, se tiene que el gradodel cociente de una división es igual a la diferencia entreel grado del dividendo y elgrado del divisor.

Idea importante

Para pensar inicia con una pregunta para activar saberes y motivar.

El Alto te invita a resolver actividades para verificar tu compresión del contenido. La palabra Sigue te indica proseguir con la lectura.

Para desarrollar formula una actividad que desarrolla inteligencias a partir del contenido.

• Las actividades se acompañan de un ícono que indica la competencia que estás desarrollando: Razonamiento lógico matemático Comunicación con lenguaje matemático (^1) 2 3 (^) Aplicación de la Matemática al entorno

Desarrolla el contenido según la naturaleza de la asignatura y apegado al programa de estudio

Páginas iniciales de unidad

• Al inicio de cada unidad encontrarás un texto interesante y una actividad que desarrolla diferentes inteligencias.

Además de tus competencias ¡Desarrolla tus inteligencias!

Tu libro te informa estratégicamente y te ayuda a expresar tu comprensión

Lingüística. Comprender y comunicar por medio de la lectura, la escritura, el habla y la escucha.

• Asigna más páginas a los contenidos en los que requieres más práctica y profundización.
• Proporciona la oportunidad de verificar tu comprensión y expresarla.

Interpersonal. Trabajar con gente, ayudar a las personas a identificar y superar

problemas.

Musical. Distinguir matices sonoros, cantar o tocar instrumentos.

Corporal-cinética. Realizar actividades que requieren fuerza, rapidez,

flexibilidad, coordinación óculo-manual y equilibrio.

Intrapersonal. Plantearse metas, evaluar habilidades y desventajas persona-

les, y controlar el pensamiento propio.

Naturalista. Observar, identificar y clasificar a los miembros de un grupo o especie, e

incluso para descubrir nuevas y proteger el ambiente.

Lógico-matemática. Identificar modelos, calcular, formular y verificar hipótesis,

utilizar el método científico y los razonamientos inductivo y deductivo.

Sigue

Alto

Encuentra dos proporciones a partir de las^ siguiente igualdad.

0.3 # 4 = 2 # 0.

¿Dudas? Sí No

Actividades identificadas por el ALTO y SIGUE. Estas acompañan el proceso de los desempeños de comprensión; por esta razón, al preguntarte ¿Comprendes? puedes seleccionar Sí o No, teniendo la oportunidad de expresar tu comprensión.

Espacial. Presentar ideas visualmente, crear imágenes mentales, percibir deta-

lles visuales, dibujar y confeccionar bocetos.

Unidad 3. Operemos con números racionales 46

◗ Números racionales (^) Caso 2. Adición de números racionales con diferente Definición del conjunto de los números racionales 48 denominador^59 Fracciones equivalentes 48 Adición de racionales decimales 60 Simplificación de fracciones 49 Propiedades de la adición 61 Amplificación de fracciones 49 Sustracción de racionales 63 Clasificación de racionales 50 Caso 1. Sustracción de números racionales con igualdenominador 63

Números mixtos 50 Caso 2. Sustracción de números racionales con diferentedenominador 63 Actividades 51 Sustracción de racionales decimales 63 Representación decimal de un número racional 53 Actividades 64 Clasificación de los números racionales decimales 54 Multiplicación de racionales en forma de fracción 66 Decimal exacto 54 Propiedades de la multiplicación de racionales 67 Decimal periódico 54 Multiplicación de racionales decimales 68 Conversión de decimal a fracción 55 Actividades 69 Actividades 56 División de racionales en forma de fracción 70 Representación de los racionales en la recta numérica 57 División de racionales decimales 71 Representación de los racionales en forma decimal en la recta numérica 58

Actividades 72 ◗ Fracciones complejas Actividades 58 Actividades 73 ◗ Operaciones en Q Practico lo que aprendí Para finalizar Evaluación por competencias Solucionario

74 76 77 78

Adición de racionales en forma de fracción 59 Caso 1. Adición de números racionales con igual denominador 59

Unidad 2. Utilicemos unidades de superficie y agrarias 30

◗ Longitudes del metro Actividades 38 Unidades métricas de longitud 32 ◗ Unidades agrarias Conversiones 33 Actividades 41 Actividades (^34) Practico lo que aprendí

Para finalizar Evaluación por competencias

42 44 45

◗ Superficie Unidades métricas de superficie 35 Conversiones 36

Índice

Unidad 1. Apliquemos los números enteros 6

◗ Números enteros Sustracción en los enteros 16 Definición del conjunto de los números enteros 8 Supresión de signos de agrupación 17 Representación en la recta numérica 9 Operaciones combinadas 18 Actividades 10 Actividades 20 Números opuestos 11 Multiplicación de números enteros 21 Valor absoluto de un número entero 11 Propiedades de la multiplicación de números enteros 21 Actividades 12 Actividades 23 ◗ Operaciones en Z División de números enteros 24 Adición en los enteros 13 Actividades 25 Caso 1. Adición de dos números enteros de igual signo (^13) Practico lo que aprendí

Para finalizar Evaluación por competencias

26 28 29

Caso 2. Adición de dos números enteros de diferente signo 13 Propiedades de la adición de números enteros 14 Actividades 15

Fu Chang estaba seguro de que el comité reconocería su valía tanto en redacción, literatura y poesía como en ma- temáticas. El acceso al puesto de funcionario durante la Dinastía Tang (618-907) era muy difícil, pero merecía la pena por sus beneficios económicos y sociales.

–Cuando den su aprobación –pensaba Fu–, seré funcio- nario imperial.

El aspirante a mandarín se veía a sí mismo vestido con maravillosas prendas de seda bordada, con criados que le transportaban en un palanquín finamente adornado. La escalera que nacía entre los dos dragones le condu- jo al recinto donde el tribunal esperaba para notificarle los resultados.

El más anciano de los sabios le dijo: –Tu forma de diferenciar las deudas y las cantidades que tenemos mediante los colores rojo y negro, respectiva- mente, representa una innovación y merece ser premia- da con el puesto.

Lógico-matemática y lingüística

Los números rojos

Para responder

Imagínate una sociedad donde no existan el cero ni los números negativos.

- ¿De qué forma creativa expresarías la ausencia de un valor numérico? - ¿Cómo expresarías el déficit, pérdida o la deuda?

Bloque:

Números y operaciones

Para pensar

- Si tienes $8 y deseas comprar la camisa de tu equipo favorito que cuesta $15, la cantidad de dinero que te falta es: - Si en tu juego favorito llevas 75 puntos y te res- tan 100 puntos por una mala jugada, los pun- tos que te quedan son:

Números enteros

En la vida cotidiana, el ser humano está habituado a emplear los números enteros: al indi- car temperaturas inferiores o superiores a los 0°, al hablar de ingresos y egresos de dinero, al representar desplazamientos hacia la derecha o hacia la izquierda, o al referirse a los niveles superiores e inferiores en ciertos edificios. En síntesis, son muchas las situaciones en las cuales el ser humano ha necesitado considerar un conjunto de números distinto al conjunto de los números naturales ℕ.

1. Definición del conjunto de los números enteros En el conjunto de los números naturales ℕ no tiene sentido considerar restas tales como 8 - 11, 5 - 17, 23 - 39; ya que, por ejemplo, la resta 8 - 11 significaría quitar de un con- junto de ocho elementos un total de once elementos.

Por tal motivo, se hace necesaria la ampliación del conjunto de los números naturales a otro conjunto denominado conjunto de números enteros , que se simboliza con la letra ℤ. La ampliación del conjunto ℤ se origina con la introducción de los números enteros negativos y se representa por los números naturales precedidos por el signo menos, así:

ℤ-^ = {…, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1}. Por su parte, el conjunto de los números naturales es considerado como el conjunto de los números enteros positivos, los cuales forman el conjunto Z+^ y se representan así:

ℤ+^ = {1, 2, 3, 4, 5,…}. El número 0 pertenece al conjunto de los números enteros y es el único que no se consi- dera negativo o positivo.

El conjunto de los números enteros se considera como la unión del conjunto de los números enteros negativos, el conjunto de los enteros positivos y el cero, es decir:

ℤ = ℤ-^ ∪ ℤ+^ ∪ {0} ℤ = {…, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,…}

Ejemplos

Sigue

Alto

¿Dudas? Sí^ No

Indicar en cada grupo el número que está más ale- 2 jado de cero.

a. - 3, 5, - 2, 7, - 8 Es el - 8 b. - 12, 5, 7, - 9, 15, - 6 Es el 15 c. - 9, 8, 7, 3, - 1, 3, 4 Es el - 9 d. 9, - 16, - 8, 25, 32, - 24 Es el 32 e. - 2, 5, 7, 4, - 18, - 1, 15 Es el - 18 f. 9, - 8, 5, 6, - 4, - 22, 35 Es el 35 g. 8, - 7, - 17, 25, - 32, 50 Es el 50 h. 15, - 10, 5, - 25, 30, 45 Es el 45 i. 0, - 8, 5. 11, - 13, 2 Es el - 13 j. 6, - 7, 8, - 10, 17, 5 Es el 17

Escribe las siguientes situaciones aplicando los números enteros.

a. Un submarino se encuentra a 1 500 m de pro- fundidad. b. La destrucción de la mayor parte de flora mi- crobiana se logra por ebullición a 105 °C.

c. La pérdida generada al vender un producto en $16 000, si fue comprado en $ 19 500.

1. Responde.

a. ¿Qué operaciones no se pueden hacer en el conjunto de los números naturales? b. ¿Cuál conjunto numérico se representa a la izquierda de cero en la recta numérica?

2. Marca con una ✗ las operaciones que no se pueden hacer en el conjunto de los números naturales, y con ✓ las operaciones que sí se pueden hacer.
3. Representa en la recta numérica cada conjunto de números.

a. Los números que están a la derecha de 2. b. Los números que están a la izquierda de 5. c. Los números que están entre - 3 y 4. d. Los números que están a la izquierda de - 1.

4. Realiza los siguientes problemas. - La aparición de la escritura es un suceso importante para el desarrollo de las civilizaciones, puesto que con ella se registraron por escrito los asuntos y acontecimientos del mundo.

A continuación se relacionan algunos años de aparición de la escritura en diversas culturas. En el 1 000 a.C.: el alfabeto fenicio. En el 2 000 a.C.: el cretense. En el 1 300 a.C.: los ideogramas chinos. En el 3 000 a.C.: la escritura jeroglífica egipcia. Elabora una línea de tiempo en la que ubiques los datos anteriores. Considera como año 0 el nacimiento de Cristo.

- La parte de la Tierra donde se desarrolla la vida recibe el nombre de biósfera. Dentro de ella, el mayor porcentaje de seres vivos se localiza en la banda situada entre los 3 000 m de altitud y los 2 000 m de profundidad, respecto al nivel del mar, los 3 000 m de altitud y los 2 000 m de profundidad, respecto al nivel del mar (0 m), aproximadamente. La estructura de la biósfera se muestra a continuación: 1. Límite altitud del vuelo de las aves. 2. Límite altitud de la vida en las montañas de la zona tropical. 3. Límite altitud de la vida en las montañas de la zona templada. 4. Altitud con la máxima concentración de seres vivos. 5. Fosas oceánicas: límite inferior de la vida.

Expresa con números enteros los siguientes datos: a. El límite del vuelo de las aves.

b. El límite de la vida en las montañas de la zona tropical. c. El límite inferior de la vida.

d. El rango en donde se encuentra la máxima concentración de seres vivos.

5. Representa en la recta numérica el conjunto de enteros dado en cada enunciado.

a. Las profundidades a las que se sumerge un buzo son: 8 m, 45 m, 80 m, 60 m, 120 m.

b. La altura de seis poblaciones colombianas con respecto al nivel del mar es, respectivamente, 1 200 m, 700 m, 450 m, 600 m y 2 m.

(^1) 2 3

Actividades

a. 7 - 8 b. 9 - 2

c. 27 - 40 d. 12 - 80

e. 80 - 50

f. 100 - 500 g. 472 - 129

h. 600 - 900 i. 190 - 294

j. 430 - 100

10 000

En metros

• 10 000

8 000

• 8 000

6 000

• 6 000

4 000

• 4 000

2 000

• 2 000

0

2 3

5

4

1

Sigue

3. Números opuestos

Al observar la recta numérica del conjunto de los enteros (ℤ), se puede determinar que existen parejas de números que se encuentran a la misma distancia de cero, aunque ten- gan signos diferentes. Por ejemplo, los números 7 y - 7 se encuentran a 7 unidades del cero, a pesar de tener signos distintos.

Se puede decir que el número - 7 es el opuesto del número 7 y, a su vez, que 7 es el opues- to de - 7.

Dos números enteros se llaman opuestos si están a la misma distancia de cero y tienen diferente signo. Es decir, el opuesto de a es - a.

4. Valor absoluto de un número entero

Geométricamente, la distancia que separa a un número y a su opuesto de cero siempre es la misma. Así, se puede afirmar que el valor absoluto de un número entero, corresponde al número de unidades que separan a dicho número de cero; es decir, a la distancia del número respecto a cero.

Si a ∈ ℤ, el valor absoluto de a se nota |a| y es la distancia que existe entre a y cero. El valor absoluto de cero es cero. |0| = 0.

Para determinar el opuesto de un número se le cambia de signo: op (-2) = + 2 op (+3) = - 3

Idea importante

Ejemplos

Alto

¿Dudas? Sí^ No

• 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  • 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
• 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ubicar en la recta numérica el número y su opuesto. a. - 5

El opuesto de - 5 es 5, entonces, se ubican en la recta numérica 5 y - 5, así:

b. 8

El opuesto de 8 es - 8, entonces, se deben ubicar 8 y - 8 en la recta numérica, así:

Calcula el valor absoluto en cada caso.

a. |6|

b. |-9|

c. |x|, x mayor que 0.

d. |-(-5)|

Operaciones en ℤ

1. Adición en los enteros

En la adición de números enteros se deben tener en cuenta los siguientes casos:

1.1 Caso 1. Adición de dos números enteros de igual signo

Para realizar la adición de dos números enteros de igual signo, se suman los valores ab- solutos de dichos números y al resultado se le antepone el signo común de los sumandos. Por ejemplo:

- Para resolver la suma 5 + 16, se procede como en la suma de números naturales, es decir: 5 + 16 = 21. - Para resolver la suma (-7) + (-11), se suman los respectivos valores absolutos 7 y 11, y a la respuesta se le antepone el signo menos, así: (-7) + (-11) = - 18.

1.2 Caso 2. Adición de dos números enteros de diferente signo

Para realizar la adición de dos números enteros de diferente signo, se determina el valor absoluto de ellos. Luego, se restan los valores absolutos y al resultado se le antepone el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

Por ejemplo, para sumar 15 + (-26), se restan los valores absolutos de cada número, 15 y 26, y a la respuesta se le antepone el signo menos, ya que - 26 tiene mayor valor absoluto que 15, entonces, 15 + (-26) = - 11.

La suma de enteros se puede observar fácilmente en la recta numérica. Para ello, se ubica el primer sumando y luego se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda tantas unida- des como indique el segundo sumando, según sea positivo o negativo.

Así, la suma (-9) + (4) se representa:

Por tanto, (-9) + (4) = - 5.

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

Ejemplos

Alto

Sigue

¿Dudas? Sí^ No

Realizar las siguientes sumas. a. ( - 81) + ( - 19)

(-81) + (-19) = - 100, pues se deben sumar los valores absolutos así |-81| + |-19| = 81 + 19 = 100, se antepone el signo menos (-), ya que los dos sumandos son negativos. Por lo tanto (-81) + (-19) = 100 b. ( - 35) + 17

(-35) + 17 = - 18, como son de diferente signo se restan los valores absolutos de los números; en- tonces: 35 - 17 = 18 y el sumando que tiene ma- yor valor absoluto es 35, por lo que se antepone el signo menos. Por lo tanto: (-35) + 17 = - 18

c. ( - 13) + ( - 17) + 10

Describe la tendencia de la temperatura en Quezaltenan- go si, cierto día, a las 3 de la mañana, la temperatura era de

• 4 °C; una hora más tarde la temperatura aumentó en 2 °C, y, tres horas después aumentó 3 °C.

Para pensar

Lingüística y Lógicomatemática

Sigue

Alto

¿Dudas? Sí^ No

2. Propiedades de la adición de números enteros

A continuación se plantean las propiedades que cumple la adición de números enteros. Clausurativa. La suma de dos números enteros es siempre otro número entero.

Si a ∈ ℤ y b ∈ ℤ, entonces, a + b ∈ ℤ Por ejemplo: 3 ∈ ℤ y (-8) ∈ ℤ; 3 + (-8) = - 5 y (-5) ∈ ℤ Asociativa. Al agrupar los sumandos de diferente forma, siempre se obtiene el mismo resultado.

Si a, b, c ∈ ℤ, entonces, (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: [(-7) + 3] + 9 = (-4) + 9 = 5 (-7) + [3 + 9] = (-7) + 12 = 5 Por tanto: [(-7) + 3] + 9 = (-7) + [3 + 9] Conmutativa. El orden en el que se realiza la suma de dos números enteros no altera el resultado.

Si a, b ∈ ℤ, entonces, a + b = b + a Por ejemplo: 3 + (-7) = (-4) y (-7) + 3 = (-4) Por tanto: 3 + (-7) = (-7) + 3

Elemento neutro. La suma de cualquier número entero con el cero da como resultado el mismo número entero. El 0 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la adición. Existe 0 ∈ ℤ tal que 0 + a = a + 0 = a para todo a ∈ ℤ Por ejemplo: (-8) + 0 = 0 + (-8) = - 8 y 7 + 0 = 0 + 7 = 7

Inverso aditivo u opuesto. Todo número entero sumado con su opuesto da como resul- tado el módulo de la adición. Para todo a ∈ ℤ, existe (-a) ∈ ℤ tal que a + (-a) = (-a) + a = 0 Por ejemplo: (-5) + 5 = 5 + (-5) = 0 Por tanto: 5 es el inverso aditivo de (-5) y también (-5) es el inverso aditivo de 5.

Al sumar cero a cualquier número entero, se obtiene el mismo número.

(+ 5) + 0 = + 5 0 + (- 7) = - 7

Idea importante

Ejemplos

Alto

Sigue

¿Dudas? Sí No

Escribir la propiedad que representa cada igualdad.

a. ( - 5) + 2 = 2 + ( - 5) Como se cambia el orden en la suma, corresponde a la propiedad conmutativa.

b. ( - 9) + 9 = 0 Como se suma el mismo número con diferente signo, corresponde a la propiedad del elemento inverso.

c. ( - 15) + 0 = - 15

Resuelve. De una cisterna que contenía 4 500 litros de agua, se sacaron 2 500 litros, después se depositaron 4 000 litros y por último se sacaron 6 000 litros. ¿Cuántos litros de agua contiene ahora la cisterna?

Sigue

Alto

Alto

Sigue

3. Sustracción en los enteros

En la sustracción de números naturales existe la condición de que el minuendo debe ser mayor que el sustraendo; sin embargo, con los números enteros esta condición desapare- ce, ya que el minuendo puede ser mayor o menor que el sustraendo. Toda sustracción puede expresarse como a - b = c, siendo a el minuendo, b, el sustraendo y c, la diferencia.

Para hallar la diferencia entre dos números enteros, se suma el mi- nuendo con el opuesto del sustraendo. Es decir, a - b = a + (-b).

Por ejemplo: para resolver la resta 9 - 12, se suma al minuendo el inverso aditivo del sustraendo, es decir: 9 - 12 = 9 + (-12) = - 3. Para realizar la resta (-21) - (-6), se le adiciona al minuendo el inverso aditivo del sus- traendo, y a la diferencia se le antepone el signo del sumando de mayor valor absoluto, así: (-21) - (-6) = (-21) + 6 = - 15.

Para realizar la resta (-15) - 9, se le adiciona al minuendo el inverso aditivo del sustraen- do, y a la diferencia se le antepone el signo del sumando mayor, por tanto: (-15) - 9 = (-15) + (-9) = - 24.

La sustracción de números enteros es clausurativa; es decir, la resta de dos números ente- ros siempre da como resultado un número entero. Así, 5, (-6) ∈ ℤ y 5 - (-6) = 5 + 6 = 11 y 11 ∈ ℤ.

Determina el número de días que les tomará a un grupo de mineros que deben construir un túnel de 200 m, si cada día de trabajo construyen 10 m, pero por las noches los derrumbes hacen retroceder 5 m. Discute con tus compa- ñeros y compañeras las posi- bles respuestas.

Para desarrollar

Ejemplos

Se escribe la resta como suma con el opuesto de 9.

Se escribe la resta como suma con el opuesto de 18.

Se escribe la resta como suma con el opuesto de - 9. Como son de igual signo, se suma y se antepone el signo de 7 y 9.

Como son de diferente signo, se resta y se antepone el signo de 23.

Como son de diferente signo, se resta y se antepone el signo de - 18.

¿Dudas? Sí No

Se transforman las sustracciones en adiciones.

Se calcula la suma.

¿Dudas? Sí^ No

Realizar las siguientes sustracciones: a. 23 - 9

= 23 + (-9) = 14

b. 6 - 18 = 6 + (-18)

= - 12

c. 7 - ( - 9)

= 7 + 9

= 16

d. - 8 - ( - 17)

Determinar el resultado de cada expresión:

a. ( - 3) + ( - 7) - ( - 8) - 5 = (-3) + (-7) + 8 + (-5)

= - 7

b. - (9 - 4 + 5) - ( - 3 + 11)

Resolver. El congelador de un frigorífico tiene una temperatura inicial de - 18 °C. En una hora la tempe- ratura disminuye 6 °C. ¿Cuál es la temperatura final?

• 18 - 6 = (-18) + (-6) = - 24

Por tanto, la temperatura final es - 24 °C.

Se plantea la resta. Se escribe la resta como suma con el opuesto de 6 y se realiza la suma de enteros.

Lingüística y Lógico-matemática

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¿Dudas? Sí^ No

4. Supresión de signos de agrupación

En expresiones en las cuales se combinan adiciones y sustracciones con números enteros, se utilizan signos de agrupación con el fin de diferenciar el signo del número respecto al signo de la operación. Por ejemplo: (-2) + (-5) - (-3) - (-6).

Para resolver estas expresiones, se deben eliminar los signos de agrupación, teniendo en cuenta las siguientes reglas:

- Cuando un signo de agrupación está precedido por el signo +, se suprime dejando las cantidades que están en su interior con el mismo signo, así: 5 + (-2) = 5 - 2 - Cuando un signo de agrupación va precedido por el signo - , se suprime, cambiando de signo las cantidades que se encuentran en su interior, es decir: 8 - (-5) = 8 + 5

Luego de la supresión de signos de agrupación, se calcula el resultado de las expresiones considerando que:

- Dos cantidades de igual signo se suman y al resultado se le antepone el signo común. - Dos cantidades de diferente signo se restan y al resultado se le antepone el signo de la cantidad que tenga mayor valor absoluto.

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Calcular. a. ( - 10) - ( - 15)

= - 10 + 15 = 5

b. ( - 14) + ( - 3) - ( - 8) = - 14 - 3 + 8

= - 17 + 8 = - 9

c. ( - 11) + ( - 6) - ( - 4) - ( - 1)

Resolver la siguiente operación.

• 2 - {-[2 + (- 5 + 8) - 4] + 3}

= - 2 - {-[2 + 3 - 4] + 3}

Verifica que (p - q) - r ≠ p - (q - r), teniendo en cuenta que p = 2, q = - 4 y r = 1.

¿Dudas? Sí^ No

Ejemplos

Se suprimen signos de agrupación.

Se suprimen signos de agrupación.

Se suman los núme- ros de igual signo.

Se realiza la suma. Se suprimen los paréntesis.

Se suprimen las llaves.

Se resuelve la resta. Se realiza la suma.

Se suprimen los corchetes.

- Un paréntesis precedido del signo - cambia los signos de los números de su interior. - Un paréntesis precedido del signo + mantiene los signos de los números que contiene.

Idea importante

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¿Dudas? Sí^ No

Ejemplos

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Sigue

¿Dudas? Sí^ No

¿Dudas? Sí No

Escribir de forma abreviada la expresión siguiente.

a. ( + 5) + ( - 5) - ( - 7) - ( + 4) + ( + 9) Primero. Se eliminan los paréntesis del primer su- mando y, si es positivo, se escribe sin signo.

= 5 + (-5) - (-7) - (+4) + (+9) Segundo. Se quitan los paréntesis, precedido del signo +, manteniendo los signos de los sumandos.

= 5 - 5 - (-7) - (+4) + 9 Tercero. Se eliminan los paréntesis precedidos del signo - , transformando los signos de los suman- dos en sus opuestos.

= 5 - 5 + 7 - 4 + 9

b. ( - 5) + ( + 8) - ( - 13) - ( + 9)

Sumar y restar a partir de la forma abreviada.

a. ( - 39) + 57 - ( - 95) + ( - 49) - 16 Se quitan los paréntesis

• 39 + 57 + 95 - 49 - 16 Se suman números con signo +

57 + 95 = 152 Se suman números con signo -

• 39 - 49 - 16 = - 104 Se resta al primer resultado, el segundo

152 - 104 = 48

b. ( - 12) + 14 + ( - 20) + ( - 8) + 14 + 80

Sumar y restar los números en el orden en que aparecen. a. 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4

= - 5 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 = 7 - 15 - 1 + 10 - 4

= - 8 - 1 + 10 - 4 = - 9 + 10 - 4

= 1 - 4 = - 3

b. 15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6 = 1 + 9 - 21 - 13 + 6

= 10 - 21 - 13 + 6 = - 11 - 13 + 6

= - 24 + 6 = - 18

c. - 11 + 8 - 6 - 7 + 9 = - 3 - 6 - 7 + 9

= - 9 - 7 + 9 = - 16 + 9

= - 7 d. - 9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

Actividades

21. Realiza en tu cuaderno las siguientes restas.
22. Lee la siguiente información.

La distancia entre dos números se define como el valor absoluto de la diferencia que hay entre ellos, entonces, si a y b son dos números enteros, la dis- tancia entre ellos se simboliza como d(a, b) = |a - b|.

- Halla la distancia entre cada par de números:

23. Realiza en tu cuaderno las siguientes operaciones suprimiendo signos de agrupación.

a. (-8) + (-15) + 16 b. (19) + 24 - (-31)

c. 35 - (-18) + (-21) d. - 17 + (-21) - (-19) - (+10)

e. - (-21) - (-35) - (-60) - (+42) f. - 8 + [-(13 + (-5)) - 4 + 16] - 15

g. [9 + (-4)]- [- 32 + (- 5 + 4)] + 6 h. 17 - [4 + (- 3 + 5) - (- 8 + 7) + 3]

i. 55 - {11 + [- 15 - (-8)] - 21} - (7 - (-11))

j. {(31 + (-8)) - [(-17) - 16 + (-14)]} - 41

24. Responde las siguientes preguntas.

a. ¿Qué número debe restarse de - 24 para que el resultado sea 15?

b. ¿Qué número restado de 19 da 31? c. ¿Cuál es el minuendo, si el sustraendo es 19 y

la diferencia - 8? d. ¿Cuál es la resultado si el sustraendo es - 34 y

el minuendo - 21? e. ¿Cuál es el sustraendo si el minuendo es 50 y

la diferencia - 120?

25. Resuelve las expresiones teniendo en cuenta que: m = 2, n = 5, p = - 3. a. m + [n - (p + m)] + m

b. n + [m + (p - m - n)] - m c. {m + [m - (m - n + p) + n]} + p

d. {[m - (-n)] + (p - n)} + p e. {[m + (n - p)] + p} + n

26. Realiza los siguientes problemas. - El punto de mayor altitud en la superficie de la Tierra es el Monte Everest, en el Himalaya, y se encuentra ubicado a 29 269 pies sobre el nivel del mar. El punto de menor altitud de la Tierra es el mar Muerto, en Palestina, y se encuentra a 1 286 pies bajo el nivel del mar. ¿Cuál es la diferencia, en pies, entre las altitudes de estos dos puntos? - Javier salió de su casa en la mañana con $120. Primero pagó los recibos de los servicios de luz y gas por $85. Luego, se encontró con un amigo que le pagó $50 que le debía y después pagó el servicio de telefonía móvil por $42. ¿Con cuánto dinero regresó Javier a su casa? - Andrea vive en el tercer piso. Baja en ascensor 4 pisos para ir al sótano y luego sube 5 pisos para visitar a su amiga Sara. ¿En qué piso vive Sara?

(^1) 2 3

(^1) 2 3

a. 5 y 4 b. 7 y - 2 c. - 3 y 6 d. - 8 y - 12 e. 15 y - 31 f. - 13 y - 24 g. - 9 y - 34 h. - 81 y 12

i. 104 y - 36 j. - 100 y - 205 k. 39 y - 400 l. - 513 y - 490 m. - 324 y - 230 n. 450 y - 890 o. - 350 y - 120 p. 1 390 y - 450

d(a, b)

a (^) |a, - b| b

a. 4 - 8 b. 6 - 5 c. - 5 - 1 d. 2 - 6 e. - 7 - 4 f. 9 - 5 g. 3 - 9 h. - 8 - 7 i. - 9 - 2 j. - 1 - 1 k. 5 - 10 l. - 8 - 3

m. 6 - 12 n. - 19 - 5 o. - 5 - 24 p. 32 - 15 q. 12 - (-7) r. 8 - (-5) s. - 21 - 12 t. - 18 - (-31) u. 24 - (-75) v. 34 - (-81) w. (-41) - (-18) x. - 44 - (-35)