Material de ingeniería, Apuntes de Informática industrial

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Series de Fourier

Introducción

El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la solución de problemas de valores en la frontera en la conducción del calor.

Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y por supuesto, Circuitos Eléctricos entre muchas otras.

Funciones Periódicas

Ejemplo : ¿Cuál es el período de la función

Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Pero como se sabe cos(x+2k)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que T/3=2k 1 , T/4=2k 2  Es decir, T = 6k 1  = 8k 2  Donde k 1 y k 2 son enteros, El valor mínimo de T se obtiene con k 1 =4, k 2 =3, es decir,T=24

f(t) cos( 3 t^ )cos( 4 t)?

f(t T)cos(t^  3 T)cos(t 4 T) f(t) cos( 3 t^ )cos( 4 t)

Funciones Periódicas

Gráfica de la función

-3 0 50 100 150 200

0

1

2

3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24 

T

f(t) cos( 3 t^ )cos( 4 t)

Funciones Periódicas

Ejemplo : la función cos(3t)+cos(+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.



 

 3

3 2

1

-2 0 5 10 15 20 25 30

0

1

2 f(t)=cos(3t)+cos((3+)t)

t

f(t)

Funciones Periódicas

Tarea : Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas:

1. f(t) = sen(nt), donde n es un entero.

2. f(t)= sen^2 (2t)

3. f(t)= sen(t)+sen(t+/2)

4. f(t)= sen( 1 t)+cos( 2 t)

5. f(t)= sen(2 t)

Serie Trigonométrica de Fourier

Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(n 0 t)+bnsen(n 0 t) se puede escribir como

Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:



 

 

 





 

(^2)  2 2 2 cos( 0 ) 2 2 sen ( n 0 t ) a b

b n t a b

a a b n n

n n n

n n n ^ 

Serie Trigonométrica de Fourier

Con lo cual la expresión queda

2 n n

2 n

n

2 n n

2 n

n

sen a b

b

cos a b

a

  

  

an

bn

Cn  a^2 nb^2 n (^)  n

C (^) n cos n cos(n 0 t)sennsen(n 0 t)

C n cos( n 0 tn)

Serie Trigonométrica de Fourier

Definir adecuadamente los coeficientes C 0 , Cn y n, de manera que la serie de Fourier se pueda escribir como

 ^ 





1

n

f t C Cn sen n  t  n

Componentes y armónicas

Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias n=n 0.

A la componente sinusoidal de frecuencia n 0 : Cncos(n 0 t+n) se le llama la enésima armónica de f(t).

A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia  0 =2f 0 =2/T se le llama frecuencia angular fundamental.

Componentes y armónicas

Ejemplo : La función Como ya se mostró tiene un periodo T=24, por lo tanto su frecuencia fundamental es  0 =1/12 rad/seg. Componente fundamental es de la forma: 0*cos(t/12). Tercer armónico: cos(3t/12)=cos(t/4) Cuarto armónico: Cos(4t/12)=cos(t/3)

-3 0 50 100 150 200

0

1

2

3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24 

f(t)  cos( 3 t^ ) cos( 4 t)

Componentes y armónicas

Ejemplo : Como puede verse, la función anterior tiene tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su componente de cd es cero, en cambio

-3 0 50 100 150 200

0

1

2

3

f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24 

f(t)  1 cos( 3 t^ )cos( 4 t)

Tiene tantas partes arriba como abajo de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1.