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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
C´alculo Num´erico (521230)
Evaluaci´on 1 – Pauta Referencial
Nombre y apellidos Matr´ıcula Profesor
Pregunta Alternativas 1 a b c d 2 a b c d 3 a b c d 4 a b c d 5 a b c d 6 a b c d 7 a b c d 8 a b c d 9 a b c d 10 a b c d 11 a b c d 12 a b c d
Reservado para la correcci´on No rellenar
B
M
NR
Cal.
Marque s´olo una alternativa, en caso contrario la pregunta no ser´a evaluada.
Todas las respuestas, incluyendo aquellas obtenidas por descarte, deben ser justificadas en los cuadros provistos, a menos que se indique lo contrario expl´ıcitamente en la pregunta. Respuestas correctas sin justificar y sin indicaci´on de no justificar no se evaluar´an. Respuestas con justificaci´on incorrecta se contar´an como equivocadas.
No intente adivinar. Por cada respuesta equivocada se descontar´a un tercio del valor de una respuesta correcta; es decir: Calificaci´on = 1 + m´ax
Buenas − Malas 3
Cualquier intento de copia ser´a sancionado.
Duraci´on de la prueba: 100 minutos.
MCP/MVH/FMP. 13–Mayo–2016.
P1. La matriz de coeficientes del sistema Ax = b se particion´o en A = N − P con det(N ) 6 = 0. Se sabe que la sucesi´on generada por el esquema iterativo general es tal que ||x(k)^ − x||∞ → 0 cuando k → ∞. Al respecto se hacen las afirmaciones:
(i) el radio espectral de la matriz de iteraci´on verifica ρ(N −^1 P ) > 1; (ii) ||b − Ax(k)||∞ → 0 cuando k → ∞; (iii) ||x(k)^ − x|| 2 → 0 cuando k → ∞.
De las afirmaciones dadas son correctas:
(a) (i), (ii) y (iii). (b) Xs´olo (ii) y (iii). (c) s´olo (iii). (d ) s´olo (i).
P2. Sea A ∈ Rm×n^ una matriz de rango n, con n < m, y sean Q y R matrices que forman una descomposici´on QR de A. Se afirma que la soluci´on de m´ınimos cuadrados del sistema Ax = b siempre satisface:
(i) Ax = b; (ii) AtAx = Atb; (iii) Rx = u donde u verifica Rtu = v con v = RtQtb;
Son verdaderas las afirmaciones:
(a) (i), (ii) y (iii). (b) s´olo (ii). (c) Xs´olo (ii) y (iii). (d ) s´olo (i) y (iii).
P3. Considere el vector b = (1 1 1 1)t^ y las siguientes matrices no singulares:
A =
,^ B^ =
C =
,^ D^ =
Indique cu´al de los siguientes sistemas se puede resolver por el M´etodo de Eliminaci´on de Gauss, con pivoteo parcial, sin necesidad de intercambiar filas del sistemas.
(a) Ax = b. (b) Bx = b.
(c) XCx = b. (d ) Dx = b.
P4. Para n ∈ N, n ≥ 10, se considera la siguiente tabla de valores
x x 0 x 1 · · · xn y f (x 0 ) f (x 1 ) · · · f (xn)
correspondiente a una funci´on f ∈ Cn+1(R) y para 0 < x 0 < x 1 < · · · < xn. Sea s la funci´on spline c´ubica natural que interpola a la tabla dada. De las afirmaciones:
(i) s(xi) = f (xi), i = 0, 1 ,... , n, (ii) s′(xi) = f ′(xi), i = 1,... , n − 1, (iii) s′′(x 0 ) = s′′(xn),
indique cu´al, o cu´ales, son siempre verdaderas:
(a) s´olo (i) y (ii). (b) (i), (ii) y (iii). (c) s´olo (i). (d ) Xs´olo (i) y (iii).
P5. Dado n ∈ N arbitrario, se define
A =
n×n
es decir A es una matriz triangular superior con elementos no nulos todos iguales a 2. Se establecen sobre esta matriz las siguientes proposiciones:
(i) La matriz AtA es sim´etrica. (ii) La matriz At^ es triangular superior. (iii) ||A|| 1 = 2n (iv) ||A||∞ = 2
Determine cu´al(es) de estas proposiciones es(son) verdadera(s).
(a) XS´olo (i) y (iii). (b) S´olo (i). (c) S´olo (ii) y (iv). (d ) S´olo (ii).
P6. Dado c un n´umero real fijo y los puntos
x − 2 − 3 − 1 f (x) 0 c − 1
P9. Considere los puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ),... , (xn, yn), con n ≥ 2, los cuales se ajustan en el sentido de los m´ınimos cuadrados a un cierto modelo mediante la funci´on en Matlab:
function [a,b]=mincuad(x,y) A=[ones(length(x),1) x]; B=log(1./y-1); X=A\B; a=exp(X(1)); b=X(2)/log(2);
En mincuad x e y son los vectores columna (x 0 , x 1 ,... , xn)t^ e (y 0 , y 1 ,... , yn)t, respectivamente. ¿A cu´al de los siguientes modelos corresponde el ajuste hecho por el programa anterior?
(a) Xy =
1 + a 2 bx^
(b) y =
1 + a log 2 (bx)
(c) y =
1 + aebx^
(d ) y =
1 + a ln (bx)
P10. Suponga que el sistema Ax = b, donde A ∈ Rn×n^ es uma matriz no singular, se resuelve num´eri- camente obteni´endose una soluci´on aproximada ˜x. La forma correcta de estimar a posteriori la magnitud del error ||e|| = ||x − ˜x|| es:
(a) Calculando la norma del residuo r = b − Ax˜ y considerando que ||e|| ≈ ||r||. (b) XCalculando el residuo r = b − Ax˜ y resolviendo num´ericamente el sistema Ae = r, donde la soluci´on aproximada de este sistema ˜e es tal que ||e|| ≈ ||˜e||. (c) Resolviendo num´ericamente el sistema Ae = ˜x, donde la soluci´on aproximada de este sistema e ˜ es tal que ||e|| ≈ ||˜e||.
(d ) Calculando el residuo r = b − Ax˜ y el cuociente c = ||r|| ||b||
, donde este cuociente es tal que ||e|| ≈ c.
P11. Considere
A =
, A−^1 =
(^) , y b =
Suponga que desea resolver el sistema Ax = b, pero en realidad el vector b ha sido redondeado a va- lores enteros, y que sus valores redondeados a un decimal son b + δb = (0. 2 , 1. 9 , 0 .1)t. Al resolver el nuevo sistema A(x + δx) = b + δb, el error relativo en la soluci´on satisface:
(a)
||δx|| 1 ||x|| 1
(b) X ||δx|| 1 ||x|| 1
(c)
||δx|| 1 ||x|| 1
(d ) ||δx|| 1 ||x|| 1
P12. Considere la matriz triangular inferior
M =
1 2 3 · · · n − 1 1 2 3 · · · n − 1 n
∈ Rn×n
¿Cu´al de las siguientes funciones en ambiente Matlab construye la matriz M con entrada n?
(a)
function M=matriz(n) M=zeros(n) for i=1:n M=M+diag([1:i],n-i); end
(b)
function M=matriz(n) M=ones(n) for i=1:n M=M+diag([1:i],n-i); end
(c) X
function M=matriz(n) M=zeros(n) for i=1:n M=M+diag([1:i],i-n); end
(d )
function M=matriz(n) M=zeros(n) for i=1:n M=M+diag(i*ones(1,i),n-i); end
