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TRABAJO III: PRODUCCIÓN DE ÁCIDO SULFÚRICO
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA:
Este trabajo consiste en maximizar los beneficios de un proceso de producción de ácido
sulfúrico a partir de azufre. Concretamente, optimizar la fase de oxidación catalizada de
dióxido de azufre a trióxido de azufre en un reactor multi-etapa de lechos fijos con
refrigeración, donde las variables a optimizar serán temperaturas y masas de catalizador.
FUNDAMENTO TEÓRICO:
En la fabricación de ácido sulfúrico a partir de azufre, el primer paso es quemar azufre en un
horno para formar dióxido de azufre, de acuerdo con:
2
2
Tras este paso, el dióxido de azufre se transforma en trióxido de azufre también por
oxidación, pero empleando un catalizador:
2
2
3
Desde el punto de vista económico (y medioambiental) interesa convertir la máxima cantidad
posible de dióxido de azufre en trióxido de azufre, por lo que es habitual el uso de
catalizadores que aceleran la velocidad de reacción, para que se pueda llevar a cabo el
proceso a la temperatura más baja posible. El más habitual, es el pentóxido de vanadio.
La velocidad de cualquier reacción aumenta con la temperatura, y por tanto, en general,
conviene trabajar a alta temperatura para alcanzar conversiones elevadas. Sin embargo, la
reacción de la ecuación (2) es exotérmica, de modo que su conversión de equilibrio (la
máxima que se puede alcanzar en esas condiciones, disminuye con la temperatura, de modo
que, por ejemplo, a 873 K la conversión de equilibrio se sitúa en el 60 %, aproximadamente.
La oxidación de SO 2 se suele llevar a cabo en un reactor de lecho fijo: el catalizador se
dispone en el interior de un cilindro vertical sobre una rejilla soporte, y la mezcla
reaccionante se hace pasar a través del lecho y avanza por el reactor en flujo pistón. El reactor
funciona en régimen continuo, y según avanzan los gases va cambiando su composición. Por
otro lado, el tamaño del reactor y su forma no permiten que el calor generado en la reacción
se disipe adecuadamente, y por tanto la temperatura aumenta a medida que los gases avanzan
en el reactor. Como la velocidad de reacción es función de la composición y de la
temperatura, la velocidad irá variando con la altura del lecho.
La temperatura de entrada al reactor es, entonces, una variable de diseño crítica. Si es baja, la
velocidad de reacción (en mol/gcat/s) será baja y se precisará de una gran cantidad de
catalizador para alcanzar un buen nivel de conversión.
Si la temperatura de entrada es alta, la velocidad de reacción será elevada, pero el rápido
aumento de la temperatura hará disminuir la conversión de equilibrio, que limitará la
conversión de salida alcanzada en el reactor.
Esta limitación termodinámica hace que el proceso de oxidación de SO 2 a SO 3 se realice en
reactores multi-etapa (ver Figura 1), con refrigeración intermedia. Con esta disposición, se
consigue reducir la temperatura de la corriente gaseosa antes de que entre al reactor, y así se
aumenta de forma considerable la conversión a la salida. Aunque en buena lógica se puede
pensar en dos o más enfriamientos intermedios para reducir la cantidad de catalizador
necesaria, esta estrategia involucra un aumento de la inversión en equipos, ya que será
necesario instalar más enfriadores y equipos de control para realizar la transformación. Por
tanto, se supondrá una instalación conformada por dos lechos.
A la hora de diseñar este tipo de reactores, las preguntas a resolver son las siguientes: ¿qué
cantidad de catalizador debe tener cada lecho?, y ¿cuál es la temperatura de entrada a cada
uno para que la conversión final de salida sea máxima y, por tanto, para que los beneficios
sean máximos?
El diseño del reactor se fundamenta en la resolución de los balances de materia y de calor en
cada uno de los lechos, que están representados por ecuaciones diferenciales ordinarias. Para
la resolución de estas ecuaciones diferenciales se emplea el método de Heun iterativo.
Posteriormente, se optimizan las variables de diseño (masa de catalizador y temperatura de
entrada) para maximizar los beneficios.
Para resolver el problema es necesario calcular la evolución de la conversión y la temperatura
a lo largo del lecho de catalizador. Para ello, se deben plantear las ecuaciones matemáticas
que describen el funcionamiento del reactor.
𝑝
= 27, 92 + 7, 333 × 10
− 𝑇
PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN:
Apartado A. Definición de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
En este apartado se desarrolla el programa edos2.sci en el cual se definen las ecuaciones
diferenciales expuestas en el fundamento teórico.
Para empezar, se crea la función edos2 cuyos parámetros de entrada son el peso de
catalizador en un lecho (W) y el vector ‘y’, un vector fila que en su primera posición contiene
el valor de la conversión (XA) y en su segunda posición el valor de la temperatura (T). El
parámetro de salida es otro vector (dydW) que contiene las derivadas calculadas para la
conversión respecto al peso de catalizador y para la temperatura respecto al peso de
catalizador.
A continuación, se calculan ‘k’ (ecuación 5) y ‘KP’ (ecuación 6) y se crea un ‘if’ que evalúa
si la conversión para la que se está calculando en ese momento es menor de 0,05, en cuyo
caso utiliza la ecuación (7). De lo contrario, hace uso de la ecuación (4). Para finalizar,
calcula ‘CP’ (ecuación 9) y asigna los valores de las derivadas (ecuaciones 3 y 8) al vector
‘dydW’.
Apartado B. Resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias del apartado A:
En este apartado se desarrolla el programa lecho.sci en el cual se resuelven las ecuaciones
diferenciales expuestas en el apartado A.
Para comenzar, se define la función lecho cuyos parámetros de entrada son el vector ‘y0’ que
contiene los valores iniciales de conversión y temperatura y ‘W’, el peso de catalizador en un
lecho. Los parámetros de salida son la matriz ‘y’ (que contiene en su primera fila los valores
de conversión para cada incremento de peso de catalizador y en su segunda fila los valores de
temperatura para cada incremento de peso de catalizador) y el vector ‘yf’ que contiene los
valores finales de conversión y temperatura alcanzados para ese lecho.
Para resolver las ecuaciones primero se define un número de nodos en los que dividir el lecho
por incrementos de W, en este caso se han escogido 50 nodos por lecho. De esta forma el
incremento (dW) se define como el peso de catalizador en dicho lecho dividido entre el
número de nodos menos uno; y se crea el vector de pesos (vW) con estos incrementos.
A continuación, se crea un ciclo for que va desde 1 hasta la longitud del vector ‘vW’ menos
uno, para calcular la conversión y temperatura para cada punto. Dentro de este ciclo es donde
se desarrolla el método de Heun iterativo para la resolución de EDOs. Se calcula la derivada
tanto para la conversión como para la temperatura con edos2 y con esta derivada se calcula el
predictor (yo) por el método de Euler. Dentro de este mismo for se crea un while que termine
cuando los errores absolutos calculados de conversión y temperatura para dos iteraciones
sucesivas del método de Heun sean menores que una tolerancia definida (en este caso 0,
para ambos). Haciendo uso de los predictores, se calcula una nueva derivada y se hace la
media aritmética entre la derivada calculada anteriormente y la nueva. Con esta derivada
media se calculan los correctores para la conversión y temperatura y se evalúan los errores
absolutos. Finalmente, se recalculan dentro del while los nuevos predictores para la siguiente
iteración, que son los correctores de esa misma iteración. Fuera del while y del for se asignan
los valores de ‘yf’.
Apartado C. Resolución del reactor multi-etapa con dos lechos y refrigeración
intermedia:
En este apartado se desarrolla el programa lechos.sci en el cual se resuelve el reactor
multi-etapa de dos lechos con refrigeración intermedia.
Se empieza creando una función llamada lechos cuyos parámetros de entrada son ‘z0’ que es
una matriz con la conversión inicial del primer lecho (XA=0) y temperaturas de los dos lechos
al inicio; y ‘W2’ que es un vector con el peso del catalizador en el primer y segundo lecho.
Los parámetros de salida son ‘z’ el cual es una matriz con los valores finales de conversión y
temperatura al final de cada lecho,’z2’ que contiene la evolución de la conversión y
temperatura del primer lecho y ‘z3’ que contiene la evolución de la conversión y temperatura
del segundo lecho.
Primero, se llama al programa lecho.sci en el que se introducen la conversión y temperatura
del primer lecho junto con su correspondiente peso de catalizador, y que dará como resultado
la conversión y temperatura al final del primer lecho. Después, el valor de conversión final
del primer lecho se asigna como el inicial del segundo. La segunda vez que se llama a
lecho.sci se utilizan como parámetros de entrada dicha conversión, y la temperatura y peso
asignados al segundo lecho inicialmente. Como resultado, se devuelven la conversión y
temperatura después de haber pasado por los dos lechos.
Apartado D. Optimización de los beneficios para un solo lecho:
En este apartado se crea el programa lecho b.sci_ , el cual calcula los beneficios a partir del
programa lecho.sci , y lechoopt.sce que optimiza estos beneficios.
Se crea una función llamada lecho_b en la que el parámetro de entrada es el vector ‘v’ el cual
contiene la temperatura y el peso del catalizador iniciales. El parámetro de salida es ‘B’, los
beneficios obtenidos.
Dentro de la función, al vector columna ‘y0’ se le introducen los valores iniciales de
conversión y temperatura, siendo la conversión inicial 0 y la temperatura inicial el primer
valor del vector ‘v’. También se introduce el valor del peso del catalizador, el cual es el
RESULTADOS:
● Caso de un solo lecho:
Los beneficios óptimos serían de 9.06 €/s
Temperatura de entrada al lecho T011 = 672.3 K
Temperatura de salida del lecho T11 = 899.2 K
Masa de catalizador del lecho W11 = 1.2548e+06 g
Conversión final alcanzada XAf1 = 0.
● Caso de sistema de dos lechos:
Los beneficios óptimos serían de 11.48 €/s
Temperatura de entrada al primer lecho T01 = 704.2 K
Temperatura de salida del primer lecho T1 = 913.8 K
Temperatura de entrada al segundo lecho T02 = 731.4 K
Temperatura de salida del segundo lecho T2 = 810.2 K
Masa de catalizador en el primer lecho W1 = 5.4141e+05 g
Masa de catalizador en el segundo lecho W2 = 1.1951e+06 g
Conversión de salida del primer lecho XA1 = 0.
Conversión final alcanzada XAf = 0.
Figura 2. Evolución de la conversión de A con la masa de catalizador para un lecho.
Figura 3. Evolución de la temperatura con la masa de catalizador para un lecho.
Figura 4. Evolución de la conversión de A con la masa de catalizador para dos lechos.
KP Constante de equilibrio de presiones, en atm
-0,
M Relación molar O 2 /SO 2 en la alimentación, adimensional. Se fija en 10/
PA0 Presión parcial del componente A (SO 2 ) en la alimentación, en atm. Se fija en 0,22 atm
–rA Velocidad de reacción del componente A (SO 2 ), en mol/gcat./s
T Temperatura, en K
Wi Masa de catalizador del lecho i, en gcat.
XA Conversión del componente A (SO 2 ), adimensional
εA Variación fraccional de volumen referida al componente A (SO 2 ), adimensional. Para
esta reacción es de –0,
