Matemàtiques I. Curs 2012-2013
- 1 -
Pràctica 7. Funcions de n variables (II):
Derivades parcials i gradient. Derivades successives i hessiana
Objectiu:
• Calcular derivades parcials i derivades successives.
• Determinar el vector gradient i la matriu hessiana.
Exercicis:
1. Calculeu les derivades parcials de les següents funcions:
a)
( )
(
)
3 4
, cos
f x y x y
= +
b)
( )
3
, ,
x y
f x y z xe yz
+
= +
2. Calculeu el vector gradient de les següents funcions en els punts indicats:
a)
( )
3 2
, 5
f x y x y
=
en el punt
(
)
2,3
−
b)
( )
2 2
,
x y xy
f x y
x y
−
=+
en el punt
(
)
1, 2
−
c)
( )
2
6
, , ln xy
f x y z
x z
−
=
−
en el punt
(
)
4,3, 1
−
d)
( )
2 3
3 2
, ,
x y z
f x y z
x y z
+ +
=
+ +
en el punt
(
)
1, 0,1
3. Donades les següents funcions, calculeu les derivades successives que es demanen:
a)
(
)
(
)
(
)
, sin cos
f x y x y x y
= − + +
,
( ) ( ) ( )
2 2 3
2
, , ,
, ,
f x y f x y f x y
x y y x x
x
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
b)
( )
4 3 2 2
, , 2 6 12 3
f x y z x xy y yz z
= + + + + −
,
( ) ( ) ( )
2 2 3
, , , , , ,
, ,
f x y z f x y z f x y z
y z z x y x y
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
4. Determineu la matriu hessiana de les següents funcions i avalueu-les en els punts que
s’indiquen:
a)
( )
(
)
2 4
, ln
f x y x y
= +
en el punt
(
)
1,3
b)
( )
2
,
xy
f x y e
=
en el punt
(
)
0, 2
c)
( )
3 2 5
, , , 4 6
f x y z t x yz t
= + −
en el punt
(
)
2,3,1,4
