¡Descarga Calculo de derivadas, gradiente, matriz jacobiana y hessiana en una función multivariable y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEMÀTIQUES I GADE Grup D Model A 9/11/
COGNOMS:_____________________________________________NOM:____________________________________
1. (2 punts) Calcula les derivades parcials de primer ordre de la funció:
4
4 4
ln ( , , )
y f x y z sinx y z
4
4 4
3 4 4 4 3
4 4 2
4 3
4 4 2
cos ln
4 ln ( ) ln 4
ln 4
f x y
x (^) sinx y z
y y z y y f y sinx y (^) y z
f sinx y z
z (^) y z
2. (2 punts) Calcula el vector gradient de la següent funció en el punt (0,-2): ( , )
x y f x y = xe
2
2
x x f f (^) y x x y f x y e e x y y y
f
∂ ∂ ^ −
∂^ ∂
3. (2 punts) Calcula la matriu jacobiana de la següent funció:
3 3 2 2 f ( ) x = xe x , x , ln(7 x +4 )
3 1
1 (^2 )
3 2
x f e x x
f Jf x x x
f
x x
−
∂^ +
4. (2 punts) Calcula la matriu hessiana de la funció: ( )
2 f ( , y) x = 5ln x + 3 y
Si es complira les condicions del teorema de Schwarz, quines conseqüències té sobre la matriu hessiana?
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
f f
x x y x y x y Hf x y f f x^ y
y x y x^ y^ x^ y
= ^ ^ = ^ =
∂ ∂ ∂ +^ +
Es complix el teorema de Schwarz i la conseqüència es que
2 2 f f
x y y x
, és a dir, que l’element h 12 =h 21 en la
matriu.
5. (2 punts) La funció de producció d’una empresa és
P( , ) 18
x x y xy y
= + on^ x^ és la quantitat (en u.p.) utilitzada
de la matèria primera A i y de la matèria primera B. Al moment actual (x,y)=(9,1).
a) Calcula les derivades parcials de la funció de producció en el moment actual.
b) Interpreta econòmicament una de las derivades calculades en el apartat anterior.
c) A partir de la informació obtinguda en el apartat a), calcula l’increment aproximat de la producció si
disminueix en una unitat la quantitat de matèria prima A.
a)
2
P y P
x (^) xy y x
P x x P
y (^) xy y y
b) Per exemple (9,1) 5
P
x
: Al augmentar una unitat la matèria primera A, la producció augmenta en 5 unitats
de producte, mantenint la quantitat de la matèria prima B constant i partint del moment actual, és a dir,
(x,y)=(9,1).
c) (^) x (9,1)( 1) (9,1)( 1) 5..
P
P u p x
Al disminuir una unitat la matèria primera A, partint de (9,1) y
mantenint la matèria B constant, la producció disminueix en 5 u.p.
5. (2 punts) La producció marginal d’una empresa és (1,9) 9; (1,9) 5
P P
x y
on x és la quantitat (en u.p.)
utilitzada de la matèria primera A i y de la matèria primera B.
a) Interpreta econòmicament la derivada de la producció respecte a x. Escriu les unitats de la derivada i raona
si tindria sentit que el valor de la derivada fora negatiu.
b) Calcula l’increment aproximat de la producció si disminueix en una unitat la quantitat de matèria primera B.
c) Si P(1,9)=72 u.p., calcula aproximadament la producció si augmentem una unitat la quantitat de matèria
primera B mantenint la quantitat de matèria prima A constant.
a) (1,9) 9
P
x
: Al augmentar una unitat la matèria primera A, la producció augmenta en 9 unitats de producte,
mantenint la quantitat de la matèria primera B constant i partint del moment actual, és a dir, (x,y)=(1,9). Les unitats
són u.p./u.p. i el signe correcte és positiu perquè la producció augmenta al augmentar x.
b) (^) y (1,9)( 1) (1,9)( 1) 5..
P
P u p y
Al disminuir una unitat de matèria primera B, partint de (1,9) y
mantenint la matèria B constant, la producció disminueix 5 u.p.
c)
(1,10) (1,9) (^) y (1,9)(1) (1,9) (1,9)(1) 77..
P
P P P P u p y
