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Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería
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Tema 7. Tema 7.--
VALORES Y VECTORES
VALORES Y VECTORES
PROPIOS. DIAGONALIZACI
PROPIOS. DIAGONALIZACI
Ó
Ó
N
N
DE MATRICES CUADRADAS DE MATRICES CUADRADAS
VALORES Y VECTORES PROPIOSVALORES Y VECTORES PROPIOS
MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLESMATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES
DIAGONALIZACIDIAGONALIZACIÓÓNN ORTOGONALORTOGONAL DEDE
MATRICES CUADRADAS SIMMATRICES CUADRADAS SIMÉÉTRICASTRICAS
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería
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Un poco de historia Un poco de historia
Los valores y vectores propios pertenecen a los temas de mayor utilidad del álgebra
lineal. Se usan en varias áreas de las matemáticas, física, mecánica, ingeniería
eléctrica y nuclear, hidrodinámica, aerodinámica,etc. De hecho, es raro encontrar un
área de la ciencia aplicada donde nunca se hayan usado.
Puede parecer muy extraño, pero los valores propios de las matrices aparecieron
publicados antes que las matrices. Esto se debe al hecho insólito de que,
parafraseando a Cailey, la teoría de las matrices estaba bien desarrollada (a través de
la teoría de los determinantes) antes de que siquiera se definieran las matrices. Según
Morris Kline, los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadráticas y
en la mecánica celeste (el movimiento de los planetas), conociéndose como raíces
características de la ecuación escalar. Desde aproximadamente 1740, Euler usaba de
manera implícita los valores propios para describir geométricamente las formas
cuadráticas en tres variables.
En la década de 1760, Lagrange estudió un sistema de seis ecuaciones diferenciales
del movimiento de los planetas (sólo se conocían seis) y de ahí dedujo una ecuación
polinomial de sexto grado, cuyas raíces eran los valores propios de una matriz 66.
En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para
determinar los “ejes principales” de una forma cuadrática con n variables. También
aplicó sus descubrimientos a la teoría del movimiento planetario. Fue Cauchy quien,
en 1840, usó por primera vez los términos valores característicos y ecuación
característica para indicar los valores propios y la ecuación polinomial básica que
satisfacen.
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AugustinAugustin--LouisLouis CauchyCauchy (1789(1789--1857)1857) nacinacióó en Paren Paríís. Fue educado en casa por su padre y nos. Fue educado en casa por su padre y no
ingresingresóó en la escuela hasta los trece aen la escuela hasta los trece añños, aunque pronto empezos, aunque pronto empezóó a ganar premios acada ganar premios acadéémicos.micos.
A los diecis
A los diecis é
é is entr
is entr ó
ó en la
en la É
É cole
cole Polytechnique
Polytechnique parisina y a los dieciocho asist
parisina y a los dieciocho asist í
í a a una escuela
a a una escuela
de ingenierde ingenieríía civil, donde se gradua civil, donde se graduóó tres atres añños despuos despuéés. Su primer trabajo fue como ingenieros. Su primer trabajo fue como ingeniero
militar para Napolemilitar para Napoleóón, ayudando a construir las defensas enn, ayudando a construir las defensas en CherburgoCherburgo. A los veinticuatro. A los veinticuatro
aañños volvios volvióó a Para Paríís y dos ms y dos máás tarde demostrs tarde demostróó una conjetura deuna conjetura de FermatFermat que habque habíía superado aa superado a
EulerEuler y Gauss. Con veintisiete ay Gauss. Con veintisiete añños ya era uno de los matemos ya era uno de los matemááticos de mayor prestigio y empezticos de mayor prestigio y empezóó
aa trabajartrabajar enen laslas funcionesfunciones dede variablevariable compleja,compleja, publicandopublicando laslas 300300 ppááginasginas dede esaesa
investigaciinvestigacióón once an once añños despuos despuéés. En estas. En esta éépoca publicpoca publicóó sus trabajos sobre lsus trabajos sobre líímites, continuidadmites, continuidad
y sobre la convergencia de las series infinitas.y sobre la convergencia de las series infinitas.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Matemático y físico francés. En un libro de 1797 él
enfatizó la importancia de la serie de Taylor y el concepto de función. Trabajó en el sistema
métrico y defendió la base decimal.
Leonhard Euler (1707-1783) Matemático suizo. Los trabajos científicos de Euler abarcan
prácticamente todas las matemáticas contemporáneas a él. En todas las ramas de las
matemáticas hizo descubrimientos notables, que lo situaron en el primer lugar en el mundo.
Euler fue capaz de comprender las matemáticas como un todo único, aunque enorme en el
confluían un montón de ramas importantes y ante todo el Análisis. Laplace indicó que Euler
fue el maestro común de todos los matemáticos de la segunda mitad del siglo XVIII. Euler fue
en gran medida responsable de los símbolos e, i y ππππ.
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VALORES Y VECTORES PROPIOS
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Los conceptos bLos conceptos báásicos estudiados en este tema sonsicos estudiados en este tema son úútiles en todas lastiles en todas las
ááreas de las matemreas de las matemááticas puras y aplicadas, y aparecen en contextosticas puras y aplicadas, y aparecen en contextos
mucho mmucho máás generales que los que consideramos aqus generales que los que consideramos aquíí..
Una de las principales aplicaciones de la teorUna de las principales aplicaciones de la teoríía espectral son los sistemasa espectral son los sistemas
dindináámicosmicos discretosdiscretos (ejemplo(ejemplo introductoriointroductorio),), peropero tambitambiéénn puedenpueden
utilizarse los valores propios para estudiar ecuaciones diferencutilizarse los valores propios para estudiar ecuaciones diferenciales yiales y
sistemas dinsistemas dináámicos continuos, ademmicos continuos, ademáás proporcionan informacis proporcionan informacióón crn crííticatica
en el diseen el diseñño de ingeniero de ingenieríía y se presentan naturalmente en campos comoa y se presentan naturalmente en campos como
la fla fíísica y la qusica y la quíímica.mica.
Un escalarUn escalar λ λλ
λλλλλ se llamase llama valor propio devalor propio de AA si existe unasi existe una
soluci
soluci ó
ó n no trivial de ; una de esas
n no trivial de ; una de esas
soluciones no triviales se denomina
soluciones no triviales se denomina vector propio de
vector propio de A
A
asociado al valor propio
asociado al valor propio λλλλ
λλλλ .
El conjunto de todos los valores propios de una matriz
El conjunto de todos los valores propios de una matriz
cuadrada cuadrada AA se denominase denomina espectro deespectro de AA y se denotay se denota σ σσ
σσσσσ (A)(A)..
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¿
¿ C
C ó
ó mo calcular los valores propios
mo calcular los valores propios
de una matriz cuadrada?
de una matriz cuadrada?
Los valores propios de una matriz cuadrada
A son las raíces de su polinomio
característico.
Los valores propios de una matriz cuadrada Los valores propios de una matriz cuadrada
A A sonson laslas raraíícesces dede susu polinomiopolinomio
caracter caracteríístico.stico.
El
El orden del valor propio
orden del valor propio λλλλ
λ λλ
λ es la multiplicidad
es la multiplicidad k
k de
de λλλλ
λ λλ
λ
como ra
como ra í
í z del polinomio caracter
z del polinomio caracter í
í stico
stico .
Si
Si k = 1,
k = 1, λλλλ
λ λλ
λ es un valor propio simple.
es un valor propio simple.
La suma de los valores propios de una matriz, teniendo en
cuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matriz
La suma de los valores propios de una matriz, teniendo en
La suma de los valores propios de una matriz, teniendo en
cuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matriz
cuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matriz
ObservaciObservacióónn
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-EJEMPLO.- Calcular los valores
Calcular los valores propios de
propios de A
A , indicando su
, indicando su
orden o multiplicidad:
orden o multiplicidad:
Soluci Solucióónn
Espectro de A
Espectro deEspectro de AA
Atención
AtenciAtencióónn
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¿
¿ C
C ó
ó mo calcular los
mo calcular los subespacios
subespacios
propios de una matriz cuadrada?
propios de una matriz cuadrada?
Para calcular los subespacios propios de una
matriz cuadrada A debemos resolver un
sistema homogéneo compatible indeterminado.
Para calcular los Para calcular los subespaciossubespacios propios de unapropios de una
matriz matriz cuadradacuadrada AA debemosdebemos resolverresolver unun
sistema homog sistema homogééneo compatible indeterminado.neo compatible indeterminado.
Si λλλλ es un valor propio de orden k de una matriz A y d = dim V( λλλλ ), entonces:
≤ d = dim V( λ λλ
λ ) ≤ ≤≤
≤ k
SiSi λ λλ
λλλλλ es un valor propio de ordenes un valor propio de orden kk de una matrizde una matriz AA yy d =d = dimdim V(V( λ λλ
λλλλλ ),), entonces:entonces:
d =
d = dim
dim V(
V(
λλλλ
λ λλ
λ )
k
k
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-EJEMPLO.- Calcular los
Calcular los subespacios
subespacios propios de
propios de A
A , indicando
, indicando
su dimensi
su dimensi ó
ó n:
n:
SoluciSolucióónn
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2. 2.-- SiSi cumple que:cumple que:
el el polinomio caracterpolinomio caracteríísticostico de la matrizde la matriz AA es:es:
ATENCIÓNATENCI
ATENCI Ó
Ó N
N
3. 3.-- ConocidoConocido elel polinomiopolinomio caractercaracteríísticostico dede unauna
matriz cuadrada se puede calcular f
matriz cuadrada se puede calcular f
á
á
cilmente su
cilmente su
determinante:
determinante:
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Dos matrices Dos matrices sonson semejantessemejantes
si:
si:
Dos Dos matricesmatrices semejantessemejantes tienentienen elel mismomismo
polinomio caracter
polinomio caracter
í
í
stico, luego tienen los mismos
stico, luego tienen los mismos
valores propios con los mismos
valores propios con los mismos
ó
ó
rdenes de
rdenes de
multiplicidad.
multiplicidad.
Sin embargo, el rec
Sin embargo, el rec
í
í
proco no es necesariamente
proco no es necesariamente
cierto. Es decir, existen matrices
cierto. Es decir, existen matrices
coon
coon
el mismo
el mismo
polinomio polinomio carcarááctercteríísticostico peropero queque nono sonson
semejantes. semejantes.
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MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES
MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES
En muchos casos la informaci
En muchos casos la informaci ó
ó n de vector propio
n de vector propio
valor propio contenida
valor propio contenida
dentro de una matriz
dentro de una matriz A
A se puede mostrar con una
se puede mostrar con una ú
ú til
til factorizaci
factorizaci ó
ó n
n de la
de la
forma:
forma:
Las ideas y m
Las ideas y m é
é todos aqu
todos aqu í
í explicados nos permiten calcular r
explicados nos permiten calcular r á
á pidamente
pidamente
A
A
kk
para valores grandes de
para valores grandes de k
k , una idea fundamental en varias
, una idea fundamental en varias
aplicaciones del
aplicaciones del Á
Á lgebra Lineal. Adem
lgebra Lineal. Adem á
á s la teor
s la teor í
í a aqu
a aqu í
í expuesta se aplica
expuesta se aplica
tambi
tambi é
é n en las ecuaciones diferenciales. En sistemas din
n en las ecuaciones diferenciales. En sistemas din á
á micos, en
micos, en
procesos de
procesos de Markov
Markov , en el estudio de curvas y superficies, en la teor
, en el estudio de curvas y superficies, en la teor í
í a de
a de
gr
gr á
á ficas y en muchos otros campos.
ficas y en muchos otros campos.
Una matriz cuadrada
Una matriz cuadrada A
A
se dice
se dice diagonalizable
diagonalizable si existe
si existe
una matriz regular
una matriz regular P
P
que cumple que
que cumple que :
Es decir, Es decir, AA es semejante a una matriz diagonal.es semejante a una matriz diagonal.
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La definici La definicióón anterior de matrizn anterior de matriz diagonalizablediagonalizable no resultano resulta
demasiado
demasiado ú
ú til en la pr
til en la pr á
á ctica. Una caracterizaci
ctica. Una caracterizaci ó
ó n muy
n muy
interesante de matrices
interesante de matrices diagonalizables
diagonalizables es la siguiente:
es la siguiente:
Una matriz Una matriz eses diagonalizablediagonalizable sisi
y s
y s ó
ó lo si existe una base de formada por
lo si existe una base de formada por
vectores propios de la matriz vectores propios de la matriz AA ..
Existe un resultado muy c Existe un resultado muy cóómodo que nos permite justificarmodo que nos permite justificar
de manera muy simple si una matriz cuadrada
de manera muy simple si una matriz cuadrada A
A
es
es
diagonalizable diagonalizable o no:o no:
A es diagonalizable si y sólo si se cumplen las
dos condiciones siguientes:
k
1
+ k
2
+ … + k
r
= n
d
i
= k
i
; i = 1, 2 , … , r
A A eses diagonalizablediagonalizable si y ssi y sóólo si se cumplen laslo si se cumplen las
dos condiciones siguientes:
dos condiciones siguientes:
kk
11
+ k+ k
22
++ …… ++ kk
rr
= n= n
d
d
ii
k
k
ii
; i = 1, 2 ,
; i = 1, 2 , …
, r
, r
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-EJEMPLO.- Diagonalizar
Diagonalizar la matriz cuadrada
la matriz cuadrada A
A
Soluci
Soluci ó
ó n
n
Sabemos que:
Sabemos que:
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-EJEMPLO.- Hallar unaHallar una matriz regularmatriz regular PP tal que:tal que:
Soluci
Soluci ó
ó n
n
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Como ya sabemos, el c
Como ya sabemos, el c á
á lculo de las potencias
lculo de las potencias A
A
kk
puede ser
puede ser
bastante tedioso. Sin embargo, si
bastante tedioso. Sin embargo, si A
A
es
es diagonalizable
diagonalizable y
y
hemos calculado hemos calculado PP yy DD , entonces sabemos que, entonces sabemos que
as
as í
í que:
que:
Con lo cual, iterando el proceso llegamos a:
Con lo cual, iterando el proceso llegamos a:
Como el c
Como el c á
á lculo de
lculo de D
D
kk
equivale a elevar s
equivale a elevar s ó
ó lo los elementos
lo los elementos
diagonales de diagonales de DD a laa la kk - -éésimasima potencia, vemos quepotencia, vemos que AA
kk
eses
f
f á
á cil de obtener.
cil de obtener.
Si sucede que
Si sucede que A
A
es invertible
es invertible , entonces
, entonces 0
no es valor
no es valor
propio de
propio de A
A
. Por consiguiente . Por consiguiente D
D
- - 11
existe y
existe y
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DIAGONALIZACI
DIAGONALIZACI Ó
Ó N ORTOGONAL DE
N ORTOGONAL DE
MATRICES SIM
MATRICES SIM É
É TRICAS
TRICAS
Las matrices sim Las matrices siméétricas surgen en las aplicaciones, detricas surgen en las aplicaciones, de
una u otra manera, con mayor frecuencia que
una u otra manera, con mayor frecuencia que
cualquier otra clase de matrices. La teor
cualquier otra clase de matrices. La teor
í
í
a es hermosa
a es hermosa
y rica, y depende de manera esencial tanto de la
y rica, y depende de manera esencial tanto de la
t téécnica decnica de diagonalizacidiagonalizacióónn expuesta en este capexpuesta en este capíítulo,tulo,
como de la como de la ortogonalidadortogonalidad del capdel capíítulo anterior.tulo anterior.
La La diagonalizacidiagonalizacióónn dede unauna matrizmatriz simsiméétricatrica eses elel
fundamento para el estudio de las formas cuadr fundamento para el estudio de las formas cuadrááticasticas
y se utiliza tambi y se utiliza tambiéén en el procesamiento de imn en el procesamiento de imáágenes.genes.
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Teorema de la matriz invertible
Teorema de la matriz invertible .
.
Sea
Sea A una matriz cuadrada de orden
una matriz cuadrada de orden n
. Entonces . Entonces
los enunciados que siguen son equivalentes.los enunciados que siguen son equivalentes.
- A es una matriz invertible.
es una matriz invertible.
es una matriz regular.
- A es equivalente por filas a la matriz
es equivalente por filas a la matriz I
n
, es decir:.
, es decir:.
Los vectores columna de A son linealmente independientes.
son linealmente independientes.
Los vectores columna de A generan.
generan.
Los vectores columna de A forman una base de.
forman una base de.
Los vectores fila de A son linealmente independientes.
son linealmente independientes.
Los vectores fila de A generan.
generan.
Los vectores fila de A forman una base de.
forman una base de.
T
es una matriz invertible.
es una matriz invertible.
Existe una matriz
Existe una matriz B cuadrada de orden
cuadrada de orden n tal que
tal que A · B = I
n
.
.
Existe una matriz
Existe una matriz C cuadrada de orden
cuadrada de orden n tal que
tal que C · A = I
n
.
.
.
.
.
15.15.-- El sistemaEl sistema homhomóógeneogeneo A · x = 0 tiene solamente la solucitiene solamente la solucióón trivial.n trivial.
El sistema
El sistema A · x = b es siempre compatible determinado y la soluci
es siempre compatible determinado y la soluci ó
ó n viene
n viene
dada por:dada por: x = A
-
· b ..
0
0 no es valor propio de
no es valor propio de A .
.
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Diagonalización
de matrices
Condiciones de
diagonalizabilidad
Diagonalización
de matrices
Diagonalización
ortogonal
VALOR PROPIO
VECTOR PROPIO
Polinomio
característico
Subespacio
propio
Resultados interesantes
Metodología para la obtención
de valores y vectores propios
Interpretación
Espectro
Propiedades
