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Tema 3
Diferenciabilidad y convexidad de
funciones reales
3.1. Derivadas parciales. Tasa marginal de susti-
tuci´on
3.1.1. Derivadas parciales y gradiente
Sean f : IRn^ → IR una funci´on real y a ∈ Dom(f ). Recordamos que se llama derivada parcial i-´esima de f en a o derivada parcial de f respecto de la variable xi en a al n´umero que se obtiene al considerar como ´unica variable en f a xi, derivar respecto de esa variable y sustituir a en el resultado.
Definici´on 3.1.1 En las condiciones anteriores, se denomina funci´on derivada parcial i-´esima a la funci´on:
∂f ∂xi : IR
n→ IR,
a 7 → ∂f ∂xi (a).
Dada una funci´on real f : Dom(f ) ⊂ IRn^ → IR tal que existen las n derivadas parciales de f y estas son continuas en a ∈ Dom(f ), diremos que f es diferenciable en a.
Definici´on 3.1.2 Sean una funci´on real f : IRn^ → IR y a ∈ IRn. Se llama gradiente o vector gradiente de f en a al vector columna formado por las derivadas parciales:
∇f (a) =
∂f ∂x 1
(a),... , ∂f ∂xn
(a)
)t .
26 TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES REALES
Definici´on 3.1.3 En las condiciones de la definici´on anterior, se denomina funci´on gradiente o gradiente de f a la funci´on:
∇f : IRn→ IRn, a 7 → ∇f (a).
Ejemplo 3.1.4 Sea la funci´on f: IR^3 → IR definida como f (x, y, z)= x^3 y+y·sen(z)+ez^. Las derivadas parciales de la funci´on f son las siguientes:
∂f ∂x (x, y, z) = 3x^2 y; ∂f ∂y (x, y, z) = x^3 + sen(z); ∂f ∂z (x, y, z) = y · cos(z) + ez^.
En consecuencia, el gradiente de f es ∇f (x, y, z) = (3x^2 y, x^3 +sen(z), y · cos(z)+ez^ )t.
3.1.2. Tasa marginal de sustituci´on
Definici´on 3.1.5 (Tasa marginal de sustituci´on) Sea f : IR^2 → IR una funci´on de producci´on definida como (K, L) 7 → f (K, L), siendo K la cantidad de capital y L la cantidad de mano de obra utilizadas. La tasa marginal de sustituci´on del capital por la mano de obra es el cociente entre la productividad marginal del factor L y la productividad marginal del factor K:
TMSKL = fL fK
An´alogamente puede definirse la tasa marginal de sustituci´on de la mano de obra por el capital como el inverso del cociente anterior y se denota por TMSLK.
Nota 3.1.6 (Interpretaci´on econ´omica) La tasa marginal de sustituci´on TMSKL es la disminuci´on que debe producirse en el uso del factor K cuando se incremen- ta (en una unidad) la cantidad utilizada del factor L, de modo que la producci´on permanece constante.
3.2. Derivadas de orden superior. Matriz hessiana
Definici´on 3.2.1 Sean f : IRn^ → IR una funci´on real y a ∈ Dom(f ). Se denomina derivada parcial de segundo orden de f en a a cualquier derivada parcial ∂ ∂xi
∂f ∂xj
(a), con i, j = 1,... , n.
Nota 3.2.2 Las derivadas parciales de segundo orden de la funci´on f son funciones y se denotan, por ejemplo, por:
∂^2 f ∂xi∂xj
∂xi
∂f ∂xj
= D^2 jif = Djif =...
28 TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES REALES
3.3. Conjuntos convexos. Funciones c´oncavas y con-
vexas
En lo que sigue, identificaremos cada vector a ∈ IRn^ con el punto (del espacio eucl´ıdeo n-dimensional IRn) que tiene por coordenadas las mismas del vector a. En el caso en que n = 2, ya hemos utilizado esta representaci´on gr´afica; sin embargo, es complicado obtener un dibujo suficientemente intuitivo de IRn^ cuando n > 3.
Definici´on 3.3.1 Se dice que un conjunto X ⊆ IRn^ es convexo si, para cua- lesquiera dos puntos a y b de X, el segmento que une a y b est´a contenido en X.
Nota 3.3.2 Decir que el segmento que une a y b est´a contenido en X es equivalente a exigir que se verifique la siguiente condici´on:
t · a + (1 − t) · b ∈ X, ∀t ∈ [0, 1].
En la Figura 3.1 se dan algunos ejemplos de conjuntos convexos, mientras que en la Figura 3.2 se muestran algunos conjuntos que no son convexos.
Figura 3.1: Algunos conjuntos convexos.
Figura 3.2: Algunos conjuntos no convexos.
Definici´on 3.3.3 (Convexidad y concavidad de una funci´on en un punto) Sean f : IRn→ IR y a ∈ Dom(f ) tales que las derivadas parciales de primer y segundo orden de f son continuas en a. Entonces, se dice que:
a) f es estrictamente convexa en a si Hf (a) es definida positiva.
b) f es convexa en a si Hf (a) es semidefinida positiva o definida positiva.
FUNCIONES C ONCAVAS Y CONVEXAS´ 29
c) f es estrictamente c´oncava en a si Hf (a) es definida negativa. d) f es c´oncava en a si Hf (a) es semidefinida negativa o definida negativa.
Definici´on 3.3.4 (Convexidad/concavidad de una funci´on en un conjunto) Sean f : D ⊆ IRn^ → IR una funci´on real y D un conjunto convexo tal que f es dos veces diferenciable en D. Entonces, se dice que:
a) f es estrictamente convexa en D si Hf (x) es definida positiva ∀x ∈ D.
b) f es convexa en D si Hf (x) es semidefinida positiva o definida positiva ∀x ∈ D. c) f es estrictamente c´oncava en D si Hf (x) es definida negativa ∀x ∈ D. d) f es c´oncava en D si Hf(x) es semidefinida negativa o definida negativa ∀x ∈ D.
