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ADE (UCM)

LIMITES

ADOLFO, DOMINGUEZ, 15-

UAH. MATEMÁTICAS EMPRESARIALES I (ADE y CYF) Límites y continuidad HOJA 3

1. Calcula, por métodos elementales, los límites siguientes:

a) 6

2

2

(^2)  

 (^) x x

x x lím x

b) 1

2

5 (^1) 

 (^) x

x lím x

c) (^2)

4

(^0) x

x x lím x



d) 3 2

2

2

 

 (^) x x

x x lím x

e) x

x lím x

0



f) 1

 (^) x

x lím x

g) 10

 (^) x

x lím x

h) ( )( )

( )^2

p x q x

px q lím x (^)  



2. Para cada una de las funciones del ejercicio anterior, determina los puntos de discontinuidad. ¿Hay algún caso de discontinuidad evitable? ¿Cómo se evitaría?

3. Determina todas las asíntotas de las siguientes funciones:

a) 3

x

x f x b) 1

x

x f x c) f ( x ) 4  x^2 d) f ( x ) ln( x^2  4 )

e) f ( x ) e  x f) f ( x ) e^1 / x g) 1

2



x

x f x h) 1

3 2



x

x x f x

4. (Sydsaeter, ej 6.8, p. 149) ¿Para qué valores de a es continua en todo punto la siguiente función?

3 si 1

4 1 si 1 ( )

2

x x

ax x x f x

5. Determina el valor que ha de tener k para que la función 2

2



x

x kx f x tenga límite

cuando x tiende a 2 (es decir, existe ( ) 2 límf x x  ) y calcula el valor que tendrá ese límite.

6. ¿Para qué valores de a es continua en todo punto la siguiente función?

1 si 3

, si 3 3

2

2

x x

x x

x ax f x

7. Un proveedor cobra el aceite según el volumen del pedido. Así, la función que relaciona el importe del pedido con el volumen del mismo es ( f ( x ) representa el importe, en euros, de un

pedido de x litros de aceite):

x x

x x f x 2 30 si 30

3 si 0 30 ( )

a) ¿Cuánto cobra por un pedido de 10, 20 y 40? b) ¿Es el importe una función continua del volumen del pedido? c) ¿A cuánto sale el litro cuando el pedido es de muchos litros?

8. El coste de producción, en euros, de x unidades de un determinado producto viene dado por la función f ( x ) 100 x  500. Determina la función de coste unitario. ¿A cuánto tiende el coste

unitario si el número de unidades fabricadas es muy grande?

Preguntas de tipo test propuestas en exámenes anteriores (Licenciatura)

1. El dominio de x

xsenx f x 2 cos 2

 es:

a) (-, 0)(0, +). b) (-, /2)(/2, +). c) R.

2. La función ( 3 )

x

a f x = x 

 , a ≠ 0,

tiene: a) Una asíntota oblicua y una horizontal. b) Una asíntota vertical y una oblicua. c) Ninguna de las anteriores.

3. (S/98). La función f ( x ) 2 x ln( 5  x ),

tiene una asíntota: a) Oblicua b) Horizontal. c) Vertical.

4. (E/03) La función 7 8

2

 

x x

x f x es

discontinua en x = 1. Tal discontinuidad puede evitarse definiendo: a) f (1) = 2/9; b) f (1) = 1 c) Ninguna de las anteriores.

5. (S/00). La función 

a x a

x x a f x 2

2

a) Es discontinua en x = a , para cualquier valor de a. b) Es continua en x = a sólo si a = 2. c) Ninguna de las anteriores.

6. (F/02) La función 1

2



x

x x f x tiene y:

a) Una asíntota vertical y otra horizontal. b) Una asíntota oblicua: la recta y = 2 x + 3. c) Ninguna de las anteriores.

7. (S/02) Para la función x

e f x

 x ( ) puede

afirmarse que: a) Tiene una asíntota horizontal y otra vertical. b) Tiene una asíntota horizontal y otra oblicua. c) Ninguna de las anteriores.

8. (S/02) La función f ( x ) e ^ x^  2 x  p corta dos veces al eje OX en el intervalo [2, 1]: a) Si p es negativo. b) Si p = 1. c) Ninguna de las anteriores.

9. (E/03) 6. La función f ( x ) x^3  3 x^2  p toma el valor 2 en algún punto del intervalo [1, 2]: a) Cualquiera que sea el valor de p. b) Si p = 5. c) Ninguna de las anteriores.

10. La ecuación e cos^ x^  sen x + x  3,2 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo: a) Entre 0 y /2 radianes. b) Entre 0 y  radianes. c) Ninguna de las anteriores.