mates 2, Apuntes de Estadística

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Métodos Matemáticos

aplicados a la Economía II

Tema 5: Extremos condicionados. Método de Lagrange

Idea: problema de partida

Se trata de encontrar los extremos relativos de una función cuando lasentradas (variables independientes) tienen que cumplir ciertas restricciones(en nuestro caso, serán restricciones de igualdad).

Ejemplo:

La rentabilidad de una empresa depende de los precios de tres productos.Pero, dichos precios están relacionados entre sí por las leyes de mercado. Setrata de encontrar los valores de los precios de esos tres productos quecumplen las leyes de mercado utilizadas y que hacen máxima la rentabilidad dela empresa.

Primer ejemplo

Paso 2. Condición necesaria de extremo local: todas las derivadasparciales de la función lagrangiana son cero simultáneamente. Hay quederivar respecto de las variables iniciales de la función dada, y tambiénrespecto de los parámetros lambda introducidos (son los llamados“multiplicadores de Lagrange”).

L

x

x L

y

x

y

y L

x

y

Primer ejemplo

Paso 3. Condición suficiente de extremo local (i). Construimos la matrizHessiana (derivadas de orden dos) de la función Lagrangiana respectode las variables de la función f en un punto crítico (encontrado en elPaso 2).

2

2

2

2

2

2

L

L

x

x y

L

L

y x

y

Primer ejemplo

Paso 5. Condición suficiente de extremo local (iii). Estudiamos el signodel último menor de la Hessiana de la Lagrangiana orlada con laJacobiana de la restricción (obtenida en Paso 4). Si el signo es negativo,será un mínimo, si es positivo, será un máximo. En nuestro caso, es unmáximo local.

0

2

1

det

2

2

0

6

0

1

0

2



























Primer ejemplo

Segundo ejemplo

Método general de solución:

Paso 1. Construimos la función “lagrangiana”:

Paso 2. Condición necesaria de extremo local.

2

2

L x y

f

x y

g x y

x

y

x

y

L

x

x L

y

x

y

y L

x

y

Segundo ejemplo

Paso 3. Condición suficiente de extremo local (i). Construimos la matrizHessiana (derivadas de orden dos) de la función Lagrangiana respectode las variables de la función f en un punto crítico (encontrado en elPaso 2).

2

2

2

2

2

2

L

L

x

x y

L

L

y x

y

Segundo ejemplo

Paso 5. Condición suficiente de extremo local (iii). Estudiamos el signodel último menor de la Hessiana de la Lagrangiana orlada con laJacobiana de la restricción (obtenida en Paso 4). Si el signo es negativo,será un mínimo, si es positivo, será un máximo. En nuestro caso, es unmínimo local y las cantidades de factores para producir al mínimo coste27 unidades son 10 y 5 respectivamente.

0

2

1

det

2

2

0

10

0

1

0

2









 















Segundo ejemplo

Caso general

Método general de solución:

Paso 1. Construimos la función “lagrangiana”:

1

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

n

m

n

n

m

m

n

L x

x

x

f

x

x

x

g

x

x

x

g

x

x

x

Caso General

Paso 2. Condición necesaria de extremo local. Puntos críticos.

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

...

0

...

0

...

0

0

0

0

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

m

m

g

g

L

f

x

x

x

x

g

g

L

f

x

x

x

x

g

g

L

f

x

x

x

x

L

g

L

g

L

g













  



















































 

















































 

Caso general

Paso 4. Condición suficiente de extremo local (ii). Orlamos (completamos) la matrizHessiana de la función Lagrangiana encontrada en el Paso 3, con la matriz Jacobiana(derivadas de orden 1) de la restricción g. Obtenemos una matriz cuadrada n+m.

1

1

1 1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

0

0 0

0

0

n

m

m n

n

m

n

m

n

n

n

n

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g

g

x

x

g

g

x

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L

L

L

x

x

x

x

x

g

g

x

x

L

L

L

x

x

x

x

x

g

g x

x

L

L

L

x

x

x

x

x







































































































































































































Caso general

Paso 5. Condición suficiente de extremo local (iii). Estudiamos el signode los n-m últimos menores principales de la matriz Hessiana de laLagrangiana orlada con la Jacobiana de la restricción (obtenida en Paso4).

Si el signo de todos esos menores en un punto crítico dado es ሺെ1ሻ

௠

, entonces hay un mínimo local en ese punto crítico.

Si los n-m últimos menores principales alternan signo comenzandopor

ሺെ1ሻ

௠ାଵ

, en el punto crítico analizado habrá un máximo local.