¡Descarga Teorema de Lagrange: Optimización con restricciones de igualdad - Prof. Raymond y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Capítol 7
Optimització amb restriccions d’igualtat.
Multiplicadors de Lagrange
La realitat ens imposa models amb restriccions. Per exemple, la producció d’una em- presa està condicionada, entre d’altres factors, per la quantitat de matèria prima que té l’empresa o per el temps que es pot invertir en la producció d’un producte. Això ens dóna peu a estudiar la optimització de funcions amb restriccions d’igualtat.
7.1 Introducció i formalització del problema
Volem solucionar problemes de l’estil:
a) Trobeu 2 nombres tal que el seu producte sigui màxim i la seva suma sigui 36. La primera cosa que farem es escriure formalment el nostre problema. Denotem x,y el parell de nombres que estem buscant. El nostre problema es pot escriure com: { max xy s.a. x + y = 36
que es llegeix com maximitzar la funció xy condicionada (o subjecte a) x + y = 36. Aquest problema presenta una condició d’igualtat. Ens adonem també que el nostre problema presenta funcions de dues variables: f (x, y) = xy i g(x, y) = x + y. Però no cal encara treballar en el marc de les funcions de varies variables. Aquest primer problema es pot solucionar per substitució. De la relació x + y = 36 obtenim y = 36 − x i això ho substituïm a la funció f (x, y) obtenint la següent funció d’uan variable h(x) = 36x − x^2. Així el nostre problema s’ha transformat en max 36 x − x^2 i aquest és un problema de fàcil solució:
h′(x) = 36 − 2 x = 0 ⇐⇒ x = 18
i com h′′(x) = − 2 < 0 hem obtingut el màxim buscat de h(x). La solució definitiva buscada són els valors x = 18 i y = 18.
66 Optimització amb restriccions d’igualtat. Multiplicadors de Lagrange
b) Una variant del problema anterior: trobeu 2 nombres tal que el seu producte sigui màxim i pertanyin a la circumferència unitat. El nostre problema es tradueix en: { max xy s.a. x^2 + y^2 = 1
En aquest cas no podem fer com a l’anterior problema. Si intentem el mètode de substitució obtenim: y = ±
1 − x^2 i aleshores no podem continuar per aquest camí perquè no hem obtingut una funció. Però podem buscar les solucions via corbes de nivell. El nostre problema es transforma en resoldre el sistema { x^2 + y^2 = 1 xy = k
més la següent condició geomètrica: imposar que la intersecció entre la corba x^2 + y^2 = 1 i la corba de nivell xy = k per un cert k ∈ R (que es determinarà durant el procés) doni només un punt. No és res més que una condició de tangència. Així, per substitució:
y = k x
→ x^2 + k^2 x^2
= 1 → x^4 − x^2 + k^2 = 0
i llavors fent el canvi t = x^2 trobem:
t^2 − t + k^2 = 0 → t =
1 − 4 k^2 2 Ara, el fet d’imposar la condició geomètrica és equivalent a imposar que el discriminant de la solució sigui zero, és a dir, 1 − 4 k^2 = 0 d’on obtenim que k = ± 12. Així, finalment, trobem quatre solucions: (^)
x = √^12 y = √^12 x = − √^12 y = − √^12 x = √^12 y = − √^12 x = − √^12 y = √^12
Cal adonar-se que el que estem fent és maximitzar una funció continua sobre un conjunt com- pacte utilitzant el mètode de les corbes de nivell com a via de resolució. Així pel teorema de Weierstrass tenim màxims i mínims globals. De les 4 solucions anteriors es fàcil discernir que { x = √^12 y = √^12 x = − √^12 y = − √^12
són les solucions que estàvem buscant. Aquelles que ens reporten que el producte és màxim.
c) Una última variant del problema anterior: trobeu 2 nombres tal que el triple del producte del primer pel segon sigui màxim i pertanyin a la circumferència de radi 2. El nostre problema es tradueix en: (^) { max x^3 y s.a. x^2 + y^2 = 4
68 Optimització amb restriccions d’igualtat. Multiplicadors de Lagrange
La situació en la qual ens trobem és la següent. Tenim una funció que volem optimitzar (recordem que això significa que estem buscant el màxim o el mínim). Aquesta funció f : Rn^ −→ R l’anome- nem funció objectiu i tenim un conjunt de restriccions que formen el conjunt sobre el que busquem la solució: gi(x 1 ,... , xn) = ci ∀i ∈ { 1 ,... , n} conjunt que anomenem conjunt factible i denotem sovint amb la lletra F. Assumim que la funcions f i gi ∀i són de classe C^1 (Rn). Exemple. En el problema anteriorment presentat: { opt xy s.a. x^2 + y^2 = 1
tenim que les funcions f i g són f (x, y) = xy i g(x, y) = x^2 + y^2_. El conjunt factible és la circumfe- rència unitat:_ F = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 = 1}. Observació. Si les restriccions defineixen un conjunt factible F compacte, podem aplicar aleshores el Teorema de Weierstrass; cosa que ens assegura l’existència de màxims i mínims globals. Però cal saber abans què significa tenir un màxim o un mínim en un conjunt factible. Definició. Sigui f : A ⊂ Rn^ → R. Sigui F ⊂ A definit per les restriccions
gi(x 1 ,... , xn) = ci ∀i ∈ { 1 ,... , n}.
Diem que x 0 ∈ F és un màxim local de f restringit a F si
∃≤ > 0 tal que f (x) ≤ f (x 0 ) ∀x 0 ∈ B(x 0 , ≤) ∩ F.
Diem que x 0 ∈ F és un mínim local de f restringit a F si
∃≤ > 0 tal que f (x) ≥ f (x 0 ) ∀x 0 ∈ B(x 0 , ≤) ∩ F.
Diem que x 0 ∈ F és un màxim global de f restringit a F si
f (x) ≤ f (x 0 ) ∀x 0 ∈ F.
Diem que x 0 ∈ F és un mínim global de f restringit a F si
f (x) ≥ f (x 0 ) ∀x 0 ∈ F.
Una última definició ens cal. Definició. Sigui F un conjunt factible definit per un conjunt de m equacions de la forma:
g 1 (x 1 ,... , xn) = c 1 .. .
gm(x 1 ,... , xn) = cm
on cada funció gi(x 1 ,... , xn) és de classe C^1 en un obert. Diem que ~x 0 ∈ F és un punt regular si els vectors gradients de les funcions que defineixen les restriccions són linealment independents. Si són linealment dependents, aleshores diem que el punt és irregular.
7.2 Teorema de Lagrange 69
Observació. En el cas que tinguem una única restricció, la condició de punt regular equival a dir que ∇g(~x 0 ) 6 = 0.
En el cas de tenir més d’una restricció, es construeix una matriu a partir dels vectors i s’estudia el rang d’aquesta matriu.
Exemple. En l’exemple anterior, si busquem punts irregulars resulta que no en tenim. Això és així ja que, tot i que existeix un punt que anul.la el vector gradient:
∇g(x, y) = (2x, 2 y)
que és el (0, 0) , aquest no pertany al conjunt factible perquè
g(0, 0) = 0 6 = 1.
7.2 Teorema de Lagrange
7.2.1 Cas funció de dues variables amb una restricció
Primer considerem una versió del nostre teorema només per funcions
f : R^2 −→ R
i quan només tenim una restricció. És a dir, el problema que volem resoldre és: { Opt. f (x, y) s.a g(x, y) = c
Un punt (x 0 , y 0 ) solució d’aquest problema compleix que la corba de nivell de la funció que conté aquest punt per un cert valor k és tangent a la restricció. En altres paraules, els vectors tangents de les funcions f (x, y) i g(x, y) són proporcionals en el punt (x 0 , y 0 ):
(
∂f ∂x (x 0 , y 0 ),
∂f ∂y (x 0 , y 0 )) = λ(
∂g ∂x (x 0 , y 0 ),
∂g ∂y (x 0 , y 0 ))
per un cert λ. Això equivalentment es tradueix com: { (^) ∂f ∂x (x^0 , y^0 ) =^ λ^
∂g ∂f ∂x^ (x^0 , y^0 ) ∂y (x^0 , y^0 ) =^ λ^
∂g ∂y (x^0 , y^0 )
i escrit d’una manera més natural: { (^) ∂f ∂x (x^0 , y^0 )^ −^ λ^
∂g ∂f ∂x^ (x^0 , y^0 ) = 0 ∂y (x^0 , y^0 )^ −^ λ^
∂g ∂y (x^0 , y^0 ) = 0
Així que el punt (x 0 , y 0 ) ha de complir les equacions anteriors a més de:
g(x 0 , y 0 ) = c.
Una manera d’elegant d’escriure aquestes tres condicions és la següent. Definim la funció lagran- giana com: L(x, y, λ) = f (x, y) − λ(g(x, y) − λ).
7.2 Teorema de Lagrange 71
Al resoldre el sistema obtenim quatre punts:
(x 1 , y 1 ) = ( √^12 , √^12 ), amb λ 1 = (^12) (x 2 , y 2 ) = ( −√^12 , −√^12 ), amb λ 2 = (^12) (x 3 , y 3 ) = ( −√^12 , √^12 ), amb λ 1 = − 21 (x 4 , y 4 ) = ( √^12 , −√^12 ), amb λ 1 = − 21
No sabem què són aquests punts. Però resulta que estem en una situació favorable per a saber què és cada punt. La funció objectiu és continua (de fet, ja hem argumentat que és de classe C^1 ). I el conjunt factible és compacte com ja hem argumentat al llarg de diversos exemples. Què vol dir això? Que és compleixen les condicions del teorema de Weierstrass i que per tant, han d’existir màxims i mínims globals. De fet, almenys un de cada. Així algun dels punts anteriors ha de ser un màxim global i algun ha de ser el mínim global. Podem trobar-los utilitzant la funció objectiu per avaluar els punts i comparar els resultats. Si fem això, obtenim: { f (x 1 , y 1 ) = f (x 2 , y 2 ) = 32 per tant , (x 1 , y 1 ) i (x 2 , y 2 ) són màxims absoluts f (x 3 , y 3 ) = f (x 4 , y 4 ) = 12 per tant , (x 3 , y 3 ) i (x 4 , y 4 ) són mínims absoluts
Com va succeir al tema anterior, en què es presentava un tractament de l’optimització sense res- triccions, un cop tenim els candidats a resoldre el problema cal discernir si realment són òptims o no. És ben cert, que no sempre serem tan afortunats com a l’exemple anterior.
Observació. En la situació del teorema de Lagrange si, a més a més, tenim f, g ∈ C^2 (D) aleshores podem definir la matriu hessiana ampliada com:
HA(x, y, λ) =
(^0) ∂x∂g (x, y, λ) ∂g∂y (x, y, λ) ∂g ∂x (x, y, λ)^
∂^2 L ∂x^2 (x, y, λ)^
∂^2 L ∂x∂y (x, y, λ) ∂g ∂y (x, y, λ)^
∂^2 L ∂x∂y (x, y, λ)^
∂^2 L ∂y^2 (x, y, λ)
Teorema. En al situació de l’observació anterior, si (x 0 , y 0 , λ 0 ) és un punt crític de la funció lagran- giana del nostre problema, aleshores:
i. Si |HA(x 0 , y 0 , λ 0 )| > 0 , aleshores (x 0 , y 0 ) és un màxim local restringit a F_._
ii. Si |HA(x 0 , y 0 , λ 0 )| < 0 , aleshores (x 0 , y 0 ) és un mínim local restringit a F_._
Aquest resultat només en dóna informació sobre extrems locals. El següent resultat ens permet assegurar globalitat.
Teorema. Suposem que f, g : D ⊂ R^2 → R són de classe C^1 (D) on D obert i convex. I a més que aquestes funcions provenen d’un problema d’optimització: { opt f (x, y) s.a. g(x, y) = c
Sigui (x 0 , y 0 , λ 0 ) punt crític de la funció lagrangiana L associada al problema anterior. Aleshores:
i. Si la funció L és cóncava, aleshores (x 0 , y 0 ) és un màxim global restringit a F_._
ii. Si la funció L és convexa, aleshores (x 0 , y 0 ) és un mínim global restringit a F_._
72 Optimització amb restriccions d’igualtat. Multiplicadors de Lagrange
7.2.2 cas general
Ara ja podem considerar la versió per a funcions:
f : D ⊂ Rn^ −→ R
amb múltiples restriccions. El nostre problema és aleshores:
opt. f (x 1 ,... , xn)
s.a
g 1 (x 1 ,... , xn) = c 1 .. .
gm(x 1 ,... , xn) = cm on m < n. I la funció de Lagrange associada al nostre problema és:
L(x 1 ,... , xn, λ 1 ,... , λm) = f (x 1 ,... , xn)−λ 1 (g 1 (x 1 ,... , xn)−c 1 )−.. .−(gm(x 1 ,... , xn)−cm)
Teorema (Lagrange). Siguin f, gi : Rn^ → R funcions de classe C^1 sobre un obert de Rn_. Suposem que_ (x∗ 1 ,... , x∗ n) és un òptim local del problema
opt. f (x 1 ,... , xn)
s.a
g 1 (x 1 ,... , xn) = c 1 .. .
gm(x 1 ,... , xn) = cm
on m < n_. Aleshores si_ (x∗ 1 ,... , x∗ n) és un punt regular existeix un únic (λ∗ 1 ,... , λ∗ m) ∈ Rm^ de manera que L(x 1 ,... , xn, λ 1 ,... , λm) té un punt crític a (x∗ 1 ,... , x∗ n, λ∗ 1 ,... , λ∗ m).
Notació. Considerem la notació abreviada següent:
(x, λ) = (x 1 ,... , xn, λ 1 ,... , λm).
Observació. Tanmateix el teorema de Lagrange no ens diu què és el punt. No sabem si és un màxim local restringit al conjunt factible o bé un mínim local restringit al conjunt factible. Necessitem un criteri. Per tal, la primera cosa en ens cal un concepte. Si f, gi ∈ C^2 , aleshores podem definir els ∆r com:
∆r(x, λ) =
0 · · · 0 ∂g ∂x^11 (x) · · · (^) ∂x∂g^1 r (x) .. .
0 · · · 0 ∂g ∂xm 1 (x) · · · ∂g ∂xmr (x) ∂g 1 ∂x 1 (x)^ · · ·^
∂gm ∂x 1 (x)^
∂^2 L ∂x^21 (x)^ · · ·^
∂^2 L ∂x 1 ∂xr (x) .. .
∂g 1 ∂xr (x)^ · · ·^
∂gm ∂x 1 (x)^
∂^2 L ∂x 1 ∂xr (x)^ · · ·^
∂^2 L ∂x^2 r^ (x)
on r = m + 1,... , n
