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MATEMÁTICAS CCSS
2º DE BACHILLERATO Matrices^ EBAU
Colegio San Agustín (Santander) Página 1
1) (EBAU Cant Jun 2014) Determina para qué valores de a la matriz
A a a
no tiene inversa.
b) Considerando la matriz A del apartado anterior con a = – 1, resuelve la ecuación
XA B CA , donde
B y ^1 0^ ^2
C.
A. Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0.
2
A a a a a a a a a a a
Por tanto, la matriz A no tiene inversa cuando A 0 , y eso se cumple si a = 0 o a = 11.
B. Para a = – 1,|𝐴| ≠ 0 → por lo tanto la matriz A tiene inversa, es decir, existe A -1, por lo que podemos despejar X :
XA +B = CA → XA = CA – B → XA∙ 𝐴−1^ = ( CA-B)∙ 𝐴−1^ → X = (CA-B) 𝐴−1^ → X = C - B∙ 𝐴−
Cálculo de la inversa: 1 ^ Adj(^ )^
t A A A
A
^
Calculamos el determinante de la matriz A
| = −12 ≠ 0 → Por lo tanto la matriz A tendrá inversa
Adj(A) = (
) (Adj(A)) 𝑡 = (
) →^1
A
^
^
^
Por tanto:
X C BA ^1
X
^
^
^ ^
^ ^
→ X = (
0 1/2 −2 ) =^ (
2) (EBAU Cantabria 2014 Sep) Analiza el rango de la matriz A = (
) según los valores de k.
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.
Calculamos el determinante de la matriz A
| = -k -9 -10 +2 +15k +3 = 14k -
Igualamos el determinante a cero
|𝐴| = 0 → 14k -14 = 0 → k = 1
a) Caso I: Si k 1 , se tendrá que rg(A) = 3, pues |𝐴| ≠ 0
b) Caso II: Si k= 1 , como |𝐴| = 0 → rg(A) < 3
Calculamos un menor de orden 2
|^1 0 − | ≠.0 → rg(A) = 2
3) (EBAU Cant 2015 Jun)
A) Calcular los valores del parámetro a para los cuales la matriz
a A
tiene inversa.
B) Consideremos la matriz A del apartado anterior para a = 1 y las matrices
B
y
C
Resolver la ecuación matricial AX + BX = – C.
A) Para que la matriz A tenga inversa, el determinante de A tiene que ser distinto de cero (|𝐴| ≠ 0)
Si a = 6 → Como |𝐴| = 0 → La matriz A no tendrá inversa
Si a ≠ 6 → Como |𝐴| ≠ 0 → La matriz A tendrá inversa
4) (EBAU Cant 2015 Sept)
A) Dada la matriz A= (
) , analizar su rango según los valores del parámetro k.
B) Para k = 5, ¿la matriz A del apartado a) tiene inversa?
C) Consideremos la matriz A del apartado a) para k = 0 y las matrices B = (
) y C= (
Resolver la ecuación matricial AX + C = BX.
A)
- Calculamos el determinante de A
- Igualamos el determinante de A a cero
|𝐴|=0 → 4 − 6𝑘 − 36 − 2𝑘 = 0 → -32-8k=0 → k = -
- Analizamos el rango para el valor de k obtenido:
Si k≠ -4 → Como |𝐴| ≠ 0 → rg(A) = 3
Si k = -4 → Como |𝐴|=0 → rg(A)<
Calculamos un menor de orden 2: |^2 4 0
| = −12 ≠ 0 → por lo tanto el rg(A)=
B) Como k≠ -4 → |𝐴| ≠ 0 → por lo tanto la matriz tiene matriz inversa.
C)
- Calculamos la matriz A
A = (
- Despejamos la Ecuación Matricial
AX + C = BX → AX-BX = -C → (A-B)∙X = (-C) → (A − B)−1^ · (A-B)·X = (A − B)−1^ · (-C)
I·X = (A − B)−1^ · (-C) → X = (A − B)−1^ · (-C)
- Calculamos Z = A – B
Z= A – B = (
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- Calculamos la matriz inversa de la matriz Z
Z- 1^ =
1
|𝑍| ·Adj(Z)
t
Calculamos el determinante de Z:
Calculamos los Adjuntos de Z:
Escribimos la matriz adjunta.
Adj(Z) = (
) → Adj(Z)t^ = (
Z-1^ =
1 |𝑍| ·Adj(Z)
t (^) → Z-1 (^) = 1 10 ·^ (
X = (A − B)−1^ · (-C) = 𝑍−1^ · (-C) =
1 10 ·^ (
X = (
5) (EBAU Cant 2016 Jun)
Dada la matriz A= (
) , analizar su rango según los valores del parámetro a.
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.
El determinante de la matriz A= (
−1 3 𝑎^2
) es |𝐴| = -(4-a) + 3· (3a+2𝑎^2 )= 6𝑎^2 +10a-
Se anula cuando 6𝑎^2 + 10 a-4 = 0 → a= −10±√100+ 12 → {
1 3
Si a – 2 y a≠ 1 3 , se tendrá que rg(A) = 3, pues^ |𝐴| ≠^0
Si a = – 2 o a = 1 3 , rg(A) = 2, pues el menor (de orden 2)^ |
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Escribimos la matriz adjunta.
Adj(A) = (
) → Adj(A)t^ = (
A-1^ =
1 |𝐴| ·Adj(A)
t (^) → A-1 (^) = 1 10 ·^ (
X= 𝐴−1(−𝐶)𝐵
X =
1 10 ·^ (
) · (^1
) · (^1
7) (EBAU Cant 2017 Sept)
a) Resolver la ecuación matricial A X B C con A ^13^ 22 10 ,
B y C ^04 11 3 1 .
b) Dada la matriz
a b c M d e f g h i
con determinante M 8 , calcular:
b1)
a d g b e h c f i
. b2)
a b c d e f g h i
a) 1. Lo primero es despejar la ecuación matricial.
(A+X)B = C → (A+X)∙B ·B−1^ = C·B−1^ → (A+X)∙I = C·B−1^ → (A + X) = C · B−1^ → X = C· 𝐁−𝟏^ – A
- Calculamos la matriz inversa de B:
B-1^ =
1 |𝐵| ·Adj(B)
t
Calculamos el determinante de B:
|B| = |
Calculamos los adjuntos de B:
B 11 = 1 B 12 = −3 B 13 = 1
B 21 = 6 B 22 = 3 B 23 = −
B 31 = −4 B 32 = −2 B 33 = 3
Escribimos la matriz adjunta.
Adj(B) = (
) → Adj(B)t^ = (
B-1^ =
1 |𝐵| ·Adj(B)
t (^) → B-1 (^) = 1 7 ·^ (
3. X = C· 𝐁−𝟏^ – A
X=
1 7 ·^ (
b1) |
a d g d e f g h i
a d g d e f g h i
b2) |
4a −3b c 4d −3e f 4g −3h i
8) (EBAU Cant 2018 jun)
Analizar el rango de la matriz A según los valores del parámetro a. A = (
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.
El determinante de la matriz A= (
1 2 −𝑎^2 0 −3 𝑎 −2 2 4
) es |𝐴|^ = -12 – 4a + 6𝑎^2 -2a = 6𝑎^2 -6a -
Se anula cuando 6𝑎^2 -6a -12= 0 → 𝑎^2 − 𝑎 − 2 = 0 → a=
1±√1+ 2
- Si a – 1 y a≠ 2 se tendrá que rg(A) = 3, pues |𝐴| ≠ 0
2) Si a = -1 o a = 2 rg(A) = 2, pues el menor (de orden 2) |
C) 1. Despejamos X:
A-1^ XB + C = Id→ 𝐴−1XB = Id − C → 𝐴 · 𝐴−1X · B · 𝐵−1^ = A · ( Id − C) · 𝐵−1^ → → X=A · ( Id − C) · 𝐵−
- Calculamos Id – C y el resultado lo vamos a llamar matriz Z
- Calculamos el producto A·Z
- Calculamos la matriz inversa de B.
B-1^ =
1 |B| ·Adj(B)
t
Calculamos el determinante de B:
|B| = |
Calculamos los Adjuntos de B:
B 11 = 2 B 12 = 0 B 13 = −
B 21 = −2 B 22 = −3 B 23 = −
B 31 = −4 B 32 = 0 B 33 = −
Escribimos la matriz adjunta.
Adj(B) = (
) → (Adj(B))t^ = (
B- 1^ =
1 |B| ·Adj(B)
t (^) → B- 1 (^) = 1 −6 ·^ (
- X=A · ( Id − C) · 𝐵−
X= (^) −6^1 · (
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10) (EBAU Cant 2019 Jun)
B. A, B y C son tres matrices cuadradas de dimensión 3. Sus determinantes son: |𝑨| = 𝟑 |𝑩| = −𝟐 𝒚 |𝑪| = 𝟔.
Calcular:
B1. |𝑨𝒕𝑩−𝟏|
B2. |𝑫| siendo D la matriz resultante de multiplicar por dos los elementos de la segunda columna de C.
B3. |𝑩𝟐𝑬| siendo E la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de A
B1. |𝐴𝑡| = |𝐴| |𝐵 ∙ 𝐵−1| = |𝐼| → |𝐵| ∙ |𝐵−1| = |𝐼| → |𝐵−1| = |𝐵|^1
|𝐴𝑡𝐵−1| = |𝐴𝑡| ∙ |𝐵−1| = |𝐴| ∙ |𝐵|^1 = − 3
2
B2. |𝐷| = 2|𝐶| = 2 ∙ 6 = 12
B3. |𝐸| = (−1)|𝐴| = −
|𝐵^2 𝐸| = |𝐵||𝐵||𝐸| = (−2)(−2)(−3) = −
11) (EBAU Andalucía 2021 Extraordinaria)
Se considera la matriz A = (
a) Determine para qué valores del parámetro a, la matriz A tiene inversa
b) Para a = 1, calcule la inversa de A.
c) Para a = 1, resuelva la ecuación matricial A ∙ X=Bt= , siendo B = (𝟎 𝟏 −𝟏)
a) Para que la matriz A tenga inversa, el determinante de A tiene que ser distinto de cero (|𝐴| ≠ 0)
Si a = -8 → Como |𝐴| = 0 → La matriz A no tendrá inversa
Si a ≠ -8 → Como |𝐴| ≠ 0 → La matriz A tendrá inversa
b) Calculamos la matriz inversa de A: A = (
A- 1^ =
1
|𝐴| ·Adj(A)
t
Calculamos el determinante de A:
|A| = |
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b) Calculamos la matriz A para m = 2
A = (
) A = (
- Despejamos X:
X∙ A – A^2 = I 3 → X∙ A = I 3 + A^2 → X∙ A∙ A−1^ = (I 3 + A^2 )∙ A−1^ → X ∙ I = (I 3 + A2) ∙ A−
X = (I 3 + A^2 )∙ A−
- Calculamos A^2
A^2 = A∙ A = (
- Calculamos I 3 ( se trata de la matriz identidad de orden 3 )
I 3 = (
- Calculamos A^2 + I 3
A^2 + I 3 = (
- Calculamos la matriz inversa de A:
A- 1^ =
1
|𝐴| ·Adj(A)
t
Calculamos el determinante de A:
|A| = |
Calculamos los adjuntos de A:
A 11 = 5 A 12 = −6 A 13 = −
A 21 = 3 A 22 = −3 A 23 = −
A 31 = −1 A 32 = 3 A 33 = 2
Escribimos la matriz adjunta.
Adj(A) = (
) → Adj(A)t^ = (
A- 1^ =
1 |A|
·Adj(A)t^ → A- 1^ =
1 3
6. X = (I 3 + A^2 )∙ 𝐴−1^ = (
1 3
1 3
X =
1
3 ·^ (
13) (EBAU Andalucía 2020 Junio)
Sean A, B, X e Y matrices invertibles que verifican A ∙ X = B y B ∙ Y= A
a) Compruebe que Y-1^ = X
b) Para A = (
) y B = (
) , halle X e Y.
a) A∙X = B y B∙Y= A
A∙X = B → B∙Y∙X = B → 𝐵−1^ ∙B∙Y∙X = 𝐵−1^ ∙B → → I ∙Y∙X = I → 𝑌𝑋 = 𝐼 → 𝑌−1^ ∙ 𝑌 ∙ 𝑋 = 𝑌−1^ ∙ 𝐼
I∙ 𝑋 = 𝑌−1^ → 𝑋 = 𝑌−1^ Hemos comprobado la igualdad
b) A∙X = B→ 𝐴−1^ ∙A∙X = 𝐴−1^ ∙B → 𝐼 ∙X = 𝐴−1^ ∙B → X = 𝐴−1^ ∙B
- Calculamos la matriz inversa de la matriz A
A- 1^ =
1
|A| ·Adj(A)
t
Calculamos el determinante de A:
|A| = |^1
| = 3 − 2 = 1 ≠ 0 → tendrá matriz inversa
14) (EBAU Aragón 2021 Extraordinaria)
Dada la matriz A = (
) Determina los valores del parámetro 𝑚 para que 𝐴 tenga inversa. Para 𝑚 = 2,
calcula A-^.
a) Para que la matriz A tenga inversa, el determinante de A tiene que ser distinto de cero (|A| ≠ 0)
|A| = |^3 m 6 3
| = 9 − 6m = 0 → {m =
Si m = 3/2 → Como |𝐴| = 0 → La matriz A no tendrá inversa
Si m ≠ 3/2 → Como |𝐴| ≠ 0 → La matriz A tendrá inversa
b) Calculamos la matriz inversa de la matriz A
A- 1^ =
1
|A| ·Adj(A)
t
Calculamos el determinante de A:
|A| = |^3
| = 9 − 12 = −3 ≠ 0 → tendrá matriz inversa
Calculamos los adjuntos de A:
A 11 = 3 A 12 = −
A 21 = −2 A 22 = 3
Escribimos la matriz adjunta.
Adj(A) = (^3 − −2 3
) → Adj(A)t^ = (^3 − −6 3
A-1^ = |𝐴|^1 ·Adj(A)t^ → A-1^ =
1 −
· (^3 −
) = (−1^ 2/
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15) (EBAU Aragón 2021 Junio)
Dadas las matrices: A= (
) y B = (
a) Calcula (𝑩 − 𝑨)−𝟏
b) Calcula la matriz X, que verifica 2X- AB=BA
a) (𝐵 − 𝐴)−
- Calculamos B – A = (
) = Z
- Calculamos la matriz inversa de la matriz Z
Z- 1^ =
1 |𝑍|
·Adj(Z)t
Calculamos el determinante de Z:
|Z| = |^0
| = 0 − 8 = −8 ≠ 0 → tendrá matriz inversa
Calculamos los adjuntos de Z:
Z 11 = −1 Z 12 = −
Z 21 = −2 Z 22 = 0
Escribimos la matriz adjunta.
Adj(Z) = (
) → Adj(Z)t^ = (
Z-1^ =
1 |𝑍| ·Adj(Z)
t → Z-1 = 1
−
b) 2X- AB=BA → 2X = BA +AB → X = 1 2
(BA + AB)
- Calculamos B∙A = (^0 3 1
) ∙ (^0
) = (−3^6
- Calculamos A∙B = (^0 −1 2
) ∙ (^0
) = (^3
3. BA + AB = (
4. X =
1 2 (BA + AB) →^ X = =^
1 2 ∙^ (
7 2 5 2 2
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Para que la matriz A tenga inversa, el determinante de A tiene que ser distinto de cero (|𝑍| ≠ 0)
|Z| = | k^ 2k − 1 −7k 5 + 9k | = 5k + 9k^2 + 14k^2 − 7k = 23k^2 − 2k = 0 → {
k = 0 k = 2/
Si k = 0 o k = 2/23 → Como |𝐴| = 0 → La matriz A no tendrá inversa
Si k≠ 0 𝑜 𝑘 ≠ 2/23 → Como |𝐴| ≠ 0 → La matriz A tendrá inversa
c) (M∙N)∙X = B
(M ∙ N)−1^ ∙ (M∙N)∙X = (M ∙ N)−1^ ∙ B → I ∙ X = (M ∙ N)−1^ ∙ B → X = (M ∙ N)−1^ ∙ B
Para K = 1 → M = (
) N = (
- Calculamos M∙N = (
2𝑥
3𝑥
) = Z
- Calculamos la matriz inversa de la matriz Z
Z- 1^ =
1
|Z| ·Adj(Z)
t
Calculamos el determinante de Z:
|Z| = |^1
| = 14 + 7 = 21 ≠ 0 → tendrá matriz inversa
Calculamos los adjuntos de Z:
Z 11 = 14 Z 12 = 7
Z 21 = −1 Z 22 = 1
Escribimos la matriz adjunta.
Adj(Z) = (
) → Adj(Z)t^ = (
Z-1^ = (^) |𝑍|^1 ·Adj(Z)t^ → Z-1^ = 211 · (^14 − 7 1
3. X = (M ∙ N)−1^ ∙ B → X =
1 21
· (^14 −
) ∙ (^2
1 21
· (^28 −
18) (EBAU Extremadura 2021 Ordinaria)
Calcular, justificando la respuesta, las matrices X e Y que verifican el siguiente sistema de ecuaciones
matriciales: {
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = ( 𝟐^ 𝟑
Para resolverlo, vamos a utilizar el método de Reducción:
(𝟐) ∙
6𝑥 + 4𝑦 = (^4
−6𝑥 + 9𝑦 = (^9 −
13𝑦 = (^13
→ 13𝑦 = (^13
) → y = (^1 2 −
Calculamos el valor de x:
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = ( −𝟑^ 𝟐
) → 2x = 3y + ( −𝟑^ 𝟐 −𝟏𝟎 𝟏𝟐 ) → 2x = 3∙ (^1 2 −
) + ( −𝟑^ 𝟐
) = (^0
2x = (^0 −4 6
) → x = (^0 −2 3
19) (EBAU Galicia 2021 Extremadura)
Dadas las matrices A= (
) B= (𝒂 𝟐 𝟑) y C = (𝟒 𝟎 𝟐)
a) Determine los valores x, y, z para los cuales la matriz A no tiene inversa.
b) Calcule A-1^ para x = 3, y = 1, z = 0.
c) Resuelva el sistema B·A= C para a = 1.
a) Para que la matriz A tenga inversa, el determinante de A tiene que ser distinto de cero (|A| ≠ 0)
| = xyz + 𝑦^2 − 𝑦^2 z − xyz = 𝑦^2 − 𝑦^2 z = 0 → {y = 0 z = 1
Si y=0 o z = 1→ Como |𝐴| = 0 → La matriz A no tendrá inversa
Si y≠ 0 𝑜 𝑧 ≠ 1 → Como |𝐴| ≠ 0 → La matriz A tendrá inversa
