Model (a)
2
TEMA 3. VARIACIÓ D’UNA FUNCIÓ. APLICACIONS A L’ECONOMIA
PROBLEMES S8
3.1 En un museu privat d’instruments musicals, s’ha comprovat que el nombre de visitants diaris,
N
, depèn del preu de l’entrada,
p
, segons la funció
ppN 60300)(
−
=
.
a) Determineu la funció dels ingressos diaris del museu en funció del preu de l’entrada.
b) Quin ingrés obté el museu si el preu de l’entrada és de 1,5 €?
c) Quin és el preu del bitllet que fa màxims els ingressos diaris?
d) Quin és l’ import d’aquest màxim ingrés?
3.2 La cotització a borsa de les accions de certa empresa durant l’any 2008 va seguir l’evolució
següent:
2
342342)( tttf −+=
on
t
és el temps en mesos que varia entre
120
≤
≤
t
i
)(
tf
és la cotització d’una acció en l’instant
t
. Determineu quina va ser la cotització màxima de l’any
i en quin moment de temps es va assolir aquesta cotització. Si un inversor va comprar 150
accions aquell any en el moment de mínima cotització i les va vendre en el moment de màxima
cotització de l’any, quin percentatge de benefici va obtenir?
3.3 Una organització sanitària té 2000 socis que paguen 150€ a l’any i vol augmentar les quotes.
Un estudi de mercat indica que per cada 25€ d’increment l’organització perdrà 20 socis. Quina
tarifa ha d’aplicar l’organització per tal de maximitzar els ingressos?
3.4 Un edifici té 50 oficines i quan el lloguer és de 270€ al mes estan totes ocupades. Per cada 15€
d’augment al mes, queda una oficina lliure. Les despeses fixes són de 18€ per oficina i mes,
estiguin o no ocupades, i els paga el propietari. Quin ha de ser el lloguer per oficina i mes per
tal de que el propietari obtingui un benefici màxim?
3.5 Un fabricant de calculadores produeix
q
unitats per dia amb un cost de
1003
25
)(
2
+−=
q
q
qC
euros. Si l’empresa té el monopoli sobre un mercat on la demanda per dia és
pq
375
−
=
, on
p
és el preu de cada calculadora,
a) quin nombre de calculadores per dia s’han de produir per tal de maximitzar l’ingrés?
b) Quin serà el preu de les calculadores en aquest cas?
c) Quin és el nombre ce calculadores que maximitzarà el benefici?
3.6 Una empresa, en règim de competència perfecta, subministra un producte al mercat. Els costos
de producció per a l’empresa venen donats per la funció
2000100010)(
2
++=
qqqC
.
a) Deduïu quina serà en aquest cas la funció d’oferta, a partir de la maximització del benefici.
b) Determineu a partir de quin preu la producció és viable (positiva).
c) Determineu a partir de quina producció i de quin preu l’empresa tindrà beneficis.
d) Calculeu el nivell de producció que iguala el cost marginal i el cost mitjà. Comproveu que és
el mateix que dóna un benefici nul.
3.7 Un fabricant de bolígrafs, que té el monopoli sobre un mercat, produeix
q
bolígrafs per dia, amb
un cost total de
1003
25
)(
2
++=
q
q
qC
euros. Si el preu dels bolígrafs és de
p
euros cada un,
la demanda per dia és de
)375(60
pq
−
=
. Trobeu la producció trimestral aproximada de
bolígrafs que maximitza el benefici empresarial. (l’empresa treballa 20 dies al mes). Quin serà el
preu dels bolígrafs?