¡Descarga Apuntes de Matemáticas I: Espacios Vectoriales - Prof. Adillon y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
Matem`atiques I
Pau Artis´o
- Concepte d’espai vectorial (Rn, +, ·)
Conjunt Rn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn) | x 1 ∈ R, x 2 ∈ R,... , xn ∈ R}
Donats ¯u = (x 1 , x 2 ,... , xn) i ¯v = (y 1 , y 2 ,... , yn) dos elements de Rn
Suma: u¯ + ¯v = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,... , xn + yn)
Es una´ operaci´o interna ja que el resultat de sumar dos elements del conjunt ser`a un altre element del conjunt.
Donats ¯u, v,¯ w¯ ∈ Rn
Propietat Commutativa: u¯ + ¯v = ¯v + ¯u Propietat Associativa: ¯u + (¯v + ¯w) = (¯u + ¯v) + ¯w Element Neutre: u¯ + ¯0 = ¯u Element Sim`etric: u¯ + (−u¯) = ¯ 0
Donats ¯u, ¯v ∈ Rn^ i λ i μ ∈ R
Producte: λ · u¯ = λ · (x 1 , x 2 ,... , xn) = (λ · x 1 , λ · x 2 ,... , λ · xn)
El producte ´es operaci´o externa.
Propietat Associativa: λ · (μ · u¯) = (λ · μ) ¯u Propietat Distributiva: (λ + μ) · u¯ = λ · u¯ + μ · u¯ i λ · (¯u + ¯v) = λ · u¯ + λ · v¯ Element neutre: u¯ · 1 = ¯u
1.1 Combinaci´o lineal de vectors
Siguin {u¯ 1 , u¯ 2 ,... , ¯uk vectors de Rn}
Direm que el vector ¯v de Rn^ ´es combinaci´o lineal dels vectors {u¯ 1 , u¯ 2 ,... , ¯uk} si exis- teixen uns escalars λ 1 , λ 2 ,... , λk tals que ¯v = λ 1 · v¯ 1 + λ 2 · v¯ 2 +... λk + ¯vk.
Ex:
¯u ´es combinaci´o lineal de {¯v = ( 2 , 2 , 1 ) ; w¯ = ( 5 , 3 , 2 )}?
Per a qu`e ¯u sigui combinaci´o lineal de {v¯ = (2, 2 , 1) ; ¯w = (5, 3 , 2)} el rang de la matriu formada per {v¯ = (2, 2 , 1) ; ¯w = (5, 3 , 2)} ha de ser igual que el rang de la matriu formada per {¯u = (2, − 1 , 4) ; ¯v = (2, 2 , 1) ; ¯w = (5, 3 , 2)}, ja que el rang d’una matriu expressa el nombre de vectors fila o columna linealment independents.
Si el rang s’ampli´es al afegir ¯u voldria dir que ¯u ´es un vector linealment independent.
A =
(^) A | b =
On la matriu A ´es la matriu formada per ¯v i ¯w i la matriu A | b ´es la matriu formada per ¯u, ¯v i ¯w.
El rang de A ´es 2, ja que els vectors fila no s´on proporcionals.
El rang de A | b el calculem mitjan¸cant un determinant.
|A | b| =
|A | b| = − 15 → |A | b| 6 = 0
Per tant el rang de A | b ´es 3. Es a dir ¯´ u no ´es combinaci´o lineal de {¯v = (2, 2 , 1) ; ¯w = (5, 3 , 2)}.
Ex:
Per a quins valors de x el vector ¯u = ( 2 , x, 2 ) ´es combinaci´o lineal de {¯v = ( 1 , 1 , 2 ) ; w¯ = ( 3 , 1 , − 1 )}?
Primer calculem el rang format pels vectors ¯v i ¯w.
Sabem que ´es 2 ja que els vectors no s´on proporcionals.
1.6 Subespai vectorial
Direm que S ´es un subespai vectorial de Rn^ si:
© 1 : S ⊆ Rn © 2 : S 6 = ∅ ja que ¯ 0 ∈ S © 3 : si ¯u i ¯v ∈ S → ¯u + ¯v ∈ S ©^4 : si ¯u ∈ S i λ ∈ R → λ · u¯ ∈ S
1.7 Dimensi´o
Nombre de vectors que formen una base d’un subespai vectorial.
Ex:
Es S´ = {(x, y, z) ∈ R | x + y = 0 ∧ x + z = 0 } un subespai vectorial de Rn?
© 1 : S ⊆ Rn^ → cert per definici´o. ©^2 : S 6 = ∅ ja que ¯ 0 ∈ S cert, nom´es cal substitu¨ır. © 3 : si ¯u i ¯v ∈ S → ¯u + ¯v ∈ S Per a demostrar aix`o cal veure quin tipus de vectors formen aquest conjunt. A¨ıllem i obtenim que: x = λ y = −λ z = −λ
on λ ´es un nombre pertanyent als R.
Agafem ara dos vectors qualsevols del conjunt: u¯ = (u 1 , −u 1 , −u 1 ) ¯v = (v 1 , −v 1 , −v 1 )
¯u + ¯v = (u 1 + v 1 , −u 1 + (−v 1 ) , −u 1 + (−v 1 ))
Si anomenem λ a u 1 + v 1 , el vector suma u¯ + ¯v = (λ, −λ, −λ) → u¯ + ¯v ∈ S
©^4 : si ¯u ∈ S i λ ∈ R → λ · u¯ ∈ S Sigui ¯u = (u 1 , −u 1 , −u 1 ) i μ ∈ R → μ · u¯ = (μ · u 1 , μ · (−u 1 ) , μ · (−u 1 )) Si anomenem λ a μ · u 1 , el vector μ · ¯u = (λ, −λ, −λ) → μ · u¯ ∈ S
